Spektrisekvenssi

Homologisessa algebrassa ja algebrallisessa topologiassa spektrisekvenssi on tapa laskea homologiaryhmiä peräkkäisillä approksimaatioilla. Sen jälkeen kun Jean Leray esitteli ne, niistä on tullut tärkeä laskentatyökalu erityisesti algebrallisessa topologiassa, algebrallisessa geometriassa ja homologisessa algebrassa.

Muodollinen määritelmä

Korjaamme Abelin kategorian , kuten moduulien luokan renkaan päälle . Spektrisekvenssi koostuu valitusta ei-negatiivisesta kokonaisluvusta r 0 ja kolmen sekvenssin joukosta:

Kaikille kokonaisluvuille r ≥ r 0 objektit E r , joita kutsutaan arkeiksi,
Endomorfismit d r : E r → E r , jotka täyttävät d r o d r = 0, joita kutsutaan rajamappauksiksi tai differentiaaleiksi,
Er +1 : n isomorfismit H : n kanssa ( Er ), Er : n homologia dr :n suhteen .

Yleensä isomorfismit E r +1 :n ja H ( E r ) välillä jätetään pois ja niiden tilalle kirjoitetaan yhtälöt.

Yksinkertaisin esimerkki on ketjukompleksi C • . Objekti C • Abelin ketjukompleksien kategoriasta on varustettu differentiaalilla d . Olkoon r 0 = 0 ja E 0 C • . Silloin E1 on kompleksi H ( C • ): tämän kompleksin i . jäsen on i . homologiaryhmä C • . Ainoa luonnollinen differentiaali tässä uudessa kompleksissa on nollakartta, joten asetamme d 1 = 0. Silloin E 2 on sama kuin E 1 ja jälleen ainoa luonnollinen differentiaali on nollakartta. Olettaen, että differentiaali on nolla kaikille myöhemmille levyille, saamme spektrisekvenssin, jonka termit ovat muotoa:

E 0 = C •
E r = H ( C • ) kaikille r ≥ 1.

Tämän spektrisekvenssin termit stabiloidaan ensimmäisestä levystä, koska ainoa ei-triviaali differentiaali oli nollalevyllä. Siksi emme saa uutta tietoa myöhemmissä vaiheissa. Yleensä saadaksesi hyödyllistä tietoa myöhemmiltä taulukoilta, sinulla on oltava lisärakenne E r : ssä .

Yllä kuvatussa lajittelemattomassa tilanteessa r 0 :lla ei ole väliä, mutta käytännössä useimmat spektrisekvenssit esiintyvät kategoriassa kaksinkertaiset moduulit renkaan R yli (tai kaksinkertaiset moduulipyörät renkaan nipun yli). Tässä tapauksessa jokainen arkki on kaksinkertainen moduuli ja hajoaa suoraksi termien summaksi, jossa on yksi termi jokaista asteparia kohti. Rajakartoitus määritellään kunkin lehden jäsenen rajakartoitusten suorana summana. Heidän tutkintonsa riippuu r :stä ja määräytyy sopimuksen mukaan. Homologisen spektrisekvenssin tapauksessa termit merkitsevät ja differentiaalit ovat kaksiasteisia (− r , r − 1). Kohomologisen spektrisekvenssin tapauksessa termit ilmaisevat ja differentiaalit ovat kaksiasteisia ( r , 1 − r ). (Nämä astevalinnat syntyvät luonnollisesti käytännössä; katso kaksoiskompleksiesimerkki alla.) Spektrisekvenssistä riippuen ensimmäisen arkin rajakartalla on biaste, joka vastaa arvoa r = 0, r = 1 tai r = 2. esimerkiksi alla kuvatulle spektrisekvenssisuodatetulle kompleksille r 0 = 0, mutta Grothendieckin spektrisekvenssille r 0 = 2. ${\displaystyle E_{p,q}^{r))$ ${\displaystyle E_{r}^{p,q))$

Olkoon E r spektrisekvenssi, joka alkaa esimerkiksi arvolla r = 0. Sitten on aliobjektien sarja

