Paljon

Kokeneet kirjoittajat eivät ole vielä tarkistaneet sivun nykyistä versiota, ja se voi poiketa merkittävästi 16. heinäkuuta 2022 tarkistetusta versiosta . tarkastukset vaativat 4 muokkausta .

Joukko on yksi matematiikan keskeisistä käsitteistä ; joka on joukko, kokoelma minkä tahansa (yleisesti sanottuna minkä tahansa) objektin - tämän joukon elementtejä [1] . Kaksi joukkoa ovat samanarvoisia silloin ja vain, jos ne sisältävät täsmälleen samat alkiot [2] .

Joukkojen yleisten ominaisuuksien tutkimusta käsittelee joukkoteoria sekä siihen liittyvät matematiikan ja matemaattisen logiikan alat . Esimerkkejä: joukko tietyn kaupungin asukkaita, joukko jatkuvia funktioita , joukko ratkaisuja tietylle yhtälölle. Joukko voi olla tyhjä tai ei-tyhjä , järjestetty tai järjestämätön , äärellinen tai ääretön . Ääretön joukko voi olla laskettava tai laskematon . Lisäksi sekä naiiveissa että aksiomaattisissa joukkoteorioissa mitä tahansa objektia pidetään yleisesti joukkona. Joukon käsite sallii lähes kaikilla matematiikan aloilla käyttää yhteistä ideologiaa ja terminologiaa.

Käsitteen historia

Äärillisten ja äärettömien joukkojen teorian perustan loi Bernard Bolzano , joka muotoili joitakin sen periaatteita [3] [4] [5] .

Vuosina 1872–1897 (pääasiassa 1872–1884) Georg Cantor julkaisi joukon teoksia, joissa joukkoteorian päähaaroja esiteltiin systemaattisesti, mukaan lukien pistejoukkojen teoria ja transfiniittisten lukujen ( kardinaali- ja järjestysluku) teoria. ] . Näissä teoksissa hän ei ainoastaan esitellyt joukkoteorian peruskäsitteitä, vaan myös rikasti matematiikkaa uudentyyppisillä argumenteilla, joita hän käytti todistamaan joukkoteorian lauseita, erityisesti ensimmäistä kertaa äärettömiin joukkoihin. Siksi on yleisesti hyväksyttyä, että Georg Cantor loi joukkoteorian. Erityisesti hän määritteli joukon "yhdeksi nimeksi kaikkien objektien kokoelmalle, joilla on tietty ominaisuus" ja kutsui näitä objekteja joukon elementeiksi . Joukko kaikista objekteista, joilla on ominaisuus (eli lause, jonka totuus riippuu muuttujan x arvosta ), hän nimesi, ja itse ominaisuutta kutsuttiin joukon tunnusomaiseksi ominaisuudeksi . $Kirves)$ $\{x\mid A(x)\},$ $Kirves)$ $x.$

Tämän määritelmän hyvästä laadusta huolimatta Cantorin käsitys johti paradokseihin - erityisesti Russellin paradoksiin .

Koska joukkoteoriaa käytetään itse asiassa kaikkien nykyaikaisten matemaattisten teorioiden perustana ja kielenä, vuonna 1908 Bertrand Russell ja Ernst Zermelo aksiomatisoivat joukkoteorian itsenäisesti . Jatkossa molempia järjestelmiä tarkistettiin ja muutettiin, mutta ne säilyivät periaatteessa luonteensa. Nämä tunnetaan Russellin tyyppiteoriana ja Zermelon joukkoteoriana . Myöhemmin Cantorin joukkoteoria tuli tunnetuksi naiivina joukkoteoriana , ja teoriasta (erityisesti Russell ja Zermelo), joka rakennettiin uudelleen Cantorin jälkeen, tuli aksiomaattinen joukkoteoria .

Käytännössä, joka on kehittynyt 1900-luvun puolivälistä lähtien, joukko määritellään malliksi, joka täyttää ZFC-aksioomit ( Zermelo-Fraenkel-aksioomit valinnan aksiooman kanssa ) . Kuitenkin tällä lähestymistavalla joissakin matemaattisissa teorioissa syntyy objektikokoelmia, jotka eivät ole joukkoja. Tällaisia kokoelmia kutsutaan luokiksi (eri luokilta).

