Ennakkotilaus

Ennakkotilaus ( quasi-order ) on binäärirelaatio joukossa , jolla on refleksiivisuuden ja transitiivisuuden ominaisuudet . Yleensä tämä relaatio merkitään , jolloin joukon ennakkotilauksen aksioomit ovat muotoa: $\preccurlyeq$ $M$

\forall a\in M\colon a\preccurlyeq a

\forall a,b,c\in M\colon (a\preccurlyeq b\land b\preccurlyeq c)\Rightarrow (a\preccurlyeq c)

Lineaarinen ennakkotilaus on ennakkotilaus joukossa, jossa mitkä tahansa kaksi joukon elementtiä ovat vertailukelpoisia:

\forall a,b\in X\colon (a\preccurlyeq b)\lor (b\preccurlyeq a)

Luokkateoria

Luokkaa kutsutaan ennakkotilaukseksi , jos kahdelle kohteelle on enintään yksi morfismi . Jos on pieni luokka , niin sen objektijoukolle voidaan asettaa ennakkotilaussuhde seuraavan säännön mukaisesti: ${\mathcal P}$ $a,b\in Ob{\mathcal {P}}$ $f\colon a\to b$ ${\mathcal P}$

a\preccurlyeq b\iff \exists f\colon a\to b

Kategorian aksioomeista seuraa, että tällainen suhde on refleksiivinen ja transitiivinen. Ennakkotilaus on abstrakti luokka , eli sitä ei yleensä voida esittää kategoriana joistakin joukoista, joilla on tietty rakenne ja tämän rakenteen säilyttäviä kartoituksia. Myös ennakkotilaus on luurankoluokka .

Jos pieni luokka on täydellinen pienessä , se on ennakkotilaus, ja jokaisella pienellä elementtijoukolla on suurin alaraja. Ennakkotilausobjektien joukon (joukon, luokan) tulo on tämän joukon suurin alaraja . Oliojoukon yhteistulo on sen pienin yläraja . Ennakkotilauksen alkuperäinen objekti , jos se on olemassa, on sen pienin objekti, joten . Samoin ennakkotilauksen pääteobjekti on sen suurin kohde. ${\mathcal C}$ $0$ ${\mathcal P}$ $\forall a\in {\mathcal {P}}\colon 0\preccurlyeq a$

Ennakkotilausten kategorian objektit (jota yleensä merkitään ) ovat ennakkotilauksia (kategorioiden merkityksessä), erityisesti sarjoja, joissa ennakkotilaussuhde annetaan. Tämän luokan morfismit ovat asetettuja kartoituksia , jotka säilyttävät ennakkotilaussuhteen, toisin sanoen yksitoikkoisia kartoituksia . Pienten ennakkotilausten alaluokka on konkreettinen luokka , jolla on ilmeinen univalenttinen unohtava toiminto : $\mathbf {Preord}$ $\mathbf {Preord} _{S}$

U\colon \mathbf {Preord} _{S}\to \mathbf {Set}

määritetään jokaiselle pienelle ennakkotilaukselle joukko sen objekteja ja jokaiselle morfismille monotoninen kuvaus vastaavista joukoista. Tämä funktionaali luo rajoituksia . Siten vastaavasti alkuobjekti kohdassa on tyhjä joukko , pääteobjekti on yhden elementin joukko, olioiden tulo on vastaavien joukkojen suora tulo komponenttikohtaisella vertailulla. $\mathbf {Preord}$ ${\mathbf {Set}}$ $\mathbf {Preord}$

Kirjallisuus

Goldblatt R. Topoi. Kategorinen logiikan analyysi = Topoi. Kategoriaalinen logiikan analyysi / Per. englannista. V. N. Grishin ja V. V. Shokurov, toim. D. A. Bochvara. — M .: Mir , 1983. — 488 s.
McLane S. Luku 1. Kategoriat, funktionaaliset ja luonnolliset muunnokset // Kategoriat työskentelevälle matemaatikolle / Per. englannista. toim. V. A. Artamonova. - M . : Fizmatlit, 2004. - S. 17-42. — 352 s. — ISBN 5-9221-0400-4 .