Taylor-sarja

Taylor-sarja on funktion laajennus potenssifunktioiden äärettömäksi summaksi . Erikoistapausta laajentamisesta Taylor-sarjaksi nollapisteessä kutsutaan Maclaurin - sarjaksi .

Taylor-sarja tunnettiin kauan ennen Brooke Taylorin [1] julkaisuja – sitä käyttivät Intiassa jo 1300-luvulla [2] sekä 1600-luvulla Gregory ja Newton .

Taylor-sarjoja käytetään, kun funktiota approksimoidaan polynomeilla . Erityisesti yhtälöiden linearisointi tapahtuu laajentamalla Taylor-sarjaksi ja leikkaamalla pois kaikki ensimmäisen kertaluvun yläpuolella olevat termit .

Yleistys Taylor-sarjan käsitteelle funktionaalisessa analyysissä on Fantapie-sarja .

Määritelmä

1. Reaalimuuttujan funktion Taylor - polynomi , differentioituvat ajat pisteessä , on äärellinen summa $f(x)$ $x$ $k$ $a$

f(x)=\sum _{n=0}^{k}{\frac {f^{(n)}(a)}{n!)}}(xa)^{n}=f (a)+f'(a)(xa)+{\frac {f^{(2)}(a)}{2!}}(xa)^{2}+\ldots +{\frac {f^ { (k)}(a)}{k!}}(xa)^{k}

käytetään likimääräisissä laskelmissa yleistyksenä Lagrangen lauseen seurauksesta differentioituvan funktion keskiarvoon :

kun totta .

xa=h\to 0

f(x)=f(a+h)=f(a)+f'(a)\cdot h+O(h^{2})\noin f(a)+f'(a)\ cdot h=f(a)+f'(a)\cdot(xa)

Summaa kirjoitettaessa käytimme tyhjän joukon päälle tuotteen merkintää ja käytäntöä: , . $f^{(0)}(x)=f(x)$ $0! = 1$ $(xa)^{0}=1$

2. Taylor - sarjaa reaalimuuttujan funktion pisteessä , joka on äärettömästi differentioituva pisteen läheisyydessä, kutsutaan muodolliseksi potenssisarjaksi . $a$ $f(x)$ $x$ $a$

f(x)=\sum _{n=0}^{+\infty }{\frac {f^{(n)}(a)}{n!)}}(xa)^{n} = \sum _{n=0}^{+\infty }\varphi _{n}(x;a)

yhteisellä jäsenellä parametrista riippuen .

\varphi _{n}(x;a)={\frac {f^{(n)}(a)}{n!)}}\cdot (xa)^{n}

a

Toisin sanoen funktion Taylor-sarja pisteessä on funktion laajennussarja binomiaalin positiivisissa potenssiissa : $f(x)$ $a$ ${\näyttötyyli (xa)}$

f(x)=f(a)+f'(a)(xa)+{\frac {f''(a)}{2!}}(xa)^{2}+\ldots +{ \frac {f^{(n)}(a)}{n!}}(xa)^{n}+\lpisteet \,

. [3]

Kuten alla olevissa esimerkeissä osoitetaan, funktio, joka on äärettömästi differentioituva pisteen läheisyydessä, ei riitä Taylor-sarjan konvergoimiseksi itse funktioon missä tahansa muussa kuin itse pisteessä . $f(x)$ $a$ $a$

3. Taylor - sarjaa kompleksisen muuttujan funktion pisteessä , joka täyttää Cauchyn-Riemannin ehdot pisteen jossakin ympäristössä , kutsutaan potenssisarjaksi. $a$ $f(z)$ $z$ $U\subseteq \mathbb {C}$ $a$

f(z)=\sum _{n=0}^{+\infty }{\frac {f^{(n)}(a)}{n!)}}(za)^{n}

Toisin kuin todellisessa tapauksessa, ehdoista seuraa, että on olemassa sellainen säteen arvo, joka konvergoi sarjassa funktioon . $R>0$ $D_{R}=\{z\in \mathbb {C} :|z-z_{0}|<R\}\subseteq U$ $f(z)$

4. Tapausrivi $a = 0$

f(x)=\sum _{n=0}^{+\infty }{\frac {f^{(n)}(0)}{n!)}}x^{n}

kutsutaan Maclaurin- sarjaksi .

Analyyttinen funktio

1. Reaalimuuttujan funktiota kutsutaan analyyttiseksi pisteessä , jos siinä on sellainen säde ja sellaiset kertoimet , , jotka voidaan esittää potenssisarjana , joka suppenee välissä : eli . $f(x)$ $x$ $x=a$ $R>0$ $c_{k}=c_{k}(a)=c_{k}(a;f)\,$ $k=0,1,2,\pisteet \,$ $f(x)$ ${\näyttötyyli (aR;a+R)}$ $\sum \limits _{k=0}^{+\infty }{{c_{k}}{{(xa)}^{k}}}\,$ $\forall x\in (aR;a+R)$ $\Nuoli oikealle$ $\lim _{n\to +\infty }\,\sum \limits _{k=0}^{n}{{c_{k}}{{(xa)}^{k}}}= f(x)$

Funktiota kutsutaan intervallin (joukon) analyyttiseksi, jos se on analyyttinen tämän intervallin (joukon) jokaisessa pisteessä.