Asetuksen elementti

Objekteja, jotka muodostavat joukon, kutsutaan joukkoelementeiksi tai asetuspisteiksi . Sarjat merkitään useimmiten latinalaisten aakkosten isoilla kirjaimilla , niiden elementit ovat pieniä. Jos on joukon elementti , he kirjoittavat (" kuuluu "). Jos se ei ole joukon elementti , he kirjoittavat (" ei kuulu "). $a$ $A$ $a\in A$ $a$ $A$ $a$ $A$ $a\notin A$ $a$ $A$

Jos jokainen joukon elementti sisältyy ryhmään , ne kirjoittavat (" sijaitsee , on sen osajoukko "). Joukkoteorian mukaan jos , niin mille tahansa elementille joko , tai on määritelty . $A$ $B$ $A\alajoukko B$ $A$ $B$ $X\alajoukko Y$ $a\in Y$ $a\in X$ $a\not \in X$

Siten joukon elementtien kirjoitusjärjestys ei vaikuta itse joukkoon, eli . Lisäksi edellä esitetystä seuraa, että identtisten alkioiden esiintymismäärää ei ole määritelty joukolle, eli tietueella ei yleisesti ottaen ole järkeä, jos se on joukko. On kuitenkin oikein kirjoittaa joukko . $\{6,11\}=\{11,6\}$ $A=\{11,11,6,11,6\}$ $A$ $B=\{11,\{11\},\{6,11\},6\}$

Asetuksen määrittäminen

On kaksi päätapaa määrittää joukkoja : luettelemalla elementit ja kuvailemalla niitä.

Luettelo

Ensimmäinen menetelmä edellyttää kaikkien joukossa olevien elementtien määrittämistä (listaamista). Esimerkiksi joukko ei-negatiivisia parillisia lukuja, jotka ovat pienempiä kuin 10, saadaan seuraavasti: Tätä menetelmää on kätevää soveltaa vain rajoitettuun määrään äärellisiä joukkoja. $Y$ $Y=\{0,2,4,6,8\}.$

Kuvaus

Toista menetelmää käytetään, kun joukkoa ei voi tai on vaikea määritellä luetteloimalla (esimerkiksi jos joukko sisältää äärettömän määrän alkioita). Tässä tapauksessa sitä voidaan kuvata siihen kuuluvien elementtien ominaisuuksilla.

Joukko määritetään, jos määritetään ehto , jonka kaikki elementit täyttävät ja jota ei täytä . nimetä $Y\subset X$ $Kirves)$ $x\in X:x\in Y$ $x\in X:x\notin Y$ $Y={\big \{}x\in X:A(x){\big \}}.$

Esimerkiksi funktion kaavio voidaan määritellä seuraavasti: $f\kaksoispiste X\Y:ksi$

\Gamma ={\big \{}(x,y)\in X\times Y:f(x)=y{\big \)),

missä on joukkojen karteesinen tulo . $\ajat$

Joukkojen väliset suhteet

Joukoille ja suhteet voidaan antaa : $A$ $B$

$A$ sisältyy, jos jokainen joukon elementti kuuluu myös joukkoon : $B$ $A$ $B$ $A\subseteq B\Leftrightarrow \forall a\in A\Rightarrow a\in B$
$A$ sisältää , jos se sisältyy : $B$ $B$ $A$ $A \supseteq B \vasen oikea nuoli B \subseteq A$
$A$ on yhtä kuin jos ja sisältyvät toisiinsa: $B$ $A$ $B$ $A=B\Leftrightarrow A\subseteq B,\,B\subseteq A$
- Kaikille sarjoille $A=A$
- Jos , niin $A=B$ $B=A$
- Jos , niin . $A=B$ $B=C$ $A=C$

Joskus tiukka sisällyttäminen ( ) erotetaan ei-tiukkasta ( ), joka eroaa . Useimmissa tapauksissa inkluusioiden tiukkuutta ei kuitenkaan kuvata, minkä vuoksi mielivaltaisista sisällytyksistä on tietueita tiukoilla sisällytysmerkeillä. $A\alajoukko B$ $A\subseteq B$ $A\subset B\not \Rightarrow A=B$

Operaatiot sarjoilla

Operaatioiden visuaaliseen esittämiseen käytetään usein Venn-diagrammeja , jotka esittävät geometristen muotojen operaatioiden tulokset pistejoukkoina.

