Lyhteiden kohomologia

Lyhteen kohomologiat ovat seurausta homologisen algebran käyttämisestä lyhteiden globaalien osien tutkimiseen . Karkeasti sanottuna nippukohomologiat kuvaavat esteitä geometrisen ongelman globaalille ratkaisulle, kun se voidaan ratkaista paikallisesti.

Lyhteet, nivelkohomologiat ja spektrisekvenssit keksi Jean Leray ollessaan sotavangileirillä Itävallassa . [1] Lerayn määritelmiä yksinkertaistettiin ja selkeytettiin 1950-luvulla. Kävi selväksi, että nippukohomologia ei ole vain uusi lähestymistapa kohomologiateorian rakentamiseen algebrallisessa topologiassa , vaan myös tehokas menetelmä monimutkaiseen analyyttiseen geometriaan ja algebralliseen geometriaan .. Näillä alueilla on usein tarpeen rakentaa globaalisti määriteltyjä funktioita tietyillä paikallisilla ominaisuuksilla, ja nippukohomologia sopii hyvin tällaisiin ongelmiin. Monet aikaisemmat tulokset, kuten Riemann-Roch-lause ja Hodge-lause , on yleistetty ja ymmärretty paremmin lyhteiden kohomologian ansiosta.

Määritelmä

Topologisessa avaruudessa X olevien Abelin ryhmien lyhteiden luokka on Abelin luokka , joten on järkevää kysyä, milloin lyhteen morfismi f: B → C on injektiivinen ( monomorfismi ) vai surjektiivinen ( epimorfismi ). Yksi mahdollinen vastaus on, että f on injektiivinen (vastaavasti surjektiivinen) silloin ja vain, jos indusoitu kerroshomomorfismi B x → C x on injektiivinen (vastaavasti surjektiivinen) jokaiselle X : n pisteelle x . Tästä seuraa, että f on injektiivinen silloin ja vain, jos lohkoryhmien homomorfismi B ( U ) → C ( U ) yli U on injektiivinen jokaiselle X :n avoimelle joukolle U. Tilanne surjektiivisuuden kanssa on monimutkaisempi: morfismi f on surjektiivinen, jos ja vain jos jokaisella avoimella joukolla U X :ssä, jokaisella lyhteen C osuudella s U : n päällä ja jokaisessa pisteessä x U : ssa on olemassa joukon avoin ympäristö V. piste x U :ssa siten, että s , rajoitettu V :hen, on B :n jonkin V :n ylittävän osan kuva .

Herää seuraava kysymys: tietylle surjektiolle f: B → C ja lyhteen C leikkaus s yli X , kun s on jakson B kuva X :n yli ? Tämä on malli kaikille globaaleille geometrian kysymyksille. Säilikohomologiat antavat tyydyttävän yleisen vastauksen. Olkoon A nimittäin lyhyeen tarkkaan sekvenssiin sisältyvän surjektion B → C ydin

0\to A\to B\to C\to 0

vyöt X :ssä . Sitten on pitkä tarkka sarja Abelin ryhmiä, joita kutsutaan lyhteen kohomologiaryhmiksi:

0\-H^{0}(X,A)\-H^{0}(X,B)\-H^{0}(X,C)\-H^{1}(X, A)\to \cdots ,

jossa H 0 ( X , A ) on A :n yli X :n globaalien osien ryhmä A ( X ) . Esimerkiksi jos ryhmä H 1 ( X , A ) on nolla, tämä tarkka järjestys merkitsee, että jokainen globaali osa C nousee globaaliin osaan B. Yleisemmin ottaen tämä tarkka järjestys tekee korkeampien kohomologiaryhmien tutkimisesta päätyökalun lyhteen osien ymmärtämiseen.

