Käänteiset hyperboliset funktiot

Kokeneet kirjoittajat eivät ole vielä tarkistaneet sivun nykyistä versiota, ja se voi poiketa merkittävästi 21. lokakuuta 2021 tarkistetusta versiosta . tarkastukset vaativat 5 muokkausta .

Käänteiset hyperboliset funktiot (tunnetaan myös aluefunktioina tai aluefunktioina ) ovat perusfunktioiden perhe, joka määritellään hyperbolisten funktioiden käänteisfunktioiksi . Nämä funktiot määrittävät yksikköhyperbolin sektorin alueen x 2 − y 2 = 1 samalla tavalla kuin käänteiset trigonometriset funktiot määrittävät yksikköympyrän x 2 + y 2 = 1 kaaren pituuden . Näille funktioille käytetään usein nimityksiä arcsinh, arcsh, arccosh, arch jne., vaikka tällaiset nimitykset ovat tarkasti ottaen virheellisiä, koska etuliite arc on lyhenne sanoista arcus (arc) ja viittaa siksi vain käänteisiin trigonometrisiin funktioihin . sitten ar tarkoittaa aluetta . Oikeampia merkintöjä ovat arsinh, arsh jne. ja nimet käänteinen hyperbolinen sini , areasini jne. Käytetään myös [1] nimiä hyperbolinen areasini , hyperbolinen areakosiini jne., mutta sana " hyperbolinen " on tässä tarpeeton, koska etuliite " alue " osoittaa selvästi, että funktio kuuluu käänteisten hyperbolisten funktioiden perheeseen . Joskus vastaavien funktioiden nimet kirjoitetaan yhdysviivalla : alue-sini , alue-kosini jne.

Kompleksitasossa hyperboliset funktiot ovat jaksollisia ja niiden käänteisfunktiot ovat moniarvoisia. Siksi käänteisten trigonometristen funktioiden tapaan on tapana kirjoittaa aluefunktiot isolla kirjaimella, jos tarkoitetaan funktion arvojoukkoa ( logaritmi vastaavassa funktiomääritelmässä ymmärretään myös logaritmin yleisenä arvona, ns. tekijä Ln). Vastaavien funktioiden pääarvot on kirjoitettu pienellä kirjaimella.

Venäläisessä kirjallisuudessa useimpien suorien ja käänteisten hyperbolisten funktioiden (sekä trigonometristen funktioiden osien) nimitykset eroavat englanninkielisistä merkinnöistä.

Toiminnon nimi	Nimitys venäläisessä kirjallisuudessa	Nimitys englanninkielisessä kirjallisuudessa
areasinus	arsh	arsinh, sinh −1
pintakosiini	kaari	arcosh, cosh -1
alueen tangentti	arth	artanh, tanh −1
alueen tangentti	arkt	arcoth, coth -1
aluesekanssi	arsch, arsech	arsech, sech -1
alueellista	arcsch	arcsch, csch− 1

Toimintojen määritelmät

Kompleksisessa tasossa funktioiden pääarvot voidaan määrittää kaavoilla:

areasinus

\operaattorinnimi {arsh}\,z=\ln(z+{\sqrt {z^{2}+1}}\,);

pintakosiini

\operaattorin nimi {arkki} \,z=\ln(z+{\sqrt {z^{2}-1)))

alueen tangentti

\operaattorinnimi {arth}\,z={\tfrac 12}\ln \left({\frac {1+z}{1-z}}\oikea);

alueen tangentti

\operaattorinnimi {arkth}\,z={\tfrac 12}\ln \left({\frac {z+1}{z-1}}\oikea);

aluesekanssi

\operaattorinimi {arsech} \,z=\ln \left({\frac {1}{z}}+{\sqrt ({\frac {1}{z^{2}}}-1}} \oikea);

alueellista

\operaattorinimi {arcsch}\,z=\ln \left({\frac {1}{z}}+{\sqrt ({\frac {1}{z^{2}}}+1}}\,\ oikein).