0=B_{0}\osajoukko B_{1}\osajoukko B_{2}\osajoukko \pisteet \osajoukko B_{r}\osajoukko \pisteet \osajoukko Z_{r}\osajoukko \pisteet \osajoukko Z_{2 }\subset Z_{1}\subset Z_{0}=E_{0},

sellainen, että ; Todellakin, me uskomme ja määrittelemme siten, että se on ydin ja mielikuva ${\displaystyle E_{r}\simeq Z_{r-1}/B_{r-1))$ $Z_{0}=E_{0},B_{0}=0$ ${\displaystyle Z_{r},B_{r))$ ${\displaystyle Z_{r}/B_{r-1},B_{r}/B_{r-1))$ $E_{r}{\overset {d_{r}}{\to }}E_{r}.$

Sitten oletetaan , että ${\displaystyle Z_{\infty }=\cap _{r}Z_{r},B_{\infty }=\cup _{r}B_{r))$

{\displaystyle E_{\infty }=Z_{\infty }/B_{\infty ))

;

kutsutaan rajajäseneksi. (Tätä ei tietenkään ole kategoriassa, mutta tämä ei yleensä ole ongelma, koska esimerkiksi moduulien luokassa on tällaisia rajoja tai koska käytännössä työstettävät spektrisekvenssit useimmiten rappeutuvat; yllä olevassa sekvenssissä on vain rajallinen määrä sisällytyksiä.) ${\displaystyle E_{\infty ))$

Visualisointi

Kaksinkertainen spektrisekvenssi sisältää paljon dataa, mutta on olemassa visualisointimenetelmä, joka tekee spektrisekvenssin rakenteesta ymmärrettävämmän. Meillä on kolme indeksiä, r , p ja q . Kuvitellaan, että jokaista r :tä kohden meillä on paperiarkki. Tässä arkissa p kasvaa vaakasuunnassa ja q pystysuunnassa. Jokaisessa hilan pisteessä meillä on esine . ${\displaystyle E_{r}^{p,q))$

Tyypillisesti n = p + q on toinen luonnollinen indeksi spektrisekvenssissä. n kasvaa vinottain. Homologisessa tapauksessa differentiaalit ovat kaksiasteisia (− r , r − 1), joten ne pienenevät n :llä 1:llä. Kohomologisessa tapauksessa n kasvaa yhdellä. Jos r on nolla, differentiaali siirtää kohteita yhden askeleen ylös tai alas. . Tämä on kuin differentiaali ketjukompleksissa. Jos r on yksi, differentiaali siirtää objektit yhden askeleen vasemmalle tai oikealle. Jos r on kaksi, differentiaali siirtää esineitä samalla tavalla kuin ratsun siirto shakissa. Suurella r :llä differentiaali toimii kuin yleinen ritariliike.

Spektrisekvenssikonstruktiot

Suodatetun kompleksin spektrisekvenssi

Monet spektrisekvenssit ovat peräisin suodatetuista koketjukomplekseista. Tämä on cochain-kompleksi C • jossa on joukko alikomplekseja F p C • , jossa p on mielivaltainen kokonaisluku. (Käytännössä p on yleensä rajoitettu toiselta puolelta.) Rajakartoituksen on oltava yhdenmukainen tämän suodatuksen kanssa; eli d ( F p C n ) ⊆ F p C n+1 . Suodatuksen katsotaan laskevan, eli F p C • ⊇ F p+1 C • . Numeroimme cochain-kompleksin termit indeksillä n . Myöhemmin oletetaan myös, että suodatus on Hausdorff tai erotettavissa, eli kaikkien F p C • leikkauspiste on nolla ja että suodatus on tyhjentävä, eli kaikkien F p C • liitto on koko cochain. kompleksi C • .