Perustoiminnot

leikkaus : (joukko yhteisiä pisteitä) $A\cap B=\{x:x\in A,\,x\in B\};$
liitto : (kaikki pisteet) $A\cup B=\{x,y:x\in A,\,y\in B\};$

Disjointin ja ( ) liitto tarkoittaa myös:

A

B

A\cap B=\varnothing

A+B=A\cup B;

ero : (ensimmäisen pisteet ilman toista) $A\setminus B=\{x:x\in A,\,x\notin B\};$
symmetrinen ero : $A\bigtriangleup B\equiv A~{\piste {-}}~B=(A\kuppi B)\setminus (A\cap B);$

lisäys ( sarja ilman ): $A\alajoukko B$ $B$ $A$ ${\overline {A}}\equiv A^{\complement }=B\setminus A;$

boolen arvo (kaikkien osajoukkojen joukko): $A$ $2^{A}=\{X:X\subset A\}.$

Lavaoperaatioissa de Morganin lait pätevät myös :

$A\backslash (B\cap C)=(A\backslash B)\cup (A\backslash C)$

$A\backslash (B\cup C)=(A\backslash B)\cap (A\backslash C)$

Todiste

Esittelemme joukon indikaattorin nimellä On helppo osoittaa, että Todistamme yhden väitteistä, olettaen, että toinen todistus on samanlainen: . (käytetty ) $A$ $I_{a}:X\supset A\to \{0,1\}:I_{a}(x)={\begin{cases}1,\,\forall x\in A,\\0 ,\,\forall x\notin A;\end{cases}}$
$I_{a\cap b}=I_{a}I_{b};\,\,\,I_{a\cup b}=I_{a}+I_{b}-I_{a}I_{ b};\,\,\,I_{a\setminus b}=I_{a}-I_{a}I_{b}.$

$A\backslash (B\cup C)\,\,\Leftrightarrow I_{a}-I_{a}\cdot I_{b\cup c}\,\,\Leftrightarrow I_{a}-I_{a }\cdot (I_{b}+I_{c}-I_{b}\cdot I_{c})=I_{a}-I_{a}\cdot I_{b}-I_{a}\cdot I_{ c}+I_{a}\cdot I_{b}\cdot I_{c}=$
$=I_{a}^{2}-I_{a}^{2}\cdot I_{b}-I_{a}^{2}\cdot I_{c}+I_{a}\cdot I_ {c}\cdot I_{b}=(I_{a}-I_{a}\cdot I_{b})\cdot (I_{a}-I_{a}\cdot I_{c})\Nuoli vasen (A \kenoviiva B)\cap (A\kenoviiva C)$ $I_{a}^{2}=I_{a}$

Toiminnan prioriteetti

Sarjoille suoritettavien operaatioiden järjestys, kuten tavallista, voidaan antaa suluilla. Sulkujen puuttuessa suoritetaan ensin unaarioperaatiot (komplementit), sitten leikkaukset ja sitten liitot , erot ja symmetriset erot . Saman prioriteetin toiminnot suoritetaan vasemmalta oikealle. Samalla on pidettävä mielessä, että toisin kuin aritmeettinen yhteen- ja vähennyslasku , joiden kohdalla on totta, että , tämä ei pidä paikkaansa vastaavien joukkojen operaatioiden kohdalla. Esimerkiksi jos sitten , mutta samalla, . ${\näyttötyyli (a+b)-c=a+(bc)}$ $A=\{1,3\},B=\{1,2\},C=\{2,3\},$ $(A\cup B)\setminus C=\{1\},$ $A\cup (B\setminus C)=\{1,3\}$

karteesinen tuote

Joukkojen karteesinen tulo on joukko, jota merkitään , jonka alkiot ovat kaikki mahdollisia alkuperäisten joukkojen alkiopareja; $A$ $B$ ${\näyttötyyli (A\kertaa B)}$ $A\times B=\{\{a,b\}:a\in A,\,b\in B\}.$

On kätevää kuvitella, että karteesisen tuotteen elementit täyttävät elementtitaulukon, jonka sarakkeet kuvaavat yhden joukon kaikkia elementtejä ja vastaavasti toisen joukon rivit.