Näissä kaavoissa neliöjuuret ovat neliöjuuren pääarvoja (eli jos edustat kompleksilukua z kuten kohdassa ), ja logaritmiset funktiot ovat kompleksimuuttujan funktioita. Todellisille argumenteille voidaan tehdä joitain yksinkertaistuksia esimerkiksi, jotka eivät aina pidä paikkaansa neliöjuurien pääarvoille. ${\sqrt {z}}={\sqrt {r}}\,e^{i\varphi /2},$ $z=re^{i\varphi }$ $-\pi <\varphi \leq \pi$ ${\sqrt {x+1}}{\sqrt {x-1}}={\sqrt {x^{2}-1)),$

Sarjan laajennus

Käänteiset hyperboliset funktiot voidaan laajentaa sarjoiksi :

{\begin{aligned}\operatorname {arsh} \,x&=x-\left({\frac {1}{2}}\right){\frac {x^{3}}{3}} +\left({\frac {1\cdot 3}{2\cdot 4}}\right){\frac {x^{5}}{5}}-\left({\frac {1\cdot 3\ cdot 5}{2\cdot 4\cdot 6}}\right){\frac {x^{7}}{7}}+\cdots \\&=\sum _{n=0}^{\infty } \left({\frac {(-1)^{n}(2n-1)!!}{(2n)!!}}\oikea){\frac {x^{2n+1}}{(2n+ 1) )}},\qquad \left|x\right|<1.\end{tasattu}}

{\begin{aligned}\operatorname {arch} \,x&=\ln 2x-\left(\left({\frac {1}{2}}\right){\frac {x^{-2 }}{2}}+\vasen({\frac {1\cdot 3}{2\cdot 4}}\right){\frac {x^{-4}}{4}}+\vasen({\ frac {1\cdot 3\cdot 5}{2\cdot 4\cdot 6}}\right){\frac {x^{-6}}{6}}+\cdots \right)\\&=\ln 2x-\sum _{n=1}^{\infty }\left({\frac {(2n)!}{2^{2n}(n!)^{2))}\oikea){\frac { x^{-2n}}{(2n)}},\qquad x>1.\end{aligned}}

{\begin{aligned}\operatorname {arth} \,x&=x+{\frac {x^{3}}{3}}+{\frac {x^{5}}{5}}+{ \frac {x^{7}}{7}}+\cdots \\&=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{2n+1}}{(2n+1 )}},\qquad \left|x\right|<1.\end{tasattu}}

{\begin{aligned}\operaattorinimi {arcsch} \,x=\operaattorinimi {arsh} {\frac {1}{x}}&=x^{-1}-\left({\frac {1 }{2}}\oikea){\frac {x^{-3}}{3}}+\left({\frac {1\cdot 3}{2\cdot 4}}\right){\frac { x^{-5}}{5}}-\left({\frac {1\cdot 3\cdot 5}{2\cdot 4\cdot 6}}\right){\frac {x^{-7} }{7}}+\cdots \\&=\sum _{n=0}^{\infty }\left({\frac {(-1)^{n}(2n)!}{2^{2n }(n!)^{2))}\oikea){\frac {x^{-(2n+1)}}{(2n+1)}},\qquad \left|x\right|>1. \end{aligned}}

{\begin{aligned}\operatorname {arsech} \,x=\operatorname {arch} {\frac {1}{x}}&=\ln {\frac {2}{x}}-\left (\vasen({\frac {1}{2}}\oikea){\frac {x^{2}}{2}}+\left({\frac {1\cdot 3}{2\cdot 4} }\oikea){\frac {x^{4}}{4}}+\vasen({\frac {1\cdot 3\cdot 5}{2\cdot 4\cdot 6}}\right){\frac {x^{6}}{6}}+\cdots \right)\\&=\ln {\frac {2}{x}}-\sum _{n=1}^{\infty }\left( {\frac {(2n)!}{2^{2n}(n!)^{2}}}\oikea){\frac {x^{2n}}{2n}},\qquad 0<x\leq 1.\end{tasattu}}

{\begin{aligned}\operatorname {arcth} \,x=\operatorname {arth} {\frac {1}{x}}&=x^{-1}+{\frac {x^{- 3}}{3}}+{\frac {x^{-5}}{5}}+{\frac {x^{-7}}{7}}+\cdots \\&=\sum _{ n=0}^{\infty }{\frac {x^{-(2n+1)}}{(2n+1)}},\qquad \left|x\right|>1.\end{aligned} }

Arsh x :n asymptoottinen laajennus saadaan kaavalla

\operaattorinimi {arsh}\,x=\ln 2x+\sum \limits _{{n=1}}^{\infty }{\left({-1}\right)^{{n-1}}{\ frac {{\left({2n-1}\right)!!}}{{2n\left({2n}\right)!!}}}}{\frac {1}{{x^{{2n} }}}}.