Grothendieckin antama ja nyt standardi lyhteiden kohomologian määritelmä käyttää homologisen algebran kieltä. Hänen olennainen pointtinsa on korjata topologinen avaruus X ja ajatella kohomologiaa funktorina X :n Abelin ryhmistä Abelin ryhmiin. Tarkastellaan nimittäin funktoria E ↦ E ( X ) X :n Abelin ryhmien lyhteistä Abelin ryhmiin. Tämä funktori on vasen tarkka , mutta ei yleensä oikea tarkka. Ryhmät H i ( X , E ) kokonaislukuille j määritellään funktorin E ↦ E ( X ) oikealle johdetuiksi funktoreiksi . Tämä tarkoittaa automaattisesti, että Hi ( X , E ) on nolla, jos i < 0, ja että H0 ( X , E ) on E ( X ) : n globaalien osien ryhmä .

Johdettujen funktoreiden määrittelyssä hyödynnetään sitä tosiasiaa, että mielivaltaisessa topologisessa avaruudessa X on riittävästi injektioobjekteja Abelin ryhmien lyhteiden luokassa ; toisin sanoen, mille tahansa nivelelle E on olemassa injektionippu I ja injektio E → I . [2] Tämä tarkoittaa, että millä tahansa nipulla E on injektioresoluutio :

0\to E\to I_{0}\to I_{1}\to I_{2}\to \cdots .

Lyhteen H i ( X , E ) kohomologiaryhmät ovat seuraavan Abelin ryhmien kompleksin kohomologiaryhmiä (homomorfismin ydin modulo edellisen homomorfismin kuva) :

0\to I_{0}(X)\to I_{1}(X)\to I_{2}(X)\to \cdots .

Standardihomologisilla algebra-argumenteilla todistetaan, että nämä kohemologiaryhmät eivät ole riippuvaisia injektioresoluution E valinnasta .

Tätä määritelmää käytetään harvoin suoraan pyöreiden kohomologian laskemiseen. Se on kuitenkin tehokas, koska se toimii suurella yleisellä tasolla (mikä tahansa nippu missä tahansa topologisessa avaruudessa), ja siitä seuraa helposti kohomologisten nippujen muodolliset ominaisuudet, kuten yllä oleva pitkä tarkka sekvenssi. Tietyille tilaluokille tai pyöreille on olemassa monia työkaluja kohemologian laskemiseen, joista osa kuvataan alla.

Kohomologia vakiokertoimilla

Topologiselle avaruudelle X ja Abelin ryhmälle A vakiorivi A X on lokaalisti vakiofunktioiden nippu, joiden arvot ovat A: ssa . Lyhteiden H j ( X , AX ) kohomologiaryhmiä merkitään usein yksinkertaisesti nimellä Hj ( X , A ) , ellei tämä aiheuta sekaannusta muuntyyppisten kohomologioiden, kuten singulaarikohomologian , kanssa . Lyhteen kohomologia vakiokertoimilla muodostaa kontravariantin funktorin topologisista avaruksista Abelin ryhmiin.

Jokaiselle avaruudelle X ja Y ja Abelin ryhmälle A homotooppiset kartat f ja g X :stä Y : ään indusoivat samat nippukohomologiahomomorfismit: [ 3]

f^{*}=g^{*}:H^{j}(Y,A)\to H^{j}(X,A).

Tästä seuraa, että homotooppisesti ekvivalenteilla avaruuksilla on isomorfiset nippukohomologiat vakiokertoimilla.

Olkoon X parakompakti Hausdorffin avaruus , joka on paikallisesti supistuva siinä mielessä, että jokainen mielivaltaisen pisteen x avoin ympäristö U sisältää x :n avoimen ympäristön V siten , että inkluusio V → U on homotooppinen vakiomappaukselle . Tällöin X:n singulaarikohomologia kertoimilla Abelin ryhmässä A on isomorfinen lyhteiden H *( X , A X ) kohomologian kanssa. Tämä pätee erityisesti, jos X on topologinen monisto tai CW-kompleksi .