Teho

Joukon potenssi on joukon ominaisuus, joka yleistää käsitteen äärellisen joukon alkioiden lukumäärästä siten, että joukot, joiden välille on mahdollista määrittää bijektio , ovat yhtä voimakkaita. Merkitään tai . Tyhjän joukon kardinaalisuus on nolla, äärellisillä joukoilla kardinaalisuus on sama kuin alkioiden lukumäärä, äärettömille joukoille otetaan käyttöön erityiset kardinaaliluvut , jotka korreloivat toistensa kanssa inkluusioperiaatteen mukaisesti (jos , niin ) ja laajentavat joukon ominaisuuksia. äärellisen joukon Boolen kardinaalisuus: äärettömien joukkojen tapauksessa. Itse nimitys on suurelta osin motiivina tästä ominaisuudesta. $|A|$ $\terävä A$ $A\subseteq B$ $|A| \leqslant |B|$ $|2^A| = 2^{|A|}$ $2^A$

Pienin ääretön potenssi on merkitty , tämä on laskettavan joukon potenssi (bijektiivinen ). Jatkojoukon kardinaalisuutta (bijektiivinen tai ) merkitään tai . Jatkonuumin potenssin määritelmä perustuu monella tapaa jatkumohypoteesiin - olettamukseen, että laskettavan tehon ja jatkumon potenssin välillä ei ole välipotenssia. $\aleph_0$ $\mathbb {N}$ $\mathbb {R}$ $2^{\mathbb {N} }$ $\mathfrak c$ $2^{\aleph_0}$

Jonkinlaiset joukot ja vastaavat objektit

Erikoissarjat

Tyhjä joukko on joukko, joka ei sisällä mitään elementtejä.
Yksialkioinen joukko on joukko, jossa on yksi alkio.
Universumi ( universumi ) on joukko, joka sisältää kaikki mahdolliset esineet. Russellin paradoksiinliittyentätä käsitettä tulkitaan tällä hetkellä suppeammin "joukoksi, joka sisältää kaikki tarkasteltavaan ongelmaan osallistuvat joukot ja objektit".

Samankaltaiset objektit

Tuple (erityisesti järjestetty pari ) on rajallisen määrän nimettyjä objekteja järjestetty kokoelma. Se kirjoitetaan sulkeisiin tai kulmasulkeihin, ja elementtejä voidaan toistaa.
Multiset ( Petri-verkkojen teoriassa kutsutaan "joukoksi") on joukko, jossa on useita elementtejä.
Tila on joukko lisärakenteella.
Vektori on lineaariavaruuden elementti , joka sisältää koordinaatteina äärellisen määrän jonkin kentän elementtejä. Järjestys on tärkeä, elementtejä voidaan toistaa.
Sekvenssi on yhden luonnollisen muuttujan funktio . Esitetty äärettömänä joukkona elementtejä (ei välttämättä erilaisia), joiden järjestyksellä on väliä.
Sumea joukko on matemaattinen objekti , joka on samanlainen kuin joukko, jonka jäsenyyden ei anna relaatio vaan funktio . Toisin sanoen sumean joukon elementtien osalta voidaan sanoa "missä määrin" ne sisältyvät siihen, eikä vain sitä, ovatko ne mukana vai eivät.