Johdannaiset

Toiminto $f(x)$	Johdannainen $f'(x)$	Merkintä
$\mathrm {arsh} \ x$	${\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {x^{2}+1))))$	Todiste ${\displaystyle (arsh(x))'=(\ln {(x+{\sqrt {x^{2}+1)))})'={\frac {1}{x+{\sqrt {x^{ 2}+1))))\cdot (x+{\sqrt {x^{2}+1)))'={\frac {1}{x+{\sqrt {x^{2}+1))} }\cdot ((x)'+({\sqrt {x^{2}+1)))')={\frac {1}{x+{\sqrt {x^{2}+1)))) \cdot (1+({\sqrt {x^{2}+1}})')={\frac {1}{x+{\sqrt {x^{2}+1}}}}\cdot (1 +{\frac {1}{2{\sqrt {x^{2}+1))))\cdot (x^{2}+1)')={\frac {1}{x+{\sqrt { x^{2}+1))))\cdot (1+{\frac {2x}{2{\sqrt {x^{2}+1)))))={\frac {1}{x+{ \sqrt {x^{2}+1))))\cdot ({\frac {x+{\sqrt {x^{2}+1}}}{\sqrt {x^{2}+1}}} )={\frac {x+{\sqrt {x^{2}+1}}}{(x+{\sqrt {x^{2}+1}})\cdot ({\sqrt {x^{2} +1))))={\frac {1}{\sqrt {x^{2}+1))))$
$\mathrm {arch} \ x$	${\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {x^{2}-1))))$	Todiste ${\displaystyle (arch(x))'=(\ln {(x+{\sqrt {x^{2}-1)))})'={\frac {1}{x+{\sqrt {x^{ 2}-1))))\cdot (x+{\sqrt {x^{2}-1)))'={\frac {1}{x+{\sqrt {x^{2}-1))} }\cdot ((x)'+({\sqrt {x^{2}-1)))')={\frac {1}{x+{\sqrt {x^{2}-1)))) \cdot (1+({\sqrt {x^{2}-1}})')={\frac {1}{x+{\sqrt {x^{2}-1}}}}\cdot (1 +{\frac {1}{2{\sqrt {x^{2}-1))))\cdot (x^{2}-1)')={\frac {1}{x+{\sqrt { x^{2}-1))))\cdot (1+{\frac {2x}{2{\sqrt {x^{2}-1)))))={\frac {1}{x+{ \sqrt {x^{2}-1))))\cdot ({\frac {x+{\sqrt {x^{2}-1}}}{\sqrt {x^{2}-1}}} )={\frac {x+{\sqrt {x^{2}-1}}}{(x+{\sqrt {x^{2}-1}})\cdot ({\sqrt {x^{2} -1)))))={\frac {1}{\sqrt {x^{2}-1))))$
$\mathrm {arth} \ x$	${\displaystyle {\frac {1}{1-x^{2))))$	Todiste $({\displaystyle \mathrm {arth} \ x})'={\biggl (}{\frac {1}{2))\cdot \ln {\biggl (}{\frac {1+x} {1-x}}{\biggl )}{\biggl )}'={\frac {1}{2}}\cdot {\frac {1-x}{1+x}}\cdot {\biggl ( }{\frac {1+x}{1-x}}{\biggl )}'={\frac {1}{2}}\cdot {\frac {1-x}{1+x}}\cdot {\frac {(1+x)'(1-x)-(1+x)(1-x)'}{(1-x)^{2))}={\frac {1}{2} }\cdot {\frac {1-x}{1+x}}\cdot {\frac {2}{(1-x)^{2}}}={\frac {1}{1-x^{ 2}}}$
$\mathrm {arcth} \x$	${\displaystyle {\frac {1}{1-x^{2))))$	Todiste $({\displaystyle \mathrm {arcth} \ x})'={\biggl (}{\frac {1}{2))\cdot \ln {\biggl (}{\frac {x+1} {x-1}}{\biggl )}{\biggl )}'={\frac {1}{2}}\cdot {\frac {x-1}{x+1}}\cdot {\biggl ( }{\frac {x+1}{x-1}}{\biggl )}'={\frac {1}{2}}\cdot {\frac {x-1}{x+1}}\cdot {\frac {(x+1)'(x-1)-(x+1)(x-1)'}{(x-1)^{2))}={\frac {1}{2} }\cdot {\frac {x-1}{x+1}}\cdot {\frac {-2}{(x-1)^{2}}}={\frac {1}{1-x^ {2}}}$
$\mathrm {arsech} \x$	${\displaystyle -{\frac {1}{x(x+1){\sqrt {\frac {1-x}{1+x)))))))$
$\mathrm {arcsch} \ x$	${\displaystyle -{\frac {1}{x(x+1){\sqrt {1+{\frac {1}{x^{2))))))))))$