2. Potenssisarja millä tahansa konvergenssialueen kompaktilla osajoukolla sallii termikohtaisen differentioinnin kuinka monta kertaa tahansa. ${\displaystyle \sum \limits _{k=0}^{+\infty }{{c_{k}}{{(za)}^{k))))$ $K$ ${\displaystyle D_{R}=\{z\in \mathbb {C} :|z-z_{0}|<R\))$

Jos korvaamme funktion th derivaatan , saamme . $k$ ${\displaystyle \sum \limits _{k=0}^{+\infty }{{c_{k}}{{(za)}^{k))))$ $z=a$ ${c_{k}}\cdot k!$

Siten funktiolle analyyttinen pisteessä, joillekin kaikkialla , esitys on oikea . $a$ $f(z)$ $R>0$ ${\displaystyle D_{R}=\{z\in \mathbb {C} :|z-z_{0}|<R\))$ ${\displaystyle f(z)=\sum _{k=0}^{+\infty }{\frac {f^{(k)}(a)}{k!))(za)^{k))$

Seuraus. Reaalimuuttujan funktio on analyyttinen pisteessä silloin ja vain, jos se on yhtä suuri kuin sen Taylor-sarja, jossa on parametri jollain avoimella välillä, joka sisältää pisteen . $f(x)$ $x$ $a$ $a$ $a$

3. Kysymys: pisteessä äärettömästi differentioituvan reaalimuuttujan mielivaltaiselle funktiolle suppeneeko sen Taylor-sarja jossain välissä kaikkialle , eli onko se esitettävissä tällä sarjalla? $a$ $f(x)$ $x$ $\sum _{k=0}^{+\infty }{\frac {f^{(k)}(a)}{k!}}(xa)^{k}$ $f(x)$ ${\näyttötyyli (aR;a+R)}$ $f(x)$

Vastaus: ei. Reaalimuuttujalla on äärettömästi differentioituvia funktioita, joiden Taylor-sarja konvergoi, mutta eroaa funktiosta missä tahansa naapurustossa . $a$

Esimerkkejä. Reaalimuuttujan funktiot ovat äärettömästi differentioituvia pisteessä , ja kaikki nämä derivaatat ovat yhtä suuria kuin nolla. $f_{2}(x)=\left\{{\begin{array}{ll}{e^{-{\frac {1}{x^{2))))},&x\neq 0 \\0,&x=0\end{array}}\right.\,$ $f_{+}(x)=\left\{{\begin{array}{ll}{e^{-{\frac {1}{x)))),&x>0\\0,&x \leq 0\end{array}}\right.\,$ $f_{\rm {v}}(x)=\left\{{\begin{array}{ll}{e^{-{\frac {1}{|x|}}}},&x\ neq 0\\0,&x=0\end{array}}\right.\,$ $x=0$

Siksi kaikkien näiden funktioiden Taylor-sarjat parametrin kanssa ovat identtisesti yhtä suuret kuin nolla. Kuitenkin missä tahansa pisteen läheisyydessä on pisteitä, joissa toiminnot eroavat . Näin ollen nämä funktiot eivät ole analyyttisiä jossain pisteessä. $a=0$ $R>0$ ${\näyttötyyli (-R;+R)}$ $a = 0$ $0$ $a = 0$

Todiste

Todistamme Augustin-Louis Cauchyn ehdottaman toiminnon . $f(x)=f_{2}(x)=\left\{{\begin{array}{ll}{e^{-{\frac {1}{x^{2))))} ,&x\neq 0\\0,&x=0\end{array}}\right.\,$

Funktio on monimutkaisen muuttujan analyyttinen funktio kaikille . $\exp \left(-{\frac {1}{z^{2))}\oikea)$ $z\in {\overline {\mathbb {C} }}\setminus \{0\}$

Sillä on selvää, että . $z \neq 0$ ${\frac {d}{dz}}\exp \left(-{\frac {1}{z^{2}}}\right)=\exp \left(-{\frac {1}{ z^{2}}}\oikea)\cdot \left({\frac {2}{z^{3}}}\oikea)$

Funktio for on "korjattu" funktio , jota on täydennetty pisteen vasemmalla ja oikealla olevilla rajoilla . $f(x)$ $x\in \mathbb {R}$ $\exp \left(-{\frac {1}{x^{2))}\right)$ ${\displaystyle x\in \mathbb {R} \setminus \{0\))$ $\lim _{x\to 0,x<0}\exp \left(-{\frac {1}{x^{2))}\right)=0$ $\lim _{x\to 0,x>0}\exp \left(-{\frac {1}{x^{2))}\right)=0$ $x=0$

Etsitään funktion derivaatta pisteestä . Määritelmän mukaan: . $f(x)$ $x=0$ $f'(0)=\lim _{\Delta x\to 0,\Delta x\in \mathbb {R} \setminus \{0\}}{\frac {f(0+\Delta x) -f(0)}{\Delta x}}=\lim _{h\to 0,h\in \mathbb {R} \setminus \{0\}}{\frac {f(h)-0}{ h))={\frac {0}{0}}=\lim _{h\to 0,h\in \mathbb {R} \setminus \{0\}}{\frac {f'(h)} {h'}}=\lim _{h\to 0,h\in \mathbb {R} \setminus \{0\}}{\frac {2f(h)}{{h}^{3}}}$

Koska for täyttyy , todistamme, että mielivaltainen on totta . $x\in (0;1)$ ${\displaystyle 0<e^{-{\frac {1}{x^{2))))<e^{-{\frac {1}{x))))$ $\alpha >0$ $\lim _{x\to 0,x>0}{\frac {e^{-{\frac {1}{x)))){x^{\alpha }}}=0$

L'Hopitalin säännön soveltaminen suoraan osiin

\lim _{x\to 0,x>0}e^{-{\frac {1}{x))}=\lim _{x\to 0,x>0}x^{\alpha }=0

ei johda tulokseen.

Muutetaan muuttuja : ${\frac {1}{x}}=t$

${\displaystyle \lim _{x\to 0,x>0}{\frac {e^{-{\frac {1}{x)))){x^{\alpha }}}=\lim _{ t\to +\infty }{\frac {t^{\alpha }}{e^{t}}}={\frac {+\infty }{+\infty }}=\lim _{t\to + \infty }{\frac {\alpha t^{\alpha -1}}{e^{t))))$ .