Hierarkian mukaan

Joukkojärjestelmä (joukkojoukko) on joukko, jonka kaikki alkiot ovat myös joukkoja, yleensä alkuperältään samanlaisia (ne voivat esimerkiksi kaikki olla jonkin muun joukon osajoukkoja) [7] .
- Joukkoalgebra , joukkojen rengas ovat esimerkkejä rakennetyypeistä, jotka ovat joukkojärjestelmiä.
- Boolean on tietyn joukon kaikkien osajoukkojen joukko.
Joukkoperhe on joukkojärjestelmän indeksoitu analogi.
Osajoukko
superset

Muistiinpanot

↑ Aseta // Mathematical Encyclopedia (5 osassa) . - M .: Neuvostoliiton tietosanakirja , 1982. - T. 3. - S. 762.
↑ Stoll, Robert. Joukot, logiikka ja aksiomaattiset teoriat . - W. H. Freeman and Company, 1974. - s . 5 .
↑ Steve Russ. Bernard Bolzanon matemaattiset teokset . - OUP Oxford, 9. joulukuuta 2004. - ISBN 978-0-19-151370-1 . Arkistoitu 27. huhtikuuta 2022 Wayback Machinessa
↑ William Ewald. Kantilta Hilbertille Osa 1: Lähdekirja matematiikan perusteista / William Ewald, William Bragg Ewald. - OUP Oxford, 1996. - s. 249. - ISBN 978-0-19-850535-8 . Arkistoitu 22. huhtikuuta 2022 Wayback Machinessa
↑ Paul Rusnock. Bernard Bolzano: Hänen elämänsä ja työnsä / Paul Rusnock, Jan Sebestik. - OUP Oxford, 25. huhtikuuta 2019. - S. 430. - ISBN 978-0-19-255683-7 . Arkistoitu 17. huhtikuuta 2022 Wayback Machinessa
↑ "Eine Menge, ist die Zusammenfassung bestimmter, wohlunterschiedener Objekte unserer Anschauung oder unseres Denkens - welche Elemente der Menge genannt werden - zu einem Ganzen." Arkistoitu kopio . Haettu 22. huhtikuuta 2011. Arkistoitu alkuperäisestä 10. kesäkuuta 2011. (määrätön)
↑ Studopedia - Joukkoteoria . Haettu 2. toukokuuta 2020. Arkistoitu alkuperäisestä 25. marraskuuta 2020. (määrätön)

Kirjallisuus

K. Kuratovsky , A. Mostovsky . Joukkoteoria / Englannista kääntänyt M. I. Lyhyesti, toimittanut A. D. Taimanov. - M . : Mir, 1970. - 416 s.
Stoll R. R. -sarjat. Logiikka. aksiomaattisia teorioita. / Käännös englannista Yu. A. Gastev ja I. Kh. Shmain, toimittanut Yu. A. Shikhanovich . - M . : Koulutus, 1968. - 232 s.

Logiikka

Filosofia • Semantiikka • Syntaksi • Historia

Logiikkaryhmät

klassista logiikkaa	Aristoteelinen logiikka propositionaalinen logiikka Ensimmäisen asteen logiikka Toisen asteen logiikka korkeamman asteen logiikkaa
matemaattinen logiikka	joukko teoria Mallin teoria Lasketettavuuden teoria Todistusteoria ja konstruktiivinen matematiikka Lineaarinen logiikka muodollinen järjestelmä luonnollinen johtopäätös Sekvenssilaskenta Logiikan algebra Asiaankuuluva logiikka Deonttinen logiikka intuitionistinen logiikka Lambek-laskenta
Ei-klassinen logiikka	intuitionismi sumea logiikka Alirakennelogiikka logiikka Kuvauslogiikka Moniarvoinen logiikka Logiikka synteesi Sidontalogiikka Temporaalinen logiikka Modaalinen logiikka ( Hybridilogiikka ) episteeminen logiikka
Filosofinen logiikka	Kriittinen ajattelu epävirallista logiikkaa deduktiivinen päättely

Komponentit

Sieppaus (logiikka)
Todennäköisyys
lausunto
Vähennys / Induktio / Traduction
Todellisuus
induktiivinen päättely
päättely
boolen vakio
Totta
loogista seuraamista
Looginen muoto
Tarpeelliset ja riittävät olosuhteet
Kuvaus
Määritelmä
Korvaus
Paketti
Kiista ( Antinomia )
Synteettinen arviointi / Analyyttinen arviointi
Linkki

Luettelo loogisista symboleista

Sanakirjat ja tietosanakirjat	Suuri tanskalainen Hienoa norjalaista Britannica (verkossa)
Bibliografisissa luetteloissa	GND : 4038613-2 NKC : ph122926