Suodatus on hyödyllinen, koska se antaa arvon nollan läheisyydestä: p :n kasvaessa F p C • tulee lähemmäksi nollaa. Rakennamme tästä suodatuksesta spektrisekvenssin, jossa seuraavien lehtien rinnakkaisrajat ja kosyklit tulevat lähemmäksi alkuperäisen kompleksin rinnakkaisrajoja ja kosyklisiä. Tämä spektrisekvenssi luokitellaan kahdesti suodatusasteen p ja komplementaarisen asteen {{{1}}} mukaan . (Komplementtiteho on usein kätevämpi indeksi kuin n . Näin on esimerkiksi alla kuvatun binäärikompleksispektrisekvenssin tapauksessa.)

Rakennamme tämän spektrisekvenssin manuaalisesti. C • :llä on vain yksi luokittelu ja suodatus, joten ensin rakennetaan kaksinkertaisesti arvosteltu objekti C • :stä . Toisen asteikon saamiseksi siirrymme siihen liittyvään asteikoituun objektiin suodatuksen suhteen. Merkitään se epätavallisella tavalla, mikä perustellaan vaiheessa E 1 :

{\displaystyle Z_{-1}^{p,q}=Z_{0}^{p,q}=F^{p}C^{p+q))

B_{0}^{p,q}=0

E_{0}^{p,q}={\frac {Z_{0}^{p,q}}{B_{0}^{p,q}+Z_{-1}^{p+ 1 ,q-1}}}={\frac {F^{p}C^{p+q}}{F^{p+1}C^{p+q}}}

{\displaystyle E_{0}=\bigoplus _{p,q\in \mathbf {Z} }E_{0}^{p,q))

Koska oletimme, että rajakartoitus on johdonmukainen suodatuksen kanssa, E 0 on kaksinkertainen asteikko ja luonnollinen kaksinkertainen rajakartoitus d 0 kohtaan E 0 . Saadaksemme arvon E 1 , otamme E 0 : n homologian .

{\bar {Z}}_{1}^{p,q}=\ker d_{0}^{p,q}:E_{0}^{p,q}\rightarrow E_{0} ^{p,q+1}=\ker d_{0}^{p,q}:F^{p}C^{p+q}/F^{p+1}C^{p+q}\ oikea nuoli F^{p}C^{p+q+1}/F^{p+1}C^{p+q+1}

{\bar {B}}_{1}^{p,q}={\mbox{im }}d_{0}^{p,q-1}:E_{0}^{p,q -1}\rightarrow E_{0}^{p,q}={\mbox{im }}d_{0}^{p,q-1}:F^{p}C^{p+q-1} /F^{p+1}C^{p+q-1}\rightarrow F^{p}C^{p+q}/F^{p+1}C^{p+q}

{\displaystyle E_{1}^{p,q}={\frac ({\bar {Z}}_{1}^{p,q}}({\bar {B}}_{1}^{ p,q}}}={\frac {\ker d_{0}^{p,q}:E_{0}^{p,q}\rightarrow E_{0}^{p,q+1}}{ {\mbox{im }}d_{0}^{p,q-1}:E_{0}^{p,q-1}\rightarrow E_{0}^{p,q))))

E_{1}=\bigoplus _{p,q\in \mathbf {Z} }E_{1}^{p,q}=\bigoplus _{p,q\in \mathbf {Z} }{ \frac {{\bar {Z}}_{1}^{p,q}}{{\bar {B}}_{1}^{p,q}}}

Huomaa, että ja voidaan kuvata kuvina ${\bar {Z}}_{1}^{p,q}$ ${\bar {B}}_{1}^{p,q}$ ${\displaystyle E_{0}^{p,q))$

Z_{1}^{p,q}=\ker d_{0}^{p,q}:F^{p}C^{p+q}\rightarrow C^{p+q+1} /F^{p+1}C^{p+q+1}

B_{1}^{p,q}=({\mbox{im }}d_{0}^{p,q-1}:F^{p}C^{p+q-1}\ oikea nuoli C^{p+q})\cap F^{p}C^{p+q}

ja mitä meillä on

E_{1}^{p,q}={\frac {Z_{1}^{p,q}}{B_{1}^{p,q}+Z_{0}^{p+1 ,q-1}}}.

