Perhe (matematiikka)

Kokeneet kirjoittajat eivät ole vielä tarkistaneet sivun nykyistä versiota, ja se voi poiketa merkittävästi 25. helmikuuta 2020 tarkistetusta versiosta . vahvistus vaatii 1 muokkauksen .

Perhe tai indeksoitu perhe on kokoelma objekteja, joista jokainen liittyy indeksiin jostain indeksijoukosta . Muodollisemmin indeksoitu perhe edustaa jotakin matemaattista funktiota sen toimialueen ja alueen kanssa . Tällaisessa merkinnässä olevaa joukkoa kutsutaan indeksijoukoksi (tai yksinkertaisesti indeksiksi) ja perheen indeksoiduksi joukoksi. $x$ $minä$ $X$ $minä$ $X$

Määritelmä

Olkoon ja joitain joukkoja ja surjektiivinen funktio $minä$ $X$ $x$

{\begin{aligned}x\colon I&\to X\\i&\mapsto x_{i}=x(i).\end{aligned))

Tällainen kuvaus määrittelee joukon indeksoimien elementtien perheen $X$ $minä$ , joka on myös merkitty tai yksinkertaisesti . Indeksijoukon ei tarvitse olla laskettavissa. $\{x_{i}\}_{i\in I}$ $\{x_i\}$

Esimerkkejä

Hakemistomerkintä

Kun käytetään indeksimerkintää , indeksoidut elementit muodostavat perheen. Esimerkiksi seuraavassa lausunnossa:

Vektorit ovat lineaarisesti riippumattomia. $v_{1},\dots,v_{n}$

Vektoriperhe otetaan implisiittisesti käyttöön . Samalla on tärkeää, että puhutaan perheestä, ei joukosta, koska joukot eivät ole järjestyneet ja joukon :nnestä elementistä olisi mieletöntä puhua ilman annettua indeksointia. Lisäksi lineaarinen riippumattomuus on koko objektikokoelman ominaisuus, joten on tärkeää, että puhumme perheestä, ei vektoreiden joukosta. ${\textstyle \{v_{i}\}_{i\in \{1,\dots ,n\))}$ $i$

Matriisit

Seuraavassa lausunnossa:

Matriisi on ei- degeneroitu , jos ja vain jos sen rivit ovat lineaarisesti riippumattomia. $A$

Kuten edellisessä lauseessa, matriisin rivejä pidetään täsmälleen perheenä, ei joukkoina. Esimerkiksi seuraavalle matriisille:

A={\begin{bmatrix}1&1\\1&1\end{bmatrix}}.

Sen rivien joukko koostuu yhdestä elementistä ja on lineaarisesti riippumaton, mutta matriisi on rappeutunut. Samanaikaisesti merkkijonoperhe sisältää kaksi elementtiä ja on lineaarisesti riippuvainen. ${\näyttötyyli (1,1)}$

Muita esimerkkejä

Antaa merkitsee rajallinen joukko , Jossa on positiivinen kokonaisluku. ${\bf {n))$ $\{1,2,\dots ,n\}$ $n$

Pari on perhe, joka on indeksoitu kaksielementtisellä joukolla . ${\bf {2}}=\{1,2\}$
Tuple on perhe, joka on indeksoitu joukolla . ${\bf {n))$
Sarja on luonnollisilla luvuilla indeksoitu perhe .
Matriisi on perhe, joka on indeksoitu karteesisen tuotteen avulla . ${\bf {n}}\times {\bf {m}}$
Suuntavuus on suunnatun joukon indeksoima perhe .

Toiminnot perheille

Indeksoituja joukkoja käytetään usein summissa ja vastaavissa operaatioissa. Esimerkiksi, jos on lukuperhe, niin kaikkien tällaisten lukujen summa merkitään ${\displaystyle \{a_{i}\}_{i\in I))$

\sum _{i\in I}a_{i}.

Jos on joukko joukkoa, niin perheen kaikkien elementtien liitto merkitään $\{A_{i}\}_{i\in I}$

\bigcup _{i\in I}A_{i}.

Perheen kaikkien elementtien leikkauspisteet ja karteesiset tulot voidaan kirjoittaa samalla tavalla .

Luokkateoriassa

Perheen analogia kategoriateoriassa ovat kaaviot. Kaavio on funktio , joka määrittää luokan objektiperheen, joka on indeksoitu jollakin toisella kategorialla , joka myös indeksoi luokan morfismit . $C$ $J$

Katso myös

Kirjallisuus

Mathematical Society of Japan , Encyclopedic Dictionary of Mathematics , 2. painos, 2 osaa, Kiyosi Itô (toim.), MIT Press, Cambridge, MA, 1993. Mainittu nimellä EDM (osa).