Vastavuoroinen numero

Tietyn luvun x käänteisluku on luku , jonka kertomalla x: llä saadaan yksi . Hyväksytty merkintä: tai . Kahta lukua, joiden tulo on 1, kutsutaan käänteisluvuiksi . Luvun käänteislukua ei pidä sekoittaa funktion käänteisarvoon. Se eroaa esimerkiksi funktion käänteisarvosta kosini- arkosiini , joka on merkitty tai . ${\frac {1}x}$ $x^{{-1}}$ ${\frac {1}{\cos {x}}}$ $\cos ^{{-1}}x$ $\arccos x$

Käänteinen reaaliluku

Jokaiselle todelliselle (tai kompleksi ) luvulle, joka on muu kuin nolla , on luku, joka on sen käänteisluku. Reaaliluvun käänteisluku voidaan antaa murtolukuna tai potenssina eksponentin -1 . Mutta pääsääntöisesti käytetään merkintää murtoluvun kautta.

Määrä	Käänteinen
Määrä	Murto-osa	Tutkinto
$n$	${\frac {1}{n}}$	$n^{{-1}}$

Se on . $\ {\frac {1}{n}}=n^{{-1}}$

Esimerkkejä
Määrä	$3$	${\frac {1}{10))$	$-{\frac {2}{7}}$	$2\pi$	$2$	$-0,125$	$yksi$	$\sqrt{3}$	$e^{{{\frac {\pi }{4))))$	$10^{{23}}$
Käänteinen	${\frac {1}{3))$	$kymmenen$	$-{\frac {7}{2}}$	${\frac {1}{2\pi ))$	$0.5$	$-kahdeksan$	$yksi$	$\frac{\sqrt{3}}{3}$	$e^{{-{\frac {\pi }{4))))$	$10^{{-23}}$

Älä sekoita termejä "käänteisnumero" ja " vastakkainen luku ". Kahden luvun sanotaan olevan vastakkaisia, jos niiden summa on nolla. Esimerkiksi 3:n vastainen luku on −3 ja käänteisluku on 1/3.

Käänteinen nollaan

Aritmetiikassa, joka toimii todellisten (tai kompleksisten) lukujen kanssa, ei ole äärettömyyden käsitettä (ei ole lukua "äärettömyyttä"). Siksi katsotaan, että on mahdotonta jakaa nollalla . Nollalla ei siis ole vastavuoroisuutta. Mutta rajasiirtymän käyttöönoton jälkeen ( matemaattisessa analyysissä ) on ilmaantunut sellaisia käsitteitä kuin äärettömän pienet ja äärettömän suuret suuret , jotka ovat keskenään käänteisiä.

Käyttämällä rajan kulkua saamme:

Oikea raja: _ tai _ $\lim _{x\to +0}{\frac {1}{x}}=\left({\frac {1}{0}}\right)=+\infty$ $\left({\frac {1}{x}}\right){\xrightarrow[ {x{\xrightarrow {}}+0}]{}}\ {+\infty }$
Vasen raja: _ tai _ $\lim _{x\to -0}{\frac {1}{x}}=\left({\frac {1}{0}}\right)=-\infty$ $\left({\frac {1}{x}}\right){\xrightarrow[ {x{\xrightarrow {}}-0}]{}}\ {-\infty }$

Siten nollan käänteisluku, riippuen siitä, kummalle puolelle pyrkiä, on muodollisesti ääretön merkin "+" tai "-" kanssa . Tällainen käänteisen nollan määrittely on kuitenkin merkityksetön - johdanto menettää distributiivisuuden, mikä ilmenee erityisesti silloin, kun käänteinen neliöraja on myös "sama" äärettömän kanssa, mutta kun edellinen raja jaetaan tällä, se antaa vastaus 0, ei 1.

$\lim _{{x\to +0}}{\frac {1}{x^{2}}}={+\infty }$

Mutta $\lim _{{x\to +0}}{\frac {{\frac {1}{x}}}{{\frac {1}{x^{2}}}}=\lim _{{ x\to +0}}{\frac {x^{2}}{x}}=0$

Käänteinen kompleksiluku

Kompleksilukujen käänteiset näyttävät hieman monimutkaisemmilta kuin todellisten lukujen käänteiset. Kompleksiluvuilla on kolme muotoa: algebrallinen , trigonometrinen ja eksponentiaalinen .