Anna . L'Hopitalin sääntöaikoja soveltaen osoittajaan saadaan joko (for ) vakio tai (for ) infinitesimaali : $k=\lceil \alpha \rceil$ $k$ $\alpha =k$ $k!$ $\alpha <k$ ${\displaystyle \alpha (\alpha -1)\ldots (\alpha -k+1)t^{\alpha -k))$

\lim _{t\to +\infty }{\frac {t^{\alpha }}{e^{t}}}={\frac {+\infty }{+\infty }}=\ ldots =\lim _{t\to +\infty }{\frac {\alpha (\alpha -1)\ldots (\alpha -k+1)t^{\alpha -k)){e^{t} }}=0

Tällä tavalla,

f'(0)=\lim _{h\to 0,h\in \mathbb {R} \setminus \{0\}}{\frac {2f(h)}{{h}^{3 }}}=0

Etsi (for ) useita funktion alkujohdannaisia : $x\neq 0$ $f(x)$

{\displaystyle f'(x)={\frac {2f(x)}{x^{3))))

f''(x)=\left({\frac {2f(x)}{x^{3}}}\right)'=2\left({f'(x){\frac {1 }{x^{3}}}+f(x)\left({\frac {1}{x^{3}}}\right)'}\right)=2\left({{\frac {2f (x)}{x^{3))}{\frac {1}{x^{3}}}+f(x)\left({\frac {1}{x^{3}}}\oikea )'}\right)=2f(x)\left({{\frac {2}{x^{6}}}-{\frac {3}{x^{4}}}}\oikea)

f'''(x)=\left({2f(x)\left(({\frac {2}{x^{6}}}-{\frac {3}{x^{4} }}}\right)}\right)'=4f(x)\left({{\frac {2}{x^{9}}}-{\frac {3}{x^{7}}}+ {\frac {6}{x^{5}}}-{\frac {6}{x^{7}}}}\right)

Ja niin edelleen. Kaikissa tapauksissa tulos on luonnollisesti tulos negatiivisten kokonaislukupotenssien summalla . Infinitesimaalien äärellinen summa on äärettömän pieni. Siten ,. $f(x)$ $x$ $\lim _{x\to 0,x\in \mathbb {R} \setminus \{0\}}f^{(k)}(x)=0$

Laskemalla peräkkäin määritelmän mukaan (kuten edellä) derivaatat pisteessä , huomaamme, että kaikki pisteen derivaatat ovat yhtä suuria kuin nolla. $f(x)$ $x=0$ $x=0$

Taylor-sarjan konvergenssialue

Taylor-sarjan, joka on potenssisarja, konvergenssialueena on ympyrä (keskitetty pisteeseen ) kompleksisen muuttujan tapauksessa ja intervalli (keskitetty pisteeseen ) todellisen muuttujan tapauksessa. $a$ $a$

1. Esimerkiksi funktiota voidaan laajentaa Taylor-sarjassa seuraavasti: (tämä on hyvin tunnettu kaava äärettömän pienenevän geometrisen progression summalle). Jos funktio on kuitenkin määritelty kaikille reaaliluvuille paitsi pisteelle , sarja konvergoi vain ehdon . $f(x)={\frac {1}{1-x))$ ${\frac {1}{1-x}}=\sum \limits _{k=0}^{\infty }{x^{k}}$ ${\frac {1}{1-x}}$ $x=1$ $\sum \limits _{k=0}^{\infty }{x^{k}}$ $|x|<1$

2. Taylor-sarjan konvergenssisäde voidaan määrittää esimerkiksi d'Alembertin kaavalla:

R=\lim _{k\to \infty }\left|{\dfrac {\dfrac {{f^{(k)))(a)}{k!)}{\dfrac {{f^ {(k+1)}}(a)}{(k+1)!}}}\oikea|=\lim _{k\to \infty }\left|{{\frac {{f^{(k) )}}(a)}{{f^{(k+1)}}(a)}}(k+1)}\oikea|

3. Tarkastellaan esimerkiksi eksponentiaalista funktiota . Koska mikä tahansa eksponentiaalisen funktion derivaatta on yhtä suuri kuin itse funktio missä tahansa pisteessä, eksponentiaalisen funktion konvergenssisäde on . Tämä tarkoittaa, että eksponentiaalisen funktion Taylor-sarja konvergoi minkä tahansa parametrin koko akselille . ${\displaystyle e^{x))$ $R=\lim _{k\to \infty }\left|({\frac {e^{a}}{e^{a}}}(k+1)}\right|=\lim _ {k\to \infty }(k+1)=\infty$ $x$ $a$

4. Sen konvergenssin alue riippuu parametrista, Taylor-sarjan laajennuspisteestä. $a$

Laajennetaan esimerkiksi yleisessä tapauksessa (mielivaltaiselle ) Taylor-sarjassa funktiota : . $a$ $f(x)={\frac {1}{1-x))$ $f(x)={\frac {1}{1-x}}={\frac {1}{1-a}}\sum \limits _{k=0}^{\infty }{{ \left({\frac {xa}{1-a}}\right)}^{k}}$

Geometrisen progression summan kaavalla voidaan todistaa, että annetulla sarjalla on argumentin funktiona sama muoto mille tahansa arvolle (paitsi ). $x$ $a$ $a = 1$

Todella,

{\frac {1}{1-a}}\sum \limits _{k=0}^{\infty }{{\left({\frac {xa}{1-a}}\right) }^{k))={\frac {1}{1-a}}\cdot {\frac {1}{1-\left({\dfrac {xa}{1-a}}\right))) ={\frac {1}{1-x}}

Sarjojen konvergenssiväli voidaan antaa epäyhtälöllä . Ja nyt tämä alue riippuu . Esimerkiksi , sarja konvergoi . Sillä sarja lähenee . $\left|{\frac {xa}{1-a}}\right|<1$ $a$ $a = 0$ $x\in (-1;1)$ $a=0{,}5$ $x\in (0;1)$

