Fresnel-integraalit

Fresnel-integraalit S ( x ) ja C ( x ) ovat erikoisfunktioita, jotka on nimetty Augustin Jean Fresnelin mukaan ja joita käytetään optiikassa . Ne syntyvät Fresnel -diffraktiota laskettaessa ja määritellään seuraavasti

S(x)=\int \limits _{0}^{x}\sin(t^{2})\,dt,\quad C(x)=\int \limits _{0}^{ x}\cos(t^{2})\,dt.

Parametrinen S ( x ) ja C ( x ) kuvaaja antaa tasossa käyrän, jota kutsutaan Cornu-spiraaliksi tai klothoidiksi .

Sarjan laajennus

Fresnel-integraalit voidaan esittää potenssisarjoilla , jotka konvergoivat kaikille x :ille :

S(x)=\int \limits _{0}^{x}\sin(t^{2})\,dt=\sum _{n=0}^{\infty }(-1) ^{n}{\frac {x^{4n+3}}{(4n+3)(2n+1)!}}={\frac {x^{3}}{3}}-{\frac { x^{7}}{42}}+{\frac {x^{11}}{1320}}-\cdots ,

C(x)=\int \limits _{0}^{x}\cos(t^{2})\,dt=\sum _{n=0}^{\infty }(-1) ^{n}{\frac {x^{4n+1}}{(4n+1)(2n)!}}=x-{\frac {x^{5}}{10}}+{\frac { x^{9}}{216}}-\cdots .

Jotkut kirjoittajat [1] käyttävät trigonometristen integrandien argumenttina . Näin määritellyt Fresnel-integraalit saadaan edellä määritellyistä integraaleista muuttamalla muuttujaa ja kertomalla integraalit arvolla . ${\frac {\pi }{2}}t^{2}$ $t\to {\sqrt {\frac {\pi }{2))}t$ ${\displaystyle {\sqrt {\frac {2}{\pi ))))$

Spiral Cornu

Cornu-spiraali , joka tunnetaan myös nimellä clothoid , on käyrä, joka on parametrinen käyrä S ( t ) vs. C ( t ). Cornu-spiraalin keksi Marie Alfred Cornu helpottamaan diffraktion laskemista sovelletuissa tehtävissä.

Koska

C\,'(t)^{2}+S\,'(t)^{2}=\sin ^{2}(t^{2})+\cos ^{2}(t^ {2})=1,

silloin tässä parametroinnissa tangenttivektorilla on yksikköpituus, joten t on käyrän pituus mitattuna pisteestä (0,0). Siksi spiraalin molemmilla haaroilla on ääretön pituus.

Tämän käyrän kaarevuus missä tahansa pisteessä on verrannollinen tämän pisteen ja origon välisen kaaren pituuteen. Tästä ominaisuudesta johtuen sitä käytetään tienrakennuksessa, koska tätä käyrää pitkin vakionopeudella liikkuvan auton kulmakiihtyvyys pysyy vakiona.

Ominaisuudet

$S(x)$ ja ovat parittomia toimintoja . $C(x)$ $x$

Fresnel-integraalien asymptotiikka on annettu kaavoilla $x\to \infty$

S(x)={\sqrt {\frac {\pi }{2}}}\left({\frac {{\mbox{sign}}{(x))){2}}-{\ frac {\cos {(x^{2})}}{x{\sqrt {2\pi }}}}\left[1+O(x^{-4})\right]-{\frac {\ sin {(x^{2})}}{x^{3}{\sqrt {8\pi }}}}\left[1+O(x^{-4})\right]\right),

C(x)={\sqrt {\frac {\pi }{2}}}\left({\frac {{\mbox{sign}}{(x))){2}}+{\ frac {\sin {(x^{2})}}{x{\sqrt {2\pi }}}}\left[1+O(x^{-4})\right]-{\frac {\ cos {(x^{2})}}{x^{3}{\sqrt {8\pi }}}}\left[1+O(x^{-4})\right]\right).

Sarjalaajennuksella voidaan rakentaa Fresnel-integraalien analyyttinen jatko koko kompleksitasolle. Kompleksiset Fresnel-integraalit ilmaistaan virhefunktiona as

S(x)={\frac {\sqrt {\pi }}{4}}\left({\sqrt {i}}\,\mathrm {erf} ({\sqrt {i}}\, x)+{\sqrt {-i}}\,\mathrm {erf} ({\sqrt {-i}}\,x)\oikea)

C(x)={\frac {\sqrt {\pi }}{4}}\left({\sqrt {-i}}\,\mathrm {erf} ({\sqrt {i}}\ ,x)+{\sqrt {i}}\,\mathrm {erf} ({\sqrt {-i}}\,x)\oikea)

Fresnel-integraaleja ei ilmaista perusfunktioina paitsi erikoistapauksissa. Näiden funktioiden raja on yhtä suuri kuin $x\rightarrow \infty$

\int \limits _{0}^{\infty }\cos t^{2}\,dt=\int \limits _{0}^{\infty }\sin t^{2}\,dt ={\frac {\sqrt {2\pi }}{4}}={\sqrt {\frac {\pi }{8}}}.

Laskenta

Funktioiden C ja S at rajat löytyvät ääriviivaintegroinnilla. Tätä varten otamme funktion ääriviivaintegraalin $x\rightarrow \infty$

e^{-{\frac {1}{2}}t^{2}}

sektorin rajaa pitkin kompleksitasolla, jonka muodostavat x-akseli, säde , ja ympyrä, jonka säde on R , jonka keskipiste on origossa. $y=x$ $x \geqslant 0$

Kohteessa , kaaria pitkin integraali pyrkii 0:aan, reaaliakselin integraali pyrkii Poissonin integraalin arvoon $R\rightarrow \infty$

\int \limits _{0}^{\infty }e^{-{\frac {1}{2}}t^{2}}dt={\sqrt {\frac {\pi }{2 }}},

ja joidenkin muunnosten jälkeen jäljellä olevaa sädettä pitkin oleva integraali voidaan ilmaista Fresnel-integraalin raja-arvona.

Katso myös

Muistiinpanot

Milton Abramowitz ja Irene A. Stegun, toim. Matemaattisten funktioiden käsikirja kaavoilla, kaavioilla ja matemaattisilla taulukoilla. - New York: Dover, 1972. (Katso osa 7) (eng.)

↑ Yhtälöt 7.3.1 - 7.3.2

Linkit

Weisstein, Eric W. Fresnel Integrals (englanniksi) Wolfram MathWorld -verkkosivustolla . (Englanti)
Weisstein, Eric W. Cornu Spiral (englanniksi) Wolfram MathWorld -verkkosivustolla . (Englanti)
R. Nave, The Cornu spiral , Hyperphysics (2002) (Käyttää arvoa πt²/2 t²:n sijaan. )
Roller Coaster Loop Shapes (ei saatavilla linkki) . Haettu 13. elokuuta 2008. Arkistoitu alkuperäisestä 4. maaliskuuta 2006. (määrätön) (englanniksi).