Hitaat ja pehmeät niput

Abelin ryhmien E nippua topologisessa avaruudessa X kutsutaan asykliseksi , jos H j ( X , E ) = 0 kaikille j > 0. Lyhteiden pitkästä tarkasta kohomologiasarjasta seuraa, että minkä tahansa lyhteen kohomologia voidaan laskea käyttämällä asyklistä resoluutiota (injektioresoluution sijaan) . Injektiopyörät ovat asyklisiä, mutta laskelmissa on hyödyllistä käyttää muita esimerkkejä asyklisistä pyöristä.

Lyhdettä E X :llä kutsutaan velttoksi , jos mikä tahansa E :n osa X :n avoimessa osajoukossa voidaan pidentää koko X :n osaksi. Vetopyörät ovat asyklisiä. [4] Godemann määritteli käärien kohomologian käyttämällä ns. kanonista erottelukykyä , joka koostui velttoisista kääreistä. Koska velttopyörät ovat asyklisiä, Godementin määritelmä on yhtäpitävä yllä olevan määritelmän kanssa. [5]

Parakompaktissa Hausdorff-avaruudessa X olevaa nippua E kutsutaan pehmeäksi , jos mikä tahansa E :n rajoituksen osa X :n suljettuun osajoukkoon voidaan laajentaa E :n osaan koko X :n alueella. Pehmeät pyörät ovat asyklisiä. [6]

Esimerkki pehmeästä nivelestä on reaaliarvoisten jatkuvien funktioiden nippu parakompaktissa Hausdorffin avaruudessa ja tasaisten ( C∞ ) funktioiden nippu tasaisessa jakoputkessa . Yleisemmin sanottuna mikä tahansa moduulinippu kommutatiivisten renkaiden pehmeän nipun päällä on esimerkiksi pehmeä. vektorinipun sileiden osien nippu sileän jakoputken päällä on pehmeä.

Nämä tulokset ovat erityisesti osa de Rhamin lauseen todistetta . Sileälle monistolle X Poincarén lemma ilmoittaa, että de Rham-kompleksi on vakiolyhteen R X liuotti :

0\to \mathbf {R} _{X}\to \Omega _{X}^{0}\to \Omega _{X}^{1}\to \cdots ,

missä Ω X j on tasaisten differentiaalien j -muotojen kynä ja kuvaus Ω X j → Ω X j +1 on ulompi differentiaali d . Yllä olevista tuloksista seuraa, että pyörät Ω X j ovat pehmeitä ja siten asyklisiä. Tästä seuraa, että nippukohomologia X todellisilla kertoimilla on isomorfinen de Rham-kohomologialle X , joka määritellään todellisten vektoriavaruuksien kompleksin kohomologiana :

0\to \Omega _{X}^{0}(X)\to \Omega _{X}^{1}(X)\to \cdots .

De Rhamin lauseen toinen osa identifioi lyhteen ja singulaarikohomologian X todellisilla kertoimilla: tämä on totta yleisemmin, kuten edellä on käsitelty .

Cech cohomology

Cech-kohomologia on lyhennekohomologian likiarvo, joka on usein hyödyllinen laskennassa. Nimittäin olkoon tilan X avoin kansi pareittain erillisillä joukoilla ja lyhty X :llä . Merkitään . Cochain yhdistää järjestetyn joukon elementtiin . Yhteisrajahomomorfismi määritellään kaavalla ${\mathcal {U}}=\{U_{\alpha }\}$ $U_{\alpha }$ $E$ $U_{\alpha _{0}\ldots \alpha _{k}}=U_{\alpha _{0}}\cap \ldots U_{\alpha _{k}}$ $c^{k}\in C^{k}({\mathcal {U)),E)$ $U_{\alpha _{0)),\ldots ,U_{\alpha _{k))$ $c^{k}(U_{\alpha _{0)),\ldots ,U_{\alpha _{k)))\in E(U_{\alpha _{0}\ldots \alpha _{ k))$

(\delta c^{k})(U_{\alpha _{0)),\ldots ,U_{\alpha _{k+1)))=\sum _{i=0}^{k +1}(-1)^{i}c^{k}(U_{\alpha _{0)),\ldots {\hat {U))_{\alpha _{i)),\ldots U_{ \alpha _{k+1)))|_{U_{\alpha _{0}\ldots \alpha _{k+1}}}.