Taylor-kaava

Oletetaan, että funktiolla on kaikki derivaatat -: nteen asteeseen asti jossain välissä, joka sisältää pisteen . Etsi korkeintaan astepolynomi , jonka arvo pisteessä on yhtä suuri kuin funktion arvo tässä pisteessä, ja sen derivaattojen arvot pisteessä -: nteen kertaluokkaan asti ovat yhtä suuret kuin arvot funktion vastaavista derivaatoista tässä vaiheessa. $f(x)$ $n+1$ $x=a$ ${\näyttötyyli {P_{n))(x)}$ $n$ $x=a$ $f(x)$ $n$ $x=a$ $f(x)$

On melko helppoa todistaa, että tällaisella polynomilla on muoto , eli se on funktion Taylor-sarjan -:s osasumma . Funktion ja polynomin välistä eroa kutsutaan jäännöstermiksi ja sitä merkitään . Kaavaa kutsutaan Taylorin kaavaksi [4] . Jäljellä oleva termi on differentioituvia aikoja pisteen tarkastelualueella . Taylorin kaavaa käytetään useiden lauseiden todistamiseen differentiaalilaskennassa . Löyhästi puhuen Taylorin kaava näyttää funktion käyttäytymisen tietyn pisteen läheisyydessä . ${P_{n}}(x)=\sum \limits _{k=0}^{n}{{\frac {{f^{(k)))(a)}{k!)} } {{(xa)}^{k}}}$ $n$ $f(x)$ $f(x)$ ${\näyttötyyli {P_{n))(x)}$ ${R_{n}}(x)=f(x)-{P_{n}}(x)$ $f(x)={P_{n}}(x)+{R_{n}}(x)$ $n+1$ $a$

Lause:

Jos funktiolla on johdannainen segmentillä, jonka päät ja , niin mielivaltaiselle positiiviselle luvulle on piste välissä ja , jolloin $f(x)$ $n+1$ $a$ $x$ $s$ $\xi$ $a$ $x$

f(x)=\sum _{k=0}^{n}{f^{(k)}(a) \over k!}(xa)^{k}+\left({xa \ yli x-\xi }\oikea)^{p}{(x-\xi )^{n+1} \yli n!p}f^{(n+1)}(\xi ).

Tämä on Taylorin kaava ja loput termit yleisessä muodossa ( Schlömilch - Roche -muoto ).

Lopun eri muodot

Lagrange - muodossa :

R_{n}(x)={(xa)^{n+1} \over (n+1)!}f^{(n+1)}[a+\theta (xa)]\qquad p =n+1;\qquad 0<\theta <1

Johtopäätös Erota Taylor-kaavan aikojen molemmin puolin :

x

n

{\begin{array}{l}1)f(x)'=f(a)'+\sum \limits _{k=2}^{n}{{\frac {{f^{( k)}}(a)}{(k-1)!}}{{(xa)}^{k-1}}}+{R_{n}}(x)'\\2)f(x) ''=f(a)''+\sum \limits _{k=3}^{n}{{\frac {{f^{(k)}}(a)}{(k-2)!} }{{(xa)}^{k-2}}}+{R_{n}}(x)''\\...\\n-1)f{(x)^{(n-1) }}=f{(a)^{(n-1)}}+{f^{(n)}}(a)(xa)+{R_{n}}{(x)^{(n-1) )}}\\n)f{(x)^{(n)}}={f^{(n)}}(a)+{R_{n}}{(x)^{(n)}} \end{array}}

(Erityisesti tästä on selvää, että se on lopputermin ominaisuus missä tahansa muodossa.)

{R_{n}}(a)={R_{n}}(a)'={R_{n}}(a)''=...={R_{n}}{(a) ^{(n)}}=0

Lagrangen lauseen mukaan (koska se vastaa lauseen ehtoja) ja välillä on sellainen piste ( eli se ei ole yhtä suuri kuin , tai ), että . Täältä . Erotellaanpa viimeinen identiteetti vielä kerran suhteessa ja saamaan .

f(x)

\xi

x

a

\xi

x

a

f{(x)^{(n)}}-{f^{(n)}}(a)=f{(\xi )^{(n+1)}}(xa)

{R_{n}}{(x)^{(n)}}=f{(\xi )^{(n+1)))(xa)

x

{R_{n}}{(x)^{(n+1)}}=f{(\xi )^{(n+1)))

Olkoon loput termi muodossa . Sitten ensinnäkin se ja kaikki sen derivaatat ovat nolla kohdassa , ja toiseksi . Lopussa voit myös tehdä muuttujan korvauksen: . Kaava on julkaistu.

{R_{n}}(x)={\frac {f{{(\xi )}^{(n+1)}}{{(xa)}^{n+1}}}{( n+1)!}}

x=a

{R_{n}}{(x)^{(n+1)}}=f{(\xi )^{(n+1)))

\xi =a+\theta (xa),\qquad 0<\theta <1

Cauchy- muodossa :

R_{n}(x)={(xa)^{n+1}(1-\theta )^{n} \over n!}f^{(n+1)}[a+\theta ( xa)]\qquad p=1;\qquad 0<\theta <1

Integroidussa muodossa:

R_{n}(x)={1 \over n!}\int \limits _{a}^{x}(xt)^{n}f^{(n+1)}(t)\ ,dt

Johtopäätös Käyttämällä osien integrointimenetelmää saamme

{\begin{array}{l}{R_{n}}(x)={\frac {1}{n!}}\int \limits _{a}^{x}{{{(xt) )}^{n}}{f^{(n+1)}}(t)dt}={\frac {1}{n!}}\int \limits _{a}^{x}{{{ (xt)}^{n}}d{f^{(n)}}(t)}={\frac {1}{n!}}\left.{\left({{{(xt)}^ {n}}{f^{(n)}}(t)}\right)}\right|_{a}^{x}-{\frac {1}{n!)}}\int \limits _ { a}^{x}{{f^{(n)}}(t)d}{(xt)^{n}}=\\={\frac {1}{(n-1)!}} \ int \limits _{a}^{x}{{{(xt)}^{n-1}}{f^{(n)}}(t)d}t-{\frac {{{(xa ) }^{n}}{f^{(n)}}(a)}{n!}}=...=\int \limits _{a}^{x}{f'(t)d} t -\sum \limits _{k=1}^{n}{\frac {{f^{(k)}}(a){{(xa)}^{k}}}{k!}}= f (x)-\sum \limits _{k=0}^{n}{\frac {{f^{(k)}}(a){{(xa)}^{k}}}{k! } }\end{array}}

missä

f(x)=\sum \limits _{k=0}^{n}{\frac {{f^{(k)))(a){{(xa)}^{k))} {k!}}+{R_{n}}(x)

