Dawson-toiminto

Kokeneet kirjoittajat eivät ole vielä tarkistaneet sivun nykyistä versiota, ja se voi poiketa merkittävästi 28. joulukuuta 2019 tarkistetusta versiosta . tarkastukset vaativat 3 muokkausta .

Matematiikassa Dawson-funktio tai Dawson-integraali (nimetty Henry Gordon Dawsonin mukaan) on todellisen muuttujan ei -alkeisfunktio :

F(x)=e^{-x^{2}}\int _{0}^{x}e^{t^{2}}\,dt.

Ominaisuudet

Yleiset ominaisuudet

pariton funktio : . $F(-x)=-F(x)$
Johdannainen : . ${\frac {d}{dx}}F(x)=1-2xF(x)$
Epämääräinen integraali : , jossa on yleinen hypergeometrinen funktio . $\int F(x)\,dx={\frac {1}{2}}x^{2}{}_{2}F_{2}\left(1,1;{\frac {3}{2 }},2;-x^{2}\oikea)$ ${}_{2}F_{2}\left(a,b;c,d;z\oikea)$
Onko käänteiseksponentin murto -osa derivaatta : . $D^{{-1/2}}e^{{-x}}={\frac {2}({\sqrt {\pi }}}}F({\sqrt {x}})$
Sillä on maksimi pisteessä, joka on yhtälön ratkaisu : . Murtoluvut annetaan numerosarjoilla, sekvenssi 133841 OEIS : ssä ja sekvenssi 133842 OEIS : ssä . $1-{\sqrt {\pi }}e^{-x^{2}}x\,\mathrm {erfi} (x)=0$ $F(0,9241388730)=0,541044246$
Siinä on käännepiste : (sekvenssi 133843 OEIS : ssä ). $F(1,5019752683)=0,4276866160$
Laajentuu jatkuviin murtolukuihin :

F(z)={\cfrac {1}{1+{\cfrac {2z^{2}}{3-{\cfrac {4z^{2}}{5+{\cfrac {6z^{ 2}}{7-{\cfrac {8z^{2}}{9+\cdots }}}}}}}}}}

F(z)={\cfrac {z}{1+2z^{2}-{\cfrac {4z^{2}}{3+2z^{2}-{\cfrac {8z^{2 }}{5+2z^{2}-{\cfrac {12z^{2}}{7+2z^{2}-\cdots }}}}}}}}

Virhetoiminto

Dawson-funktio liittyy läheisesti virheintegraaliin erf :

F(x)={{\sqrt {\pi }} \over 2}e^{{-x^{2}}}{\mathrm {erfi}}(x)=-{i{\sqrt {\pi }} \over 2}e^{{-x^{2}}}{\mathrm {erf}}(ix)

missä erfi on virhefunktion imaginaariosa , erfi( x ) = − i erf( ix ).

Asymptotiikka

varten | x |, lähellä nollaa, F ( x ) ≈ x ja | x | suuri, F ( x ) ≈ 1/(2 x ). Tarkemmin sanottuna lähellä alkuperää on laajennus sarjaksi :

F(x)=\summa _{{k=0}}^{{\infty }}{\frac {(-1)^{k}\,2^{k}}{(2k+1)!! }}\,x^{{2k+1}}=x-{\frac {2}{3}}x^{3}+{\frac {4}{15}}x^{5}-\cdots

F(x)=\summa _{{n=0}}^{{+\infty }}{\frac {(-2)^{{n}}}{1\cdot 3\cdot 5\cdots (2n +1)}}\,x^{{2n+1}}=x-{\frac 23}x^{3}+{\frac 4{15}}x^{5}-\pisteet

(tämä potenssisarja konvergoi kaikille x ) ja lähellä , on asymptoottinen laajennus : $+\infty$

F(x)={\frac {1}{2x}}+{\frac {1}{4x^{3}}}+{\frac {3}{8x^{5}}}+\pisteet +{ \frac {1\cdot 3\cdot 5\cdots (2n-1)}{2^{{n+1}}x^{{2n+1}}}}+o(x^{{-2n-2 }})

(joka sitä vastoin kaikille x on divergentti sarja ).

Vaihtoehtoinen määritelmä

F ( x ) täyttää tavallisen differentiaaliyhtälön

{\frac {dF}{dx}}+2xF=1

alkuehdon kanssa F (0) = 0.

Yleistykset

Joskus he käyttävät toista nimitystä Dawson-funktiolle: , sitten he lisäävät sen "symmetrisesti" merkintään: ; näissä merkinnöissä: $D_{+}(x)=e^{-x^{2}}\int _{0}^{x}e^{t^{2}}\,dt$ $D_{-}(x)=e^{x^{2}}\int _{0}^{x}e^{-t^{2}}\,dt$

D_{+}(x)={{\sqrt {\pi }} \over 2}e^{{-x^{2}}}{\mathrm {erfi}}(x)

D_{-}(x)={{\sqrt {\pi }} \over 2}e^{{x^{2}}}{\mathrm {erf}}(x)

Katso myös

Kirjallisuus

Temme, NM (2010), "Error Functions, Dawson's and Fresnel Integrals", kirjassa Olver, Frank WJ; Lozier, Daniel M.; Boisvert, Ronald F. et ai., NIST Handbook of Mathematical Functions , Cambridge University Press , ISBN 978-0521192255

Linkit

Cephes - C- ja C++:n matemaattisten funktioiden kirjasto
Weisstein , Eric W. Dawsonin integraali Wolfram MathWorldissä .
Virhetoiminto
Dawson-funktion toteutukset