Metristen tilojen luokka

Metristen avaruuksien luokka eli Met on luokka , jonka objektit ovat metriavaruuksia ja joiden morfismit ovat lyhyitä kuvauksia . (Koska kahden lyhyen kuvauksen koostumus on lyhyt, nämä objektit ja morfismit muodostavat luokan.)

Tämän luokan tutkimuksen aloitti John Isbell .

Nuolet

Metin monomorfismit ovat injektiivisiä lyhyitä kartoituksia. Epimorfismit ovat lyhyitä kuvauksia, joissa on kaikkialla tiheä kuva. Isomorfismit - isometriat .

Esimerkiksi rationaalilukujen sisällyttäminen reaalilukuihin on monomorfismi ja epimorfismi, mutta ei isomorfismi.

Tyhjä metriavaruus on alkuperäinen Met -objekti ; mikä tahansa yksipisteinen metriavaruus on pääteobjekti . Koska aloitus- ja loppuobjektit ovat erilaiset, Met :ssä ei ole nollaobjekteja .

Metin injektioobjekteja kutsutaan injektiivisiksi metriavaruuksiksi . Aronszajn & Panitchpakdi (1956 ) esittelivät ja tutkivat injektiiviset metriavaruudet ennen Metin tutkimista kategoriana; ne voidaan määritellä myös sisäisesti metripallojensa Helly-ominaisuuden avulla , ja tämän vaihtoehtoisen määritelmän vuoksi niitä on kutsuttu hyperkupereiksi avaruiksi. Millä tahansa metriavaruudella on pienin injektiivinen metriavaruus, johon se voidaan upottaa isometrisesti, jota kutsutaan injektiokungoksi .

Toimii

Metissä olevien metristen avaruuksien äärellisen joukon tulo on tuloavaruuden etäisyysavaruuksien suora tulo, joka määritellään koordinaattiavaruuksien etäisyyksien summana.

Metristen avaruuksien äärettömän joukon tuloa ei välttämättä ole olemassa, koska kanta-avaruuksien etäisyyksillä ei välttämättä ole supremumia. Eli Met ei ole täydellinen luokka , mutta se on lopullisesti suljettu. Metissä ei ole sivutuotetta .

Muunnelmia ja yleistyksiä

Met ei ole ainoa luokka, jonka objektit ovat metrisiä avaruuksia; muita ovat tasaisesti jatkuvien funktioiden luokka , Lipschitz-funktioiden luokka ja kvasi-Lipschitz-kartoitusten luokka. Lyhyet kartoitukset ovat sekä tasaisesti jatkuvia että Lipschitziä, ja Lipschitzin vakio on enintään yksi.

On myös kätevää laajentaa metriavaruuksien luokkaa, jolloin esimerkiksi etäisyydet saavat arvon tai siirtyvät premetrisiin avaruuteen, eli metriikan kolmion epäyhtälöstä ja symmetriasta luovutaan.

Linkit