Rauhoitetaan oletuksia:

Olkoon funktiolla derivaatta jossain pisteen ympäristössä ja th derivaatta itse pisteessä , niin: $f(x)$ $n-1$ $a$ $n$ $a$

Asymptoottisessa muodossa ( Peano muoto , paikallinen muoto):

R_{n}(x)=o[(xa)^{n}]

Johtopäätös Koska , niin suhteelle pyrkimisen raja löytyy L'Hopitalin säännöstä:

{R_{n}}(a)={R_{n}}(a)'={R_{n}}(a)''=...={R_{n}}{(a) ^{(n)}}=0

{\frac {{R_{n}}(x)}{{(xa)}^{n}}}

x

a

\lim _{x\to a}{\frac {{R_{n}}(x)}{{(xa)}^{n}}}=\lim _{x\to a}{\ frac {{R_{n}}(x)'}{\left({{(xa)}^{n}}\right)'}}=\lim _{x\to a}{\frac {{R_ {n}}(x)''}{\left({{(xa)}^{n}}\right)''}}=...=\lim _{x\to a}{\frac { {R_{n}}{{(x)}^{(n)}}}{{\left({{(xa)}^{n}}\right)}^{(n)}}}=\ lim _{x\to a}{\frac {{R_{n}}{{(x)}^{(n)}}}{n!)}}=0

Koska raja on nolla, tämä tarkoittaa, että loput termi on infinitesimal funktio korkeamman kertaluvun kuin , For . Ja tämä on o-pienen määritelmä.

R_{n}(x)

{\näyttötyyli (xa)^{n))

x\to a

Toiminnon analyyttisuuden kriteeri

Oletetaan, että jotakin toimintoa on laajennettava Taylor-sarjassa jossain vaiheessa . Tätä varten sinun on ensin varmistettava, että funktio on analyyttinen (eli kirjaimellisesti hajoava) tässä vaiheessa. Muuten kyseessä ei ole funktion laajentaminen Taylor-sarjaksi, vaan yksinkertaisesti Taylor-sarja, joka ei vastaa sen tehtävää. Lisäksi, kuten Cauchyn funktion esimerkistä voidaan nähdä, funktio voi olla differentioituva pisteessä mielivaltaisesti ja sen Taylor-sarja parametrin kanssa voi olla konvergentti, mutta Taylor-sarja ei välttämättä ole sama kuin sen funktio. $f(x)$ $x=a$ $a$ $a$

Ensinnäkin funktion analyyttisuuden välttämätön ehto on Taylor-sarjan konvergenssi jollain jatkuvalla alueella. Todellakin, jos Taylor-sarja konvergoi vain yhdessä pisteessä, tämä on pointti , koska Taylor-sarja suppenee aina siinä. Mutta sitten Taylor-sarja on yhtä suuri kuin funktio vain tässä yksittäisessä pisteessä, mikä tarkoittaa, että tämä funktio ei ole analyyttinen. $x=a$ $f(x)$

Toiseksi, Taylor-kaavan mukaan mikä tahansa (ei vain analyyttinen) funktio, joka on äärettömästi differentioituva pisteen sisältävässä naapurustossa, voidaan laajentaa Taylor-sarjaksi jäännöstermillä . Olkoon Taylor-sarja, jossa on tällaisen funktion parametri, konvergoi tässä naapurustossa. Jos kummallakin kahdesta sekvenssistä on raja, niin näiden sekvenssien summan raja on yhtä suuri kuin niiden rajojen summa. Sitten kaikille naapurustosta voimme Taylor-kaavaa käyttäen kirjoittaa , missä on Taylor-sarja. $a$ $a$ $x$ $a$ $\lim _{n\to \infty }R_{n}(x)=\lim _{n\to \infty }(f(x)-P_{n}(x))=f(x) -\lim _{n\to \infty }P_{n}(x)$ $\lim _{n\to \infty }P_{n}(x)$

On selvää, että funktio on analyyttinen pisteessä silloin ja vain, jos pisteen määritellyssä ympäristössä on jatkuva alue niin, että koko sen Taylor-kaavan mukaisen laajenemisen jäljellä oleva termi pyrkii nollaan kasvaessa : . $f(x)$ $a$ $a$ $X$ $x\in X$ $n$ $\lim _{n\to \infty }R_{n}(x)=0$

Otetaan esimerkkinä eksponentiaalinen funktio . Sen Taylor - sarja konvergoi koko akselille minkä tahansa parametrin osalta . Osoittakaamme nyt, että tämä funktio on analyyttinen kaikissa kohdissa . ${\displaystyle e^{x))$ $x$ $a$ $a$

Tämän funktion laajennuksen loppuosa Lagrange-muodossa on muotoa , jossa on jokin luku ja välissä ja (ei mielivaltainen, mutta ei tunnettu). Sitten ilmeisesti ${R_{n}}(x)={\frac {{(xa)}^{n+1}}{(n+1)!}}{e^{\xi _{n}}}$ $\xi _{n}$ $x$ $a$

\lim _{n\to \infty }{R_{n}}(x)=\lim _{n\to \infty }{\frac {{(xa)}^{n+1}}{ (n+1)!}}{e^{\xi _{n}}}\leq M\cdot \lim _{n\to \infty }{\frac {{(xa)}^{n+1} }{(n+1)!}}=0