Yksinkertainen vakiotarkastus osoittaa sen . Tämä antaa meille mahdollisuuden määritellä kohomologiaryhmä , Cech-kohomologia peitteelle , jossa on kertoimet nipussa . [7] $\delta \delta =0$ $H^{k}({\mathcal {U)),E)$ ${\mathcal {U}}$ $E$

On olemassa luonnollinen homomorfismi . Näin ollen Cech-kohomologia on approksimaatio lyhennekohomologiaan käyttämällä vain leikkauksia avoimien joukkojen äärellisissä leikkauspisteissä . $H^{j}({\mathcal {U)),E)\to H^{j}(X,E)$ $E$ $U_{\alpha }$

Jos jollakin avoimien joukkojen äärellisellä leikkauspisteellä V ei ole suurempaa kohemologiaa E :n kertoimien kanssa . siinä mielessä, että H j ( V , E ) = 0 kaikille j > 0, niin homomorfismi Cech -kohomologiasta lyhteen kohomologiaan on isomorfismi. [kahdeksan] $U_{\alpha }$ $H^{j}({\mathcal {U)),E)$

Toinen lähestymistapa Cech-kohomologian liittämiseen nippukohomologiaan on seuraava. Cech-kohomologiaryhmät määritellään kaikkien avoimien kansien suoraksi rajaksi (jossa kannet on järjestetty "ole alikansi "). On olemassa homomorfismi Cech-kohomologiasta lyhteen kohomologiaan, joka on isomorfismi arvolle j ≤ 1. Satunnaisille topologisille avaruuksille Cech-kohomologia voi poiketa lyhteen kohomologiasta suurempiin asteisiin. Ne ovat kuitenkin isomorfisia mille tahansa parakompaktissa Hausdorff-tilassa olevalle nivelelle. [9] ${\check {H}}^{j}(X,E)$ $H^{j}({\mathcal {U)),E)$ ${\mathcal {U}}$ ${\check {H}}^{j}(X,E)\to H^{j}(X,E)$

Muistiinpanot

↑ Miller, Haynes. "Leray in Oflag XVIIA: lyhteen teorian alkuperä, nivelkohomologia ja spektrisekvenssit" Arkistoitu 9. syyskuuta 2006 Wayback Machinessa , 2000.
↑ Iversen, 1986 , Lause II.3.1.
↑ Iversen, 1986 , Lause IV.1.1.
↑ Iversen, 1986 , Lause II.3.5.
↑ Iversen, 1986 , Lause II.3.6.
↑ Bredon, 1988 , Lause II.9.8.
↑ Prasolov, 2006 , s. 286-287.
↑ Godeman, 1961 , jakso II.5.4.
↑ Godeman, 1961 , jakso II.5.10.

Kirjallisuus

G. E. Bredon. Palkkien teoria / per. englannista. toim. E. G. Sklyarenko. - M .: Nauka, 1988.
R. Godeman. Algebrallinen topologia ja pyörän teoria. - M .: IN, 1961.
V. V. Prasolov. Homologiateorian elementit. — M .: MTsNMO, 2006.
R. Hartshorne. Algebrallinen geometria / käännös. englannista. V. A. Iskovskikh. - M .: Mir, 1981.
Iversen, Birger. Sheavesin kohomologia. - Springer-Verlag, 1986. - ISBN 978-3-540-16389-3 .
Grothendieck, A. Sur quