Suora tuote

Kokeneet kirjoittajat eivät ole vielä tarkistaneet sivun nykyistä versiota, ja se voi poiketa merkittävästi 4. elokuuta 2022 tarkistetusta versiosta . vahvistus vaatii 1 muokkauksen .

Kahden joukon suora tai karteesinen tulo on joukko, jonka alkiot ovat kaikki mahdollisia alkuperäisten joukon alkiopareja .

Suoratulon käsite yleistyy luonnollisesti joukkojen tuloksi, jolla on lisärakenne ( algebrallinen , topologinen ja niin edelleen), koska joukkojen tulo perii usein ne rakenteet, jotka olivat alkuperäisissä joukoissa.

Suora tulo joukkoteoriassa

Kahden joukon tulo

Sarjan {at, u, k} tulo sateenkaaren värijoukolla

sisään	sisään	sisään	sisään	sisään	sisään	sisään	sisään
ja	ja	ja	ja	ja	ja	ja	ja
to	to	to	to	to	to	to	to

Olkoon kaksi sarjaa ja annetaan . Joukon ja joukon suora tulo on joukko, jonka alkiot on järjestetty pareittain kaikille mahdollisille ja . Elementeistä muodostettu järjestetty pari, joka kirjoitetaan yleensä suluissa: . Elementtiä kutsutaan parin ensimmäiseksi koordinaatiksi (komponentiksi) ja elementtiä parin toiseksi koordinaatiksi (komponentiksi). $X$ $Y$ $X$ $Y$ $X \kertaa Y$ $(x,y)$ $x\in X$ $y\in Y$ $a$ $b$ $(a, b)$ $a$ $b$

Kahden joukon suoratulo voidaan visualisoida taulukona, jonka rivit määrittelevät ensimmäisen joukon elementit ja vastaavasti toisen joukon sarakkeet. Kaikki tämän taulukon solut ovat tässä tapauksessa karteesisen tuotteen elementtejä.

Sana "tilattu" tarkoittaa, että , . Siten parit ja ovat yhtä suuret, jos ja vain jos ja . $x\ney$ ${\näyttötyyli (x,y)\neq (y,x)}$ $(a, b)$ ${\näyttötyyli (c,d)}$ $a=c$ $b=d$

"Järjestyksen" tärkeyttä voidaan havainnollistaa esimerkillä tavanomaisesta numeroiden merkinnästä: käyttämällä kahta numeroa 3 ja 5, voit kirjoittaa neljä kaksinumeroista numeroa: 35, 53, 33 ja 55. Huolimatta siitä, että numerot 35 ja 53 on kirjoitettu samoilla numeroilla , nämä numerot ovat erilaisia. Siinä tapauksessa, että elementtien järjestys on tärkeä, matematiikassa puhutaan järjestetyistä elementtijoukoista.

Tilatussa parissa se voi olla niin . Joten lukujen 33 ja 55 kirjoittamista voidaan pitää järjestetyinä pareina (3; 3) ja (5; 5). $(a, b)$ $a=b$

Joukkojen tulon yhdistämistä sen tekijöihin - ja - kutsutaan koordinaattifunktioiksi . $\varphi\colon X\kertaa Y\-X,\; \varphi(x,y)=x$ $\psi\kaksoispiste X\kertaa Y\-Y,\; \psi(x,y)=y$

Äärillisen joukkojen perheen tulo määritellään samalla tavalla.

Kommentit

Tarkkaan ottaen assosiatiivisuusidentiteetti ei päde, mutta joukon välisen luonnollisen yksi-yhteen vastaavuuden (bijection) olemassaolon vuoksi tämä ero voidaan usein jättää huomiotta. $A \ kertaa (B \ kertaa C) = (A \ kertaa B) \ kertaa C$ $A \ kertaa (B\ kertaa C)$ $(A \ kertaa B) \ kertaa C$

karteesinen tutkinto

{0, 1, 2} 3 , 3 3 = 27 elementtiä
000	001	002	010	011	012	020	021	022
100	101	102	110	111	112	120	121	122
200	201	202	210	211	212	220	221	222

$n$ Joukon -. karteesinen potenssi määritellään ei -negatiivisille kokonaisluvuille -kertaiseksi suorakulmaiseksi tuloksi itsensä kanssa [1] : $X$ $n$ $n$ $X$

\begin{matrix} \underbrace{X\times X\times \ldots \times X}. \\ n \end{matrix}

Yleensä merkitään tai . $X^n$ $X^{\times n}$

Positiivisena karteesinen aste koostuu kaikista järjestetyistä pituuselementtien joukoista . Joten reaaliavaruus - kolmen reaaliluvun monikkojoukko - on reaalilukujoukon 3. potenssi $n$ $X^n$ $X$ $n$ $\mathbb {R} ^{3}$ $\mathbb{R}.$