Tässä käytetään sitä, että kiinteällä aikavälillä eksponentti on rajoitettu johonkin numeroon $M$

Lisäksi, kuten voidaan nähdä, loppuosan raja on nolla mille tahansa ja . $x$ $a$

Maclaurin-sarja joistakin toiminnoista

Näytteilleasettaja : $\displaystyle {\mathrm {e}}^{{x}}=1+{\dfrac {x}{1!}}+{\dfrac {x^{2}}{2!}}+{\dfrac { x^{3}}{3!}}+\cdots =\sum \limits _{{n=0}}^{{\infty }}{\dfrac {x^{n}}{n!}}, x\in {\mathbb {C}}$
Luonnollinen logaritmi (" Mercator-sarja "): kaikille $\displaystyle \ln(1+x)=x-{\dfrac {x^{2}}{2}}+{\dfrac {x^{3}}{3}}-\cdots =\sum \limits _ {{n=0}}^{{\infty }}{\dfrac {(-1)^{n}x^{{n+1}}}{(n+1)}}=\sum \limits _ {{n=1}}^{{\infty }}{\dfrac {(-1)^{{n-1}}x^{n}}{n}},$ $-1< x\le 1$
Binomiaalinen laajennus : kaikille ja kaikille monimutkaisille missä $\displaystyle (1+x)^{\alpha }=1+\sum \limits _{{n=1}}^({\infty }}{\binom \alpha n}x^{n},$ $\left| x\oikea| < 1$ $\alpha,$ $\displaystyle {\binom {\alpha }{n}}=\prod \limits _{k=1}^{n}{\dfrac {\alpha -k+1}{k}}={\dfrac {\alpha (\alpha -1)\cdots (\alpha -n+1)}{n!)}}$
- Neliöjuuri : kaikille $\displaystyle {\sqrt {1+x}}=1+{\dfrac {x}{2}}-{\dfrac {x^{2}}{8}}+{\dfrac {x^{ 3}}{16}}-{\dfrac {5x^{4}}{128}}+\cdots =\sum \limits _{n=0}^{\infty }{\dfrac {(-1)^ {n}(2n)!}{(1-2n)n!^{2}4^{n}}}x^{n},$ $|x|\leq 1$
- ${\dfrac {1}{1-x}}=1+x+x^{2}+x^{3}+\cdots =1+\sum \limits _{n=1}^{\ infty }x^{n},$ kaikille $|x| < 1$
- Lopullinen geometrinen sarja: kaikille $\displaystyle {\dfrac {1-x^{{m+1}}}{1-x}}=\sum \limits _{{n=0}}^{{m}}x^{n},$ ${\displaystyle x\not =1,\ m\in \mathbb {N} _{0))$
Trigonometriset funktiot :
- Sinus: $\sin x=x-{\frac {x^{3}}{3!}}+{\frac {x^{5}}{5!}}-{\frac {x^{7} }{7!}}+{\frac {x^{9}}{9!}}-\cdots =\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n }x^{2n+1}}{(2n+1)!}}$
- Kosini: $\displaystyle \cos x=1-{\frac {x^{2}}{2!}}+{\frac {x^{4}}{4!}}-\cdots =\sum _{ n=0}^{\infty }{(-1)^{n}}{\frac {x^{2n}}{(2n)!}},x\in \mathbb {C}$
- Tangentti: kaikille missä ovat Bernoulli-luvut $\displaystyle \operaattorinimi {tg}\ x=x+{\frac {x^{3}}{3}}+{\frac {2x^{5}}{15}}+\cdots =\sum _{{n =1}}^{{\infty }}{\frac {B_{{2n}}(-4)^{n}(1-4^{n})}{(2n)!}}x^{{ 2n-1}},$ $\left|x\right|<{\dfrac {\pi }{2)),$ $B_{2n}$
- Secant: kaikille missä ovat Euler-luvut $\displaystyle \sec x=\sum _{{n=0}}^{{\infty }}{\frac {(-1)^{n}E_{{2n}}}{(2n)!}}x ^{{2n}}$ $\left|x\right|<{\dfrac {\pi }{2))$ $E_{2n}$
- Arcsine: kaikille [6] $\displaystyle \arcsin x=x+{\frac {x^{3}}{6}}+{\frac {3x^{5}}{40}}+\cdots \ =\sum _{{n=0} }^{{\infty }}{\frac {(2n)!}{4^{n}(n!)^{2}(2n+1)))x^{{2n+1}}$ $\left|x\right|\leq 1$
- Arccosine: kaikille $\displaystyle \arccos x={\pi \over 2}-\arcsin x={\pi \over 2}-\sum _{{n=0}}^({\infty }}{\frac {(2n) !}{4^{n}(n!)^{2}(2n+1)}}x^{{2n+1}}$ $\left|x\right|\leq 1$
- Arktangentti: kaikille $\displaystyle \operaattorinimi {arctg} \ x=x-{\frac {x^{3}}{3}}+{\frac {x^{5}}{5}}-\cdots \ =\ summa _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n-1}}{2n-1}}x^{2n-1}$ $\left|x\right|\leq 1$
Hyperboliset toiminnot :
- $\operaattorinimi {sh} x=x+{\frac {x^{3}}{3!}}+{\frac {x^{5}}{5!}}+\cdots =\sum _{ n=0}^{\infty }{\frac {1}{(2n+1)!}}x^{2n+1},x\in \mathbb {C}$
- $\operaattorinnimi {ch} x=1+{\frac {x^{2}}{2!}}+{\frac {x^{4}}{4!}}+\cdots =\sum _ {n=0}^{\infty }{\frac {1}{(2n)!}}x^{2n},x\in \mathbb {C}$
- $\operaattorinimi {th} x=x-{\frac {x^{3}}{3}}+{\frac {2x^{5}}{15}}-\cdots =\sum _{n =1}^{\infty }{\frac {B_{2n}4^{n}(4^{n}-1)}{(2n)!}}x^{2n-1}$ kaikille $\left|x\right|<{\dfrac {\pi }{2))$
- $\operaattorin nimi {arsh} x=x-{\frac {x^{3}}{6}}+{\frac {3x^{5}}{40}}-\cdots \ =\sum _{ n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}(2n)!}{4^{n}(n!)^{2}(2n+1)))x^{ 2n+1}$ kaikille $\left| x\oikea| < 1$
- $\operaattorinimi {arth} x=x+{\frac {x^{3}}{3}}+{\frac {x^{5}}{5}}+\cdots =\sum _{n= 0}^{\infty }{\frac {1}{2n+1}}x^{2n+1}$ kaikille $\left| x\oikea| < 1$

