Täysi kategoria

Luokkaa kutsutaan pieneksi täydelliseksi , jos jollakin sen pienellä kaaviolla on raja . Kaksoiskäsite on pieni täydentävä luokka, eli sellainen, jossa missä tahansa pienessä kaaviossa on kolliitti . Äärillinen täydellisyys ja yleensä α-täydellisyys määritellään samalla tavalla mille tahansa tavalliselle kardinaalille α. Niistä kaikista yleisimmin käytetty on täydellisyys pienissä, joten luokkia, jotka ovat täydellisiä pienissä, kutsutaan yksinkertaisesti täydellisiksi . Rajojen olemassaolo yleisesti kaikissa (ei välttämättä pienissä) kaavioissa osoittautuu liian vahvaksi ehtoksi, koska tällainen kategoria olisi välttämättä ennakkotilaus ja minkä tahansa kahden kohteen välillä olisi korkeintaan yksi morfismi.

Luokkaa, joka on sekä täydellinen että täydentävä, kutsutaan kaksitäydelliseksi .

Kategorian heikompi ominaisuus on äärellinen täydellisyys. Kategorian sanotaan olevan äärellisen täydellinen, jos siinä on kaikki äärelliset rajat (eli kaikkien äärellisen joukon indeksoimien diagrammien rajat). Täydelliset kategoriat määritellään samalla tavalla.

Esimerkkejä

Seuraavat luokat ovat kaksinkertaisia:
- aseta luokka ; ${\mathcal {S}}et$
- ryhmäluokka ; ${\mathcal {G}}rp$
- rengasluokka ; ${\mathcal {R}}ing$
- Abelin ryhmien luokka ; ${\mathcal {A}}b$
- topologisten avaruuksien luokka ; ${\mathcal {T}}op$
- kompaktien Hausdorffin tilojen luokka ; ${\mathcal {C}}omp{\mathcal {H}}$
- pienten luokkien luokka ; ${\mathcal {C}}at$
Seuraavat luokat ovat tietysti kaksijakoisia, mutta eivät täydellisiä tai osittain täydellisiä:
- äärellisten joukkojen luokka ; $f{S}et$
- kentän yläpuolella olevien äärellisulotteisten vektoriavaruuksien luokka ; $K$ $fd-{\mathcal {V}}ect_{K}$
- äärellisten ryhmien luokka ; $f{\mathcal {G}}rp$
Yleisesti ottaen, jos on jonkin algebrallisen teorian mallien luokka , niin se on täydellinen ja kocomplete, koska se on heijastava . Muista, että algebrallinen teoria sallii vain ehdot operaatioille, jotka ovat identiteettiä (ei kvantifioijia!). Oletetaan, että kenttäluokka ei ole algebrallisen teorian mallien luokka, joten edellinen väite ei päde siihen. Se ei ole täydellinen tai täydellinen. $\mathrm {Mod} _{\mathcal {T}}$ $\mathcal{T}$ $\mathrm {Mod} _{\mathcal {T}}$ $\mathrm {Func} ({\mathcal {T}},{\mathcal {S}}et)$
( rajalause parametrilla ) Jos luokka on täydellinen (yhteistäydellinen), luokka on täydellinen (yhteistäydellinen) mille tahansa kategorialle ja rajat lasketaan pisteittäin. ${\mathcal {C}}$ $\mathrm {Func} ({\mathcal {A}),{\mathcal {C)))$ $\mathcal{A}$
Mikä tahansa Abelin luokka on äärettömän täydellinen ja varmasti täydennetty.
Ennakkotilaus on valmis, jos sillä on suurin elementti ja millä tahansa elementtijoukolla on pienin yläraja . Samoin se on copolon, jos siinä on pienin elementti ja millä tahansa elementtijoukolla on vähiten sidottu.
Metristen avaruuksien luokka Met on äärellisen täydellinen, mutta se ei ole täydellinen eikä sillä ole edes äärellisiä sivutuloja.

Ominaisuudet

On olemassa lause, jonka mukaan luokka on täydellinen, jos ja vain siinä on kaikki taajuuskorjaimet ja pienet tuotteet . Näin ollen luokka on täydellinen, jos se sisältää kaikki rinnakkaistaajuuskorjaimet ja pienet sivutuotteet.

Tietenkin koko kategoriaa voidaan luonnehtia myös monella tavalla. Nimittäin seuraavat lausunnot ovat vastaavia:

C on varmasti täynnä,
C :llä on kaikki taajuuskorjaimet ja rajalliset tuotteet,
C :ssä on kaikki taajuuskorjaimet, binääritulot ja pääteobjekti .
C :ssä on kaikki suorakulmaiset neliöt ja pääteobjekti.

Myös kaksoislausekkeet ovat samanarvoisia.

Pieni kategoria on täydellinen pienessä vain, jos se on ennakkotilaus. Sama pätee täydentävään kategoriaan; Lisäksi pienessä kategoriassa täydellisyys ja täydellisyys vastaavat pienessä. [yksi]

Jos luokka on täydellinen pienessä kategoriassa, missä tahansa pienessä kategoriassa millä tahansa funtorilla on oikea Kahn-laajennus suhteessa mihin tahansa funtoriin , ja jokainen tällainen Kahn-laajennus on pistesuuntainen. Väite seuraa selvästi pistesuuntaisen Kahnin laajennuksen esityksestä rajana. $C$ $A$ $F\colon A\to C$ $\mathrm {Ran} _{K}F$ $K\colon A\to B$

Muistiinpanot

↑ Abstract and Concrete Categories, Jiří Adámek, Horst Herrlich ja George E. Strecker, lause 12.7, sivu 213

Kirjallisuus

S. McLane Kategoriat työskentelevälle matemaatikolle, - M . : FIZMATLIT, 2004. - 352 s - ISBN 5-9221-0400-4 .
R. Goldblatt Topoi. Kategorinen logiikan analyysi, - M .: Mir, 1983. - 487 s.
F. Borceux. Kategorisen algebran käsikirja 1. Kategorian perusteoria. — Matematiikan tietosanakirja ja sen sovellukset. - Cambridge: Cambridge University Press, 1994. - 345 s. — ISBN 0 521 44178 1 .
Adámek, Jiří; Horst Herrlich ja George E. Strecker. Abstrakti ja konkreettiset luokat (uuspr.) . - John Wiley & Sons , 1990. - ISBN 0-471-60922-6 .