Monimutkaiset lukumuodot	Määrä $(z)$	Käänteinen [1] $\left({\frac {1}{z}}\oikea)$
Algebrallinen	$x+iy$	${\frac {x}{x^{2}+y^{2}}}-i{\frac {y}{x^{2}+y^{2}}}$
trigonometrinen	$r(\cos \varphi +i\sin \varphi )$	${\frac {1}{r}}(\cos \varphi -i\sin \varphi )$
Esittely	$re^{{i\varphi }}$	${\frac {1}{r}}e^{{-i\varphi }}$

Nimitys ja todiste

Nimitys

$z\in {\mathbb {C}}$ (kompleksiluku), (kompleksiluvun reaaliosa), (kompleksiluvun imaginaariosa), - imaginaariyksikkö , (kompleksiluvun moduuli), (kompleksiluvun argumentti), - luonnollisen logaritmin kanta .
$x=\operaattorinimi {Re} (z)\in \mathbb {R}$
$y=\operaattorin nimi {Im} (z)\in \mathbb {R}$
$i$
$r=|z|={\sqrt {x^{2}+y^{2}}}$
$\varphi =\operaattorinimi {arg} z=\operaattorinimi {arctg} {\frac {y}{x))$
$e$

Todistus:
Algebrallisissa ja trigonometrisissa muodoissa käytämme murtoluvun perusominaisuutta , kertomalla osoittaja ja nimittäjä kompleksikonjugaatilla :

Algebrallinen muoto:

${\frac {1}{z}}={\frac {1}{x+iy}}={\frac {x-iy}{(x+iy)(x-iy)))={\frac { x-iy}{x^{2}+y^{2}}}={\frac {x}{x^{2}+y^{2}}}-i{\frac {y}{x^ {2}+y^{2}}}$

Trigonometrinen muoto:

${\frac {1}{z))={\frac {1}{r(\cos \varphi +i\sin \varphi )))={\frac {1}{r)){\frac {\cos \varphi -i\sin \varphi }{(\cos \varphi +i\sin \varphi )(\cos \varphi -i\sin \varphi )))={\frac {1}{r)){\frac {\cos \varphi -i\sin \varphi }{\cos ^{2}\varphi +\sin ^{2}\varphi }}={\frac {1}{r}}(\cos \varphi -i \sin \varphi )$

Ohjeellinen muoto:

${\frac {1}{z}}={\frac {1}{re^{{i\varphi }}}}={\frac {1}{r}}e^{{-i\varphi }}$

Siten kompleksiluvun käänteistä löydettäessä on kätevämpää käyttää sen eksponentiaalista muotoa.

Esimerkki:

Monimutkaiset lukumuodot	Määrä $(z)$	Käänteinen [1] $\left({\frac {1}{z}}\oikea)$
Algebrallinen	$1+i{\sqrt {3}}$	${\frac {1}{4}}-{\frac {{\sqrt {3}}}{4}}i$
trigonometrinen	$2\left(\cos {\frac {\pi }{3}}+i\sin {\frac {\pi }{3}}\right)$ tai [2] $2\left({\frac {1}{2}}+i{\frac {{\sqrt {3}}}{2}}\right)$	${\frac {1}{2}}\left(\cos {\frac {\pi }{3}}-i\sin {\frac {\pi }{3}}\oikea)$ tai [2] ${\frac {1}{2}}\left({\frac {1}{2}}-i{\frac {{\sqrt {3}}}{2}}\oikea)$
Esittely	$2e^{{i{\frac {\pi }{3))))$	${\frac {1}{2}}e^{{-i{\frac {\pi }{3))))$

Käänteinen imaginaariyksikölle

On vain kaksi lukua ( kompleksikonjugaatti ), joiden käänteisluvut ja vastakohdat ovat yhtä suuret. Tämä on . $\pm i$

Määrä	Käänteisen ja vastakohdan yhtäläisyys
Määrä	Käänteisluvun kirjoittaminen murtoluvun läpi	Käänteinen kirjoittaminen tutkinnon kautta
$i$	${\frac {1}{i}}=-i$	$i^{{-1}}=-i$
$-i$	$-{\frac {1}{i}}=i$	$-i^{{-1}}=i$

Todiste

Osoittakaamme todiste ( samanlaiselle). Käytämme murtoluvun pääominaisuutta : Siten saamme __ tai __ Vastaavasti : __ __ tai __ $i$ $-i$

${\frac {1}{i}}={\frac {1\cdot i}{i\cdot i}}={\frac {i}{i^{2}}}={\frac {i}{ -1}}=-i$

${\frac {1}{i}}=-i$ $i^{{-1}}=-i$

$-i$ $-{\frac {1}{i}}=i$ $-i^{{-1}}=i$

Muistiinpanot