Taylorin kaava kahden muuttujan funktiolle

Olkoon funktiolla jatkuvat derivaatat : nteen asteeseen asti jossain pisteen ympäristössä . Esittelemme differentiaalioperaattorin $f(x,y)$ $(n+1)$ $(x_0, y_0)$

\mathrm{T}=(x-x_0)\dfrac {\partial} {\partial x}+(y-y_0)\dfrac {\partial} {\partial y}

Silloin funktion laajennus (Taylor-kaava) potenssien for pisteen naapurustossa saa muotoa $f(x,y)$ ${\näyttötyyli (x-x_{0})^{p}(y-y_{0})^{q))$ $p+q\leq n$ $(x_0, y_0)$

f(x,y)=\sum\limits_{k=0}^n \dfrac {\mathrm{T}^kf(x_0,y_0)} {k!} + R_n(x,y),

missä on jäljellä oleva termi Lagrange-muodossa: $R_n(x,y)$

R_n(x,y)=\dfrac {\mathrm{T}^{(n+1)} f(\xi,\zeta)} {(n+1)!},\ \xi \in [x_0,x ],\ \zeta \in [y_0,y]

Huomaa, että operaattorit ja vaikuttavat vain toimintoon , eivät päälle ja/tai . ${\dfrac {\partial }{\partial x))$ ${\dfrac {\partial }{\partial y))$ ${\displaystyle \mathrm {T} ^{k))$ $f(x,y)$ $(x-x_0)$ ${\näyttötyyli (y-y_{0})}$

Vastaavasti kaava on rakennettu minkä tahansa muuttujamäärän funktioille, vain operaattorin termien määrä muuttuu . $\mathrm{T}$

Yhden muuttujan funktion tapauksessa . $\mathrm {T} =(x-x_{0}){\dfrac {d}{dx}}\,$

Taylorin kaava monille muuttujille

Saadaksemme Taylorin kaavan muuttujien funktiolle , jolla on jossain pisteen naapurustossa jatkuvia derivaattoja -: nteen kertaluokkaan asti, otamme käyttöön differentiaalioperaattorin $n$ $f(x_1, x_2, ... x_n)$ $(a_{1},a_{2},...,a_{n})$ $(m+1)$

\mathrm {T} =(x_{1}-a_{1}){\dfrac {\partial }{\partial x_{1))}+(x_{2}-a_{2}){\ dfrac {\partial }{\partial x_{2}}}+...+(x_{n}-a_{n}){\dfrac {\partial }{\partial x_{n}}}.

Tällöin funktion laajennus (Taylor-kaava) potenssien pisteen ympäristössä on muotoa $(x_{i}-a_{i})^{k_{i))$ $(a_{1},a_{2},...,a_{n})$

f(x_{1},x_{2},...x_{n})=\sum \limits _{k=0}^{m}{\dfrac {\mathrm {T} ^{k }f(a_{1},a_{2},...,a_{n})}{k!}}+R_{m}(x_{1},x_{2},...x_{n }),

missä on tilauksen loppuosa . $R_m(x_1, x_2, ... x_n)$ $(m+1)$

Muuttujien funktiolle , joka on äärettömästi differentioituva jossain pisteen ympäristössä , Taylor - sarja on muotoa $n$ $(a_{1},a_{2},...,a_{n})$

f(x_{1},x_{2},...x_{n})=\sum \limits _{k_{1}=0}^{\infty }\sum \limits _{k_{ 2}=0}^{\infty }...\sum \limits _{k_{n}=0}^{\infty }C_{k_{1},k_{2},...k_{n} }(x_{1}-a_{1})^{k_{1}}(x_{2}-a_{2})^{k_{2}}...(x_{n}-a_{n} )^{k_{n}}

missä

C_{k_{1},k_{2},...k_{n))={\dfrac {1}{k_{1}!k_{2}!...k_{n}!} } {k_{2}}...\osittainen x_{n}^{k_{n}}}}f(x_{1},x_{2},...x_{n})|_{x_{1 }=a_{1},x_{2}=a_{2},...,x_{n}=a_{n}}

Esimerkki Maclaurinin sarjalaajennuksesta kolmen muuttujan funktiolle

Etsitään lauseke Taylor-sarjan laajennukselle kolmen muuttujan funktiolle ja pisteen läheisyydestä toiseen pienuusluokkaan asti. Operaattori näyttää $x$ $y$ $z$ $(0,0,0)$ $\mathrm{T}$

\mathrm{T}= x \dfrac {\partial} {\partial x}+ y \dfrac {\partial} {\partial y}+ z \dfrac {\partial} {\partial z}.