${\displaystyle Z_{1}^{p,q))$ on juuri se, mitä differentiaali siirtää yhden tason ylöspäin suodatuksessa, ja on täsmälleen kuva siitä, mitä differentiaali siirtää nollatasoa ylöspäin suodatuksessa. Tämä viittaa siihen, että meidän pitäisi määritellä , mitä differentiaali siirtää r tasoittaa suodatusta ja koska kuva siitä, mitä differentiaali siirtää, r-1 tasoittaa suodatusta. Toisin sanoen spektrisekvenssin on tyydyttävä ${\displaystyle B_{1}^{p,q))$ ${\displaystyle Z_{r}^{p,q))$ ${\displaystyle B_{r}^{p,q))$

Z_{r}^{p,q}=\ker d_{0}^{p,q}:F^{p}C^{p+q}\rightarrow C^{p+q+1} /F^{p+r}C^{p+q+1}

B_{r}^{p,q}=({\mbox{im }}d_{0}^{p-r+1,q+r-2}:F^{p-r+1} C^{p+q-1}\rightarrow C^{p+q})\cap F^{p}C^{p+q}

E_{r}^{p,q}={\frac {Z_{r}^{p,q}}{B_{r}^{p,q}+Z_{r-1}^{p +1,q-1}}}

ja meillä on oltava suhde

B_{r}^{p,q}=d_{0}^{p,q}(Z_{r-1}^{p-r+1,q+r-2}).

Jotta tämä olisi järkevää, meidän on löydettävä differentiaali d r jokaisesta Er: stä ja tarkistettava, että sen homologia on isomorfinen E r +1 : n kanssa . Ero

d_{r}^{p,q}:E_{r}^{p,q}\rightarrow E_{r}^{p+r,q-r+1}

määritellään alkuperäisen differentiaalin d c rajoitukseksi aliobjektiin . $C^{p+q}$ ${\displaystyle Z_{r}^{p,q))$

On helppo tarkistaa, että Er:n homologia tämän differentiaalin suhteen on E r +1 , joten saadaan spektrisekvenssi. Valitettavasti eroa ei ole kuvattu kovin selkeästi. Differentiaalien tai tapojen löytäminen ilman niitä on yksi suurimmista ongelmista spektrisekvenssin onnistuneen soveltamisen tiellä.

Kaksoiskompleksin spektrisekvenssi

Toinen yleinen spektrisekvenssi on kaksoiskompleksin spektrisekvenssi. Kaksoiskompleksi on joukko olioita C i, j kaikille kokonaisluvuille i ja j yhdessä kahden differentiaalin, d I ja d II , kanssa . Sopimuksen mukaan dl pienentää i :tä ja d II pienentää j : tä . Lisäksi oletetaan, että nämä kaksi differentiaalia ovat anticommute, joten d I d II + d II d I = 0. Tavoitteenamme on verrata iteroituja homologioita ja . Teemme tämän suodattamalla kaksoiskompleksimme kahdella tavalla. Tässä ovat suodattimemme: $H_{i}^{I}(H_{j}^{II}(C_{\bullet ,\bullet }))$ $H_{j}^{II}(H_{i}^{I}(C_{\bullet ,\bullet }))$

(C_{i,j}^{I})_{p}={\begin{cases}0&{\text{if }}i<p\\C_{i,j}&{\text{ jos }}i\geq p\end{cases}}

(C_{i,j}^{II})_{p}={\begin{cases}0&{\text{if }}j<p\\C_{i,j}&{\text{ jos }}j\geq p\end{cases}}

Saadaksemme spektrisekvenssin, vähennämme tilanteen edelliseen esimerkkiin. Kokonaiskompleksi T ( C •,• ) määritellään kompleksiksi, jonka n: s termi on tämä ja jonka differentiaali on d I + d II . Tämä on kompleksi, koska d I ja d II ovat työmatkan vastaisia differentiaaleja. Kaksi suodatusta C i, j :llä saa aikaan kaksi suodatusta kokonaiskompleksille: ${\näyttötyyli \bigoplus _{i+j=n}C_{i,j))$

