Induktiivinen raja

Induktiivinen raja (tai suora raja , kolimit ) on rakenne, joka syntyi alun perin joukkoteoriassa ja topologiassa , ja löysi sitten laajan sovelluksen monilla matematiikan aloilla. Kaksoiskäsite on projektiivinen (tai käänteinen) raja.

Tämä rakenne mahdollistaa uuden objektin rakentamisen samantyyppisten objektien sarjan (joka on indeksoitu suunnatulla joukolla ) ja kartoitusjoukon perusteella . Induktiiviselle rajalle käytetään yleensä merkintää $X$ $X_{i}$ ${\displaystyle f_{ij}:X_{i}\to X_{j))$ $i\leqslant j$

X=\varinjlim X_{i}

Annamme määritelmän algebrallisille rakenteille ja sitten mielivaltaisen luokan kohteille .

Määritelmä

Algebralliset objektit

Tämä osio antaa määritelmän, joka sopii sarjoille , joissa on lisätty rakenne, kuten ryhmät , renkaat , kiinteän renkaan päällä olevat moduulit jne.

Olkoon suunnattu joukko ennakkotilaussuhteella ja olkoon jokainen elementti assosioitunut algebralliseen objektiin ja jokainen pari , jossa , liittyy homomorfismiin ja olla identtiset kuvaukset mille tahansa ja mille tahansa . Tällaista objektien ja homomorfismien järjestelmää kutsutaan myös suunnatuksi järjestelmäksi . $minä$ $\leqslant$ $minä\minässä$ $X_{i}$ $(i,\;j)$ $i,\;j\in I$ $i\leqslant j$ ${\displaystyle f_{ij}:X_{i}\to X_{j))$ $f_{{ii}}$ $minä\minässä$ ${\displaystyle f_{ik}=f_{jk}\circ f_{ij))$ $i\leqslant j\leqslant k$ $minä$

Tällöin suunnatun järjestelmän suoran rajan kantoaaltojoukko on kantoaaltojoukkojen disjunktiivisen liiton tekijäjoukko ekvivalenssisuhteen suhteen: $(X_{i},f_{{ij}})$ $X_{i}$

\varinjlim X_{i}=\bigsqcup _{i}X_{i}{\bigg /}\sim .

Tässä ja ovat vastaavia, jos on olemassa sellainen, että . Intuitiivisesti kaksi disjunktiivisen liiton elementtiä ovat ekvivalentteja silloin ja vain, jos ne "tulevat vastaaviksi ennemmin tai myöhemmin" suunnatussa järjestelmässä. Yksinkertaisempi muotoilu on ekvivalenssirelaation "jokainen elementti vastaa kuviaan" transitiivinen sulkeminen , eli . $x_{i}\in X_{i}$ $x_{j}\in X_{j}$ $k\in I$ $f_{ik}(x_{i})=f_{jk}(x_{j})$ $x_{i}\sim \,f_{ik}(x_{i})$

Tästä määritelmästä on helppo saada kanonisia morfismeja , jotka lähettävät jokaisen elementin ekvivalenssiluokkaansa. Lisätty algebrallinen rakenne voidaan saada näiden homomorfismien tiedosta. $\phi _{i}:X_{i}\rightarrow X$ $X$

Määritelmä mielivaltaiselle kategorialle

Mielivaltaisessa kategoriassa suora raja voidaan määrittää käyttämällä sen universaalia ominaisuutta . Suunnatun järjestelmän suora raja on nimittäin sellaisen kategorian kohde , jossa seuraavat ehdot täyttyvät: $(X_{i},f_{{ij}})$ $X$

on olemassa sellainen kartoitusperhe , että mille tahansa ; $\phi _{i}:X_{i}\to X$ ${\displaystyle \phi _{i}=\phi _{j}\circ f_{ij))$ $i\leqslant j$
mille tahansa kuvausperheelle mielivaltaiseen joukkoon , jolle yhtälöt pätevät mihin tahansa , on ainutlaatuinen kuvaus , joka kaikille . $\psi _{i}:X_{i}\to Y$ $Y$ ${\displaystyle \psi _{i}=\psi _{j}\circ f_{ij))$ $i\leqslant j$ $u:X\to Y$ ${\displaystyle \psi _{i}=u\circ \phi _{i))$ $minä\minässä$

Yleisemmin suunnatun järjestelmän suora raja on sama kuin sen koliiitti kategorisessa mielessä.

Esimerkkejä

Tietyn joukon mielivaltaiselle osajoukkojen perheelle voidaan määrittää ennakkotilausrakenne sisällyttämällä. Jos tämä ennakkotilaus todellakin on suunnattu , perheen suora raja on tavallinen joukkojen liitto.
Olkoon p alkuluku . _ Tarkastellaan ryhmien Z / p n Z ja homomorfismien Z / p n Z → Z / p n +1 Z suunnattua järjestelmää, jotka on indusoitu kertomalla p :llä . Tämän järjestelmän suora raja sisältää kaikki ykseyden juuret, joiden järjestys on jokin p :n potenssi . Niiden kertolaskuryhmää kutsutaan Prufer-ryhmäksi Z ( p ∞ ).
Olkoon F nippu topologisessa avaruudessa X , jonka arvot ovat C : ssä . Korjaa piste x X : ään . X :n avoimet lähialueet muodostavat suunnatun järjestelmän inkluusiona ( U ≤ V , jos U sisältää V ). Nivelfunktionori määrittää sille suunnatun järjestelmän ( F ( U ), rU , V ), jossa r ovat restriktiokarttoja . Tämän järjestelmän suoraa rajaa kutsutaan kuiduksi F yli x ja sitä merkitään F x .
Suorat rajat topologisten avaruuksien luokassa saadaan määrittämällä lopullinen topologia vastaavalle tukijoukolle.

Kirjallisuus

S. McLane. Kategorioita työskentelevälle matemaatikolle, - M . : FIZMATLIT, 2004. - 352 s. — ISBN 5-9221-0400-4 .
Bourbaki, Nicolas (1989), Algebra I , Springer, ISBN 978-3-540-64243-5 , OCLC 40551484
Bourbaki, Nicolas (1989), Yleinen topologia: luvut 1-4 , Springer, ISBN 978-3-540-64241-1 , OCLC 40551485