Taylor-sarjan laajennus voidaan kirjoittaa nimellä

f(x,y,z)=\sum \limits _{k=0}^{2}{\dfrac {\mathrm {T} ^{k}f_{0}}{k!)}} + R_{2}(x,y,z)=

=\left(1+T+{\frac {T^{2}}{2}}\right)f_{0}+R_{2}(x,y,z);

Olettaen että

T^2 = x^2 \dfrac {\partial^2} {\partial x^2}+ y^2 \dfrac {\partial^2} {\partial y^2}+ z^2 \dfrac {\partial ^2} {\osittainen z^2} + 2xy \dfrac {\partial^2} {\partial x \partial y} + 2xz \dfrac {\partial^2} {\partial x \partial z}+ 2yz \dfrac {\partial^2} {\partial y \partial z},

saamme

f(x,y,z)=f_{0}+x{\dfrac {\partial f_{0}}{\partial x}}+y{\dfrac {\partial f_{0}}{\ osittainen y))+z{\dfrac {\osittinen f_{0)){\osittainen z))+{\frac {x^{2)){2)){\dfrac {\osittinen ^{2}f_{ 0}}{\partial x^{2}}}+{\frac {y^{2}}{2}}{\dfrac {\partial ^{2}f_{0}}{\partial y^{2 ))}+{\frac {z^{2}}{2}}{\dfrac {\partial ^{2}f_{0}}{\partial z^{2}}}+

+xy{\dfrac {\partial ^{2}f_{0}}{\partial x\partial y}}+xz{\dfrac {\partial ^{2}f_{0}}{\partial x \partial z}}+yz{\dfrac {\partial ^{2}f_{0}}{\partial y\partial z}}+R_{2}(x,y,z).

Esimerkiksi osoitteessa , $f(x,y,z)=e^{x+y+z}$

f(x,y,z)=1+x+y+z+{\frac {x^{2}}{2}}+{\frac {y^{2}}{2}}+{ \frac {z^{2}}{2}}+xy+xz+yz+R_{2}(x,y,z).

Muistiinpanot

↑ Taylor, Brook, Methodus Incrementorum Directa et Inversa [Suorat ja käänteiset lisäysmenetelmät] (Lontoo, 1715), sivut 21-23 (väite VII, lause 3, johtopäätös 2). Käännetty englanniksi kirjassa DJ Struik, A Source Book in Mathematics 1200-1800 (Cambridge, Massachusetts: Harvard University Press, 1969), sivut 329-332.
↑ Gupta RC Madhava-Gregory-sarja, Math. Koulutus 7 (1973), B67-B70.
↑ Zaporozhets G. I. "Opas matemaattisen analyysin ongelmien ratkaisemiseen" - s. 371
↑ N.S. Piskunov. Differentiaali- ja integraalilaskenta. - Mithril, 1996. - S. 1. osa, luku 4, kappale 6.
↑ N.S. Piskunov. Differentiaali- ja integraalilaskenta teknisille korkeakouluille. - kolmastoista. - MOSKVA "NAUKA", 1985. - S. Osa 2, luku 16, kohta 16.
↑ Kun x:n arvo on lähellä 1:tä, tämä laskentakaava antaa suuren virheen. Siksi voit käyttää kaavaa missä $\arcsin x = \arccos \sqrt{1-x^2},$ $\arccos x = {\pi\over 2}-\arcsin x$

Kirjallisuus

Ilyin V. A., Sadovnichiy V. A., Sendov B. Kh. Matemaattinen analyysi, osa 1, toim. 3, toim. A. N. Tikhonov. M.: Prospekt, 2004.
Kamynin L. I. Matemaattinen analyysi. T. 1, 2. - 2001.
Kiselev V. Yu., Pyartli A. S., Kalugina T. F. Korkeampi matematiikka. Ensimmäinen lukukausi, interaktiivinen tietokoneoppikirja.
Markushevich AI Analyyttisten funktioiden teoria. 2 osana - toim. 2. - M .: Nauka , 1967 . - Vol. 1: Teorian alku. — 486 s.
Narasimhan R. Analyysi todellisista ja monimutkaisista monimutkaisista. - per. englannista. E. M. Chirki. - M .: Mir , 1971 . — 232 s.
Petrova S. S., Romanovska D. A. Taylor-sarjan löytämisen historiasta. // Historiallinen ja matemaattinen tutkimus . - M . : Nauka , 1980. - Nro 25 . - S. 10-24 .
Piskunov N. S. Differentiaali- ja integraalilaskenta teknisille korkeakouluille. 2 osana - toim. 13. - M . : Nauka, Fysikaalisen ja matemaattisen kirjallisuuden pääpaino , 1985 . - T. 1. - 432 s.
Piskunov N. S. Differentiaali- ja integraalilaskenta teknisille korkeakouluille. 2 osana - toim. 13. - M . : Nauka, Fysikaalisen ja matemaattisen kirjallisuuden pääpaino , 1985 . - T. 2. - 560 s.
Fikhtengol'ts G. M. Differentiaali- ja integraalilaskennan kurssi. 3 osassa - toim. 8. — M .: FIZMATLIT , 2003 . - T. I. - 680 s. — ISBN ISBN 5-9221-0156-0 .

Jaksot ja rivit
Jaksot	Numerosarja Perusjärjestys Lineaarinen toistuva sekvenssi Fibonaccin numerot kiharat numerot Factorial Barker-sekvenssi de bruijn sekvenssi
Rivit, perus	Rivin summa Loput rivistä Ehdollinen konvergenssi Vaihteleva sarja Rivien moniosa
Numerosarja ( operaatiot numerosarjoilla )	harmoninen sarja Leibniz-sarja Sarja käänteisiä neliöitä Käänteisten alkulukujen sarja Dirichlet rivi Mercator-sarja Rivi Grandi 1 - 2 + 3 - 4 + ... 1 + 2 + 3 + 4 + ...
toiminnallisia rivejä	Taylor-sarja Laurent-sarja Fourier-sarja Trigonometrinen Fourier-sarja trigonometrinen sarja Wiener-sarja
Muut rivityypit	Neumann-sarja Puiseux'n rivi

Differentiaalilaskenta

Main

yksityiset näkymät

Differentiaalioperaattorit
( eri koordinaateissa )

Ensimmäinen tilaus	Nabla operaattori Kaltevuus Eroaminen Roottori Helmholtzian
toinen tilaus	Elliptinen operaattori Laplacen operaattori Laplace-vektorioperaattori D'Alembert-operaattori Laplace-Beltrami operaattori
korkeammat tilaukset	Hypoelliptinen operaattori

liittyvät aiheet