Asymptoottinen laajeneminen

Kokeneet kirjoittajat eivät ole vielä tarkistaneet sivun nykyistä versiota, ja se voi poiketa merkittävästi 24.9.2020 tarkistetusta versiosta . vahvistus vaatii 1 muokkauksen .

Funktion f(x) asymptoottinen laajennus on muodollinen funktionaalinen sarja , jossa tämän sarjan mielivaltaisen äärellisen määrän termien summa approkimoi ( approksimoi ) funktiota f(x) jonkin funktion läheisyydessä (mahdollisesti äärettömässä). sen rajapiste . Henri Poincaré esitteli käsitteen funktion asymptoottisesta laajennuksesta ja asymptoottisesta sarjasta ratkaistessaan taivaanmekaniikan ongelmia . Erillisiä asymptoottisen laajentumisen tapauksia löydettiin ja niitä käytettiin jo 1700-luvulla. Asymptoottisilla laajennuksilla ja sarjoilla on tärkeä rooli erilaisissa matematiikan , mekaniikan ja fysiikan ongelmissa .

Määritelmä

Täytä funktioiden ominaisuus: jollekin funktion f(x) määritelmäalueen rajapisteelle . Toimintojen sarjaa, joka täyttää määritellyt ehdot, kutsutaan asymptoottiseksi sekvenssiksi. Rivi: jolle seuraavat ehdot täyttyvät: $\varphi_{n}$ $\varphi _{{n+1}}(x)=o(\varphi _{n}(x))\ (x\rightarrow L)\quad \forall n\in \mathbb{N}$ $L$ $\varphi_{n}$ $\sum _{{n=0}}^{\infty }a_{n}\varphi _{{n}}(x)$ $f(x)-\sum _{{n=0}}^{{N-1}}a_{n}\varphi _{{n}}(x)=O(\varphi _{{N}}( x))\ (x\nuoli oikealle L)$

tai vastaavasti:

f(x)-\sum _{{n=0}}^{{N-1}}a_{n}\varphi _{{n}}(x)=o(\varphi _{{N-1} }(x))\ (x\nuoli oikealle L).

kutsutaan funktion f (x) tai sen asymptoottisen sarjan asymptoottiseksi laajennukseksi. Tämä tosiasia heijastuu:

f(x)\sim \sum _{{n=0}}^{\infty }a_{n}\varphi _{n}(x)\ (x\nuoli oikealle L).

Ero konvergentin sarjan ja funktion asymptoottisen laajennuksen välillä voidaan havainnollistaa seuraavasti: minkä tahansa kiinteän konvergentin sarjan osalta sarja konvergoi arvoon kohdassa , kun taas asymptoottisen laajennuksen tapauksessa sarja konvergoi arvoon. rajassa ( voi olla ääretön). $f(x)$ $x$ $f(x)$ $N\rightarrow \infty$ $N$ $f(x)$ $x\rightarrow L$ $L$

Erdelyin asymptoottinen laajennus

Erdelyin asymptoottisella laajennuksella on yleisempi määritelmä. Sarjaa kutsutaan funktion f(x) Erdelyin asymptoottiseksi laajennukseksi, jos on olemassa asymptoottinen sekvenssi , joka $\sum _{{n=0}}^{\infty }a_{n}\varphi _{{n}}(x)$ $\psi_{{n}}$

f(x)-\sum _{{n=0}}^{{N}}a_{n}\varphi _{{n}}(x)=o(\psi _{{N}}(x) )\ (x\nuoli oikealle L).

Tämä tosiasia on kirjoitettu seuraavassa muodossa:

f(x)\sim \sum _{{n=0}}^{\infty }a_{n}\varphi _{n}(x)\ (x\rightarrow L)\quad \{\psi _{{ n}}(x)\}.

Tällaisella yleistetyllä laajennuksella on monia yhteisiä ominaisuuksia tavallisen asymptoottisen laajennuksen kanssa, mutta tällaisten laajennusten teoria on huonosti ymmärretty, usein vain vähän käyttökelpoinen numeerisissa laskelmissa ja sitä käytetään harvoin.

Esimerkkejä

gamma-toiminto

{\frac {e^{x}}{x^{x}{\sqrt {2\pi x}}}}\Gamma (x+1)\sim 1+{\frac {1}{12x}}+ {\frac {1}{288x^{2}}}-{\frac {139}{51840x^{3}}}-\cdots \ (x\rightarrow \infty )

Integraalinen eksponentiaalinen funktio

xe^{x}E_{1}(x)\sim \sum _{{n=0}}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}n!}{x^{n} }}\ (x\rightarrow \infty )

Riemannin zeta-funktio

\zeta (s)\sim \sum _{n=1}^{N}n^{-s}-{\frac {N^{1-s}}{s-1}}-{\ frac {1}{2}}N^{-s}+N^{-s}\sum _{m=1}^{\infty }{\frac {B_{2m}s^{\overline {2m- 1}}}{(2m)!N^{2m-1}}}

missä ovat Bernoulli-luvut ja . Tämä laajennus koskee kaikkia komplekseja .

B_{{2m}}

s^{{\overline {2m-1}}}=s(s+1)(s+2)\cdots (s+2m-2)

Virhetoiminto

{\sqrt {\pi }}xe^{{x^{2}}}{{\rm {erfc}}}(x)\sim 1+\sum _{{n=1}}^{\infty } (-1)^{n}{\frac {(2n)!}{n!(2x)^{{2n))))

Esimerkki Erdelyin asymptoottisesta laajentumisesta, joka ei ole tavallinen laajennus, on [1] :

{\frac {\sin(x)}{x}}\sim \sum _{{n=0}}^{\infty }{\frac {n!e^{{-(n+1)x/2n }}}{(\log x)^{n}}}\quad (x\rightarrow \infty )\ \{(\log x)^{{-n}}\}.

Muistiinpanot

↑ Roderick Wong. Integraalien asymptoottiset approksimaatiot. Academic Press, Lontoo, 1989 s. 13

Kirjallisuus

Matemaattinen tietosanakirja / Toim. I. M. Vinogradova. Osa 2 - M .: Mir, 1985.
Erdeyi A. Asymptoottiset laajennukset / Per. englannista. - M., 1962
Kopson E. Asymptoottiset laajennukset / Per. englannista. - M. , Mir, 1966.
Bleistein, N. ja Handlesman, R. , Asymptotic Expansions of Integrals, Dover, New York, 1975