Kun , karteesinen aste määritelmän mukaan sisältää yhden elementin - tyhjän monikon. $n = 0$ $X^0,$

Sarjaperheen suora tuote

Yleensä mielivaltaiselle joukkojen perheelle ( ei välttämättä eri) ( indeksijoukko voi olla ääretön ) suora tulo määritellään joukoksi funktioita, jotka osoittavat jokaisen elementin joukon elementtiin : $\{X_i\}_{i\in I}$ $X = \tuote_{i\in I} X_i$ $minä\minässä$ $X_{i}$

X=\prod _{i\in I}X_{i}=\{f\colon I\to \bigcup \limits _{i\in I}X_{i}\mid f(i)\in X_{i},i\in I\}.

Kuvauksia kutsutaan projektioksiksi , ja ne määritellään seuraavasti: . $\pi_i \colon X \to X_i \colon f \mapsto f(i)$ $\pi_i\colon (a_1,\pisteet a_n) \mapsto a_i$

Erityisesti äärelliselle joukkojen perheelle mikä tahansa funktio , jolla on ehto , vastaa jotakin pituista monikkoa , joka koostuu joukon alkioista , joten monikon i . paikka on joukon alkio . Siksi äärellisen joukon karteesinen (suora) tulo voidaan kirjoittaa seuraavasti: $\{A_1, \pisteet ,A_n\}$ $f:\{1,\dots ,n\} \to \bigcup\limits_{i = 1}^n A_i$ $f(i) \in A_i$ $n$ $\{A_i\}_{i = 1}^n$ $i$ $A_{i}$ $\{A_i\}_{i = 1}^n$

A_1 \times \dots \times A_n = \{(a_1, \dots ,a_n) \mid a_i \in A_i, i \in \{1, \dots ,n\}\}.

Kartoitusten suora tuote

Antaa olla kartoitus kohteesta kohteeseen ja olla kartoitus kohteesta kohteeseen . Heidän suora tuotteensa on kartoitus kohteesta : . $f$ $A$ $B$ $g$ $X$ $Y$ $f\ kertaa g$ $A\ kertaa X$ $B\ kertaa Y$ $(f\kertaa g)(a,\;x) = (f(a),\;g(x))$

Kuten edellä, tämä määritelmä voidaan yleistää useisiin ja äärettömiin tuotteisiin.

Vaikutukset matemaattisiin rakenteisiin

Ryhmien suora tuote

Kahden ryhmän suora (Carteesinen) tulo ja on kaikkien elementtiparien ryhmä, jossa on komponenttikohtainen kertolasku: . Tätä ryhmää kutsutaan nimellä . Kertolaskuoperaation assosiatiivisuus ryhmässä seuraa kerrottujen ryhmien operaatioiden assosiatiivisuudesta. Tekijät ja ovat isomorfisia tuotteensa kahdelle normaalille alaryhmälle ja vastaavasti. Näiden alaryhmien leikkauspiste koostuu yhdestä elementistä , joka on tuoteryhmän yksikkö. Ryhmien tulon koordinaattifunktiot ovat homomorfismeja . $(G*)$ $(H,\ympyrä)$ $(g,h)$ $(g_1,h_1)\times(g_2,t_2)=(g_1*g_2,t_1\circ h_2)$ $G\ kertaa H$ $G\ kertaa H$ $G$ $H$ $\{(g,1_H)\mid g\in G\}$ $\{(1_G,h)\mid h\in H\}$ $(1_G,1_H)$

Tämä määritelmä ulottuu mielivaltaiseen määrään kerrottuja ryhmiä. Äärillisen luvun tapauksessa suora tulo on isomorfinen suoran summan kanssa. Ero syntyy äärettömästä määrästä tekijöitä.

Yleensä , missä ja . (Oikealla oleva operaatio on ryhmätoiminto ). Tuoteryhmän yksikkö on sarja, joka koostuu kaikkien kerrottujen ryhmien yksiköistä: . Esimerkiksi laskettavalle määrälle ryhmiä: , jossa oikealla puolella on kaikkien äärettömien binäärijonojen joukko. $\overline{\prod_{i\in I}} G_i=\{f\colon I\to\bigcup_{i\in I} G_i\}$ $f(i)\isin G_i$ $(f_1\times f_2)(i)=f_1(i)*f_2(i)$ $G_{i}$ $(1_i),\; minä\minässä$ $\overline{\prod_{i\in\mathbb{N}}} \mathbb{Z}_2=(2^\mathbb{N},\; \operaattorinimi{xor})$

Kaikkien joukossa olevaa aliryhmää, jonka tuki (eli joukko ) on äärellinen , kutsutaan suoraksi summaksi . Esimerkiksi saman joukkojoukon suora summa sisältää kaikki binäärisekvenssit, joissa on äärellinen määrä ykkösiä, ja niitä voidaan käsitellä luonnollisten lukujen binääriesityksenä . $f$ $\mathrm{supp}\,(f) = \{i\in I\mid f(i)\ne 1_i\}$ $\prod_{i\in\mathbb{N}} \mathbb{Z}_2\ =\ (\mathbb{N},\; \operaattorinimi{xor})$

Indeksoidun ryhmäjärjestelmän karteesinen tuote on sen suora tuote luokassa Grp.

Indeksoidun ryhmäjärjestelmän välitön summa on sen yhteistulo luokassa Grp.

Muiden algebrallisten rakenteiden suora tulo

Samoin kuin ryhmien tulo, voidaan määritellä renkaiden , algebroiden , moduulien ja lineaariavaruuksien tulot , ja suoratulon määritelmässä (katso yllä) tulee korvata nollalla . Kahden (tai äärellisen määrän) kohteen tuotteen määritelmä on sama kuin suoran summan määritelmä . Kuitenkin yleensä suora summa eroaa suoratuloksesta: esimerkiksi laskettavan kopiojoukon suora tulo on kaikkien reaalilukujen sarjojen avaruus , kun taas suora summa on niiden sekvenssien avaruus, joilla on vain äärellinen määrä nollasta poikkeavia jäseniä (ns. äärelliset sekvenssit ). $1_i$ $\mathbb {R}$

Vektoriavaruuksien suora tulo

Kahden vektoriavaruuden ja yhteisen kentän karteesinen tulo on joukko järjestettyjä vektoripareja , eli sarjateoreettinen karteesinen tulo vektoreiden joukoista ja , lineaarisella koordinaatilla: , . $U\times V$ $U$ $V$ $F$ ${\displaystyle \left\{(u,v)\mid u\in U\wedge v\in V\right\))$ $U$ $V$ ${\näyttötyyli (a,b)+(c,d)=(a+c,b+d)}$ $\mathrm {\alpha } \left(a,b\right)=\left(\mathrm {\alpha } a,\mathrm {\alpha } b\right)$

Tämä määritelmä pätee kaikkiin indeksoituihin lineaaristen (vektoriavaruuksien) järjestelmiin: yhteisen kentän yläpuolella olevan indeksoidun vektoriavaruuksien järjestelmän karteesinen tulo on tekijävektorijoukkojen joukkoteoreettinen karteesinen tulo, jolle on määritetty koordinaattikohtainen lineaarisuus, eli summattaessa kaikki projektiot summataan, kun ne kerrotaan luvulla, kaikki projektiot kerrotaan tällä luvulla: , . ${\displaystyle c=a+b\leftrightarrow \forall i:c_{i}=a_{i}+b_{i))$ ${\displaystyle b=\mathrm {\alpha } a\leftrightarrow \forall i:b_{i}=\mathrm {\alpha } a_{i))$

Indeksoidun lineaariavaruuksien järjestelmän karteesinen tulo on sen suora tulo luokassa , jossa on järjestelmän aihekenttä. ${\näyttötyyli \operaattorin nimi {Vec} _{F}}$ $F$

Vektoriavaruuksien suora summa on sellainen osajoukko niiden suoratuloksesta, jonka alkioissa on vain äärellinen määrä nollasta poikkeavia projektioita , missä on indeksoidun järjestelmän indeksijoukko . Äärillisellä määrällä termejä suora summa ei eroa suoratuloksesta. $\coprod {A}=\left\{a\in \prod {A}\mid \left\vert \left\{i\in \operaattorinimi {dom} A\mid a_{i}\neq 0\ oikea\}\oikea\vert <\aleph _{0}\right\}$ $\operaattorin nimi {dom} A$ $A$

Indeksoidun lineaariavaruuksien järjestelmän suora summa on sen yhteistulo luokassa , jossa on järjestelmän aihekenttä. ${\näyttötyyli \operaattorin nimi {Vec} _{F}}$ $F$

Topologisten avaruuksien suora tulo

Olkoon ja kaksi topologista avaruutta . Karteesisen tuotteen topologia on annettu heidän joukkoteoreettiselle tulolleen, rakenteettomina joukoina, kannasta , joka koostuu kaikista mahdollisista tuloksista , jossa on avoin osajoukko ja on avoin osajoukko . $X$ $Y$ $X\kertaa Y$ $U\time V$ $U$ $X$ $V$ $Y$

Määritelmä on helppo yleistää usean tilan tuloon.

Äärettömän tekijöiden joukon tulolle määritelmästä tulee monimutkaisempi: olkoon indeksoitu topologisten avaruuksien järjestelmä, - elementtien joukoina rakenteeton tulo . Määritellään yli pystytetty sylinteri kaikkien pisteiden joukoksi, joista -. projektio sijaitsee , eli missä ja on indeksoidun järjestelmän indeksijoukko . Tuotteen topologia annetaan sylintereiden esikannassa , joka on rakennettu kaikkien topologioiden kaikille avoimille joukoille joukosta : , missä on avaruuden kaikkien avoimien joukkojen (topologia) kokoelma , eli se annetaan kannasta, joka koostuu seuraavista: kaikki mahdolliset rajallisen määrän avoimien sylinterien leikkauspisteet. Projektorit indusoivat tämän topologian "kontravariantisesti" - se on minimaalinen topologia joukkoteoreettisessa karteesisessa tuotteessa, jonka kaikki projektorit ovat jatkuvia (tällainen topologia on samanlainen kuin kartoitusavaruuksien kompakti avoin topologia , jos otetaan huomioon indeksi asetettuna on erillinen topologia). $X$ $B=\prod {\overline {X}}$ $X$ $U\subseteq X_{i}$ $B$ $i$ $U$ $\operaattorin nimi {Cyl} \left(i,\;U\right)=\left\{x\in B\mid x_{i}\in U\right\}$ $i\in \operaattorinimi {dom} X$ $\operaattorin nimi {dom} X$ $X$ $X$ $\left\{\operaattorinimi {Cyl} \left(i,\;U\oikea)\mid i\in \operaattorinimi {dom} X\land U\in \operaattorinimi {T} \left(X_{i }\oikea)\oikea\}$ $\operaattorin nimi {T} \left(X_{i}\right)$ $X_{i}$ $minä$

Indeksoidun topologisten avaruuksien järjestelmän karteesinen tulo on sen suora tulo kategoriassa . ${\näyttötyyli \operaattorin nimi {Yläosa} }$

Topologioiden suora summa rakentuu pistejoukkoina olevien avaruuksien rakenteettomalle suoralle summalle. Avoimia siinä ovat kaikki joukot, joiden leikkauspisteet kaikkien termien kanssa ovat avoimia. Tämä topologia indusoidaan "kovarianttisesti" koprojektorien avulla - se on joukkoteoreettisen suoran summan maksimitopologia, jonka alla kaikki koprojektorit (eli termien upotukset summaan) ovat jatkuvia.

Indeksoidun topologisten avaruuksien järjestelmän suora summa on sen yhteistulo kategoriassa . ${\näyttötyyli \operaattorin nimi {Yläosa} }$

Tihonovin lause väittää minkä tahansa kompaktin tilan tuotteiden kompaktisuuden; äärettömille tuloille sitä ei kuitenkaan voida todistaa käyttämättä valinnan aksioomaa (tai sitä vastaavia joukkoteorian lausuntoja).

Myös Aleksandrovin lause osoittaa, että mikä tahansa topologinen avaruus voidaan upottaa (äärettömään) yhteenliitettyjen kaksoispisteiden tuloon , kunhan Kolmogorovin aksiooma pätee .

Kaavioiden suora tulo

	—	
	—	
		
	—	

Kahden graafin suoratulon kärkijoukko ja määritellään tekijägraafien kärkien tuloksi. Reunat yhdistävät seuraavat kärkiparit: $G$ $H$

$(g,\;h)(g',\;h)$ , missä ja ovat graafin kärjet, joita yhdistää reuna , ja se on mielivaltainen graafin kärki ; $g$ $g'$ $G$ $h$ $H$
$(g,\;h)(g,\;h')$ , jossa on mielivaltainen graafin kärkipiste ja ja ovat graafin kärjet, joita yhdistää reuna . $g$ $G$ $h$ $h'$ $H$

Toisin sanoen graafien tulon reunojen joukko on kahden tuotteen liitto : ensimmäisen reunat toisen kärkiin ja ensimmäisen kärjet toisen reunoihin.

Muunnelmia ja yleistyksiä

Ajatusta suorasta tuotteesta kehitettiin edelleen kategoriateoriassa , jossa se toimi pohjana esineiden tuotteen käsitteelle . Epävirallisesti kahden objektin tulos ja on tämän luokan yleisin objekti, jolle on projektiot kohtiin ja . Monissa luokissa (joukot, ryhmät, kaaviot, ...) objektien tulo on niiden suora tulos. On tärkeää, että useimmissa tapauksissa ei niinkään välittömän tuotteen konkreettinen määritelmä ole tärkeä, vaan edellä mainittu universaalisuuden ominaisuus. Eri määritelmät antavat sitten isomorfisia objekteja. $A$ $B$ $A$ $B$