{\displaystyle T_{n}(C_{\bullet ,\bullet })_{p}^{I}=\bigoplus _{i+j=n \atop i>p-1}C_{i,j))

{\displaystyle T_{n}(C_{\bullet ,\bullet })_{p}^{II}=\bigoplus _{i+j=n \atop j>p-1}C_{i,j))

Osoittaaksemme, että nämä spektrisekvenssit antavat tietoa iteroidusta homologiasta, kuvaamme suodatuksen I T : ssä termit E 0 , E1 ja E2 ( C •,• ). E 0 -jäsen on yksinkertainen:

{}^{I}E_{p,q}^{0}=T_{n}(C_{\bullet ,\bullet })_{p}^{I}/T_{n}(C_{ \bullet ,\bullet })_{p+1}^{I}=\bigoplus _{i+j=n \atop i>p-1}C_{i,j}{\Big /}\bigoplus _{ i+j=n \atop i>p}C_{i,j}=C_{p,q},

missä n = p + q .

Löytääksemme termin E 1 , meidän on kuvattava d I + d II kohdassa E 0 . Huomaa, että differentiaalin asteella tulee olla −1 suhteessa n :ään , joten saadaan kuvaus

d_{p,q}^{I}+d_{p,q}^{II}:T_{n}(C_{\bullet ,\bullet })_{p}^{I}/T_{ n}(C_{\bullet ,\bullet })_{p+1}^{I}=C_{p,q}\rightarrow T_{n-1}(C_{\bullet ,\bullet })_{p }^{I}/T_{n-1}(C_{\bullet ,\bullet })_{p+1}^{I}=C_{p,q-1}

Siksi differentiaali E 0 :lla on kartta C p , q → C p , q −1 , jonka d I + d II indusoi . Mutta d minulla on väärä aste sellaisen kuvauksen indusoimiseksi, joten d minun täytyy olla nolla kohdassa E 0 . Tämä tarkoittaa, että differentiaali on täsmälleen d II , joten saamme

{}^{I}E_{p,q}^{1}=H_{q}^{II}(C_{p,\bullet }).

Löytääksemme E2 :n meidän on määritettävä

d_{p,q}^{I}+d_{p,q}^{II}:H_{q}^{II}(C_{p,\bullet })\rightarrow H_{q}^{ II}(C_{p+1,\bullet })

Koska E1 on täsmälleen homologia dll : n suhteen , dll on nolla E1 : ssä . Siksi saamme

{}^{I}E_{p,q}^{2}=H_{p}^{I}(H_{q}^{II}(C_{\bullet ,\bullet })).

Toisella suodatuksella saadaan spektrisekvenssi, jolla on samanlainen termi E 2 :

{}^{II}E_{p,q}^{2}=H_{q}^{II}(H_{p}^{I}(C_{\bullet ,\bullet })).

On vielä löydettävä yhteys näiden spektrisekvenssien välillä. Osoittautuu, että kun r kasvaa, kahdesta sekvenssistä tulee tarpeeksi samankaltaisia hyödyllisten vertailujen tekemiseksi.

Lähentyminen ja rappeutuminen

Alkuperäisessä esimerkissä, josta aloitimme, spektrisekvenssin lehdet olivat vakioita alkaen r =1:stä. Tässä tilanteessa on järkevää ottaa arkkijonon raja: koska nollasivun jälkeen ei tapahdu mitään, on E ∞ :n raja-arkki sama kuin E 1 .

Yleisemmissä tilanteissa raja-arkit ovat usein olemassa ja ne ovat aina mielenkiintoisia. Ne ovat yksi spektrisekvenssien tärkeimmistä näkökohdista. Sanomme, että spektrisekvenssi konvergoi jos on olemassa r ( p , q ) siten, että kaikilla r ≥ r ( p , q ) differentiaalit ja ovat nolla. Tästä seuraa, että se on isomorfinen suurelle r :lle . Tämä on merkitty seuraavasti: ${\displaystyle E_{r}^{p,q))$ ${\displaystyle E_{\infty }^{p,q))$ $d_{r}^{pr,q+r-1}$ ${\displaystyle d_{r}^{p,q))$ ${\displaystyle E_{r}^{p,q))$ ${\displaystyle E_{\infty }^{p,q))$

{\displaystyle E_{r}^{p,q}\Rightarrow _{p}E_{\infty }^{p,q))

Tässä p tarkoittaa suodatusindeksiä. Termi kirjoitetaan usein konvergenssin vasemmalle puolelle, koska se on hyödyllisin termi monissa spektrisekvensseissä. ${\displaystyle E_{2}^{p,q))$

Useimmissa spektrisekvensseissä termi ei ole luonnollisesti kaksinkertainen. Sen sijaan on yleensä jäseniä , joilla on luonnollinen suodatus . Näissä tapauksissa oletamme . Määrittelemme konvergenssin samalla tavalla kuin ennenkin, mutta kirjoitamme ${\displaystyle E_{\infty ))$ ${\displaystyle E_{\infty }^{n))$ ${\displaystyle F^{\bullet }E_{\infty }^{n))$ ${\displaystyle E_{\infty }^{p,q}={\mbox{gr}}_{p}E_{\infty }^{p+q}=F^{p}E_{\infty }^{ p+q}/F^{p+1}E_{\infty }^{p+q))$

{\displaystyle E_{r}^{p,q}\Rightarrow _{p}E_{\infty }^{n))

mikä tarkoittaa, että kun p + q = n , konvergoi arvoon . ${\displaystyle E_{r}^{p,q))$ ${\displaystyle E_{\infty }^{p,q))$

Yksinkertaisin tapaus, jossa voimme todeta konvergenssin, on, kun spektrisekvenssi degeneroituu. Sanomme, että spektrisekvenssi degeneroituu r:nnessä lehdessä , jos minkä tahansa s ≥ r :n differentiaali d s on nolla. Tämä tarkoittaa, että E r ≅ E r +1 ≅ E r +2 ≅ … Tästä seuraa erityisesti, että E r on isomorfinen E ∞ : n kanssa . Näin tapahtui ensimmäisessä triviaalisessa esimerkissä suodattamattomasta ketjukompleksista: spektrisekvenssi degeneroitui ensimmäisessä lehdessä. Yleisesti ottaen, jos kaksinkertainen spektrisekvenssi on nolla vaaka- tai pystykaistan ulkopuolella, spektrisekvenssi degeneroituu, koska myöhemmät differentiaalit tulevat aina kaistan ulkopuolisesta kohteesta tai tulevat sieltä.

Spektrisekvenssi myös konvergoi, jos se katoaa kaikille p :lle, joka on pienempi kuin jokin p 0 ja kaikille q :lle, joka on pienempi kuin jokin q 0 . Jos p 0 ja q 0 voidaan valita nollaksi, tätä kutsutaan ensimmäisen kvadrantin spektrisekvenssiksi . Tämä sekvenssi konvergoi, koska jokainen kohde on kiinteällä etäisyydellä nollasta poikkeavan alueen rajasta. Tästä syystä kiinteille p :lle ja q :lle myöhempien arkkien differentiaali kuvataan aina nollaobjektiin tai siitä. Vastaavasti myös spektrisekvenssi konvergoi, jos se katoaa kaikille p :lle, joka on suurempi kuin jokin p 0 ja kaikille q :lle, joka on suurempi kuin jokin q 0 . ${\displaystyle E_{r}^{p,q))$ ${\displaystyle E_{r}^{p,q))$ ${\displaystyle E_{r}^{p,q))$

Kirjallisuus

A. T. Fomenko, D. B. Fuks. Homotopologian kurssi. - M .: Nauka, 1989. - 528 s.
Hatcher, Allen, Spectral Sequences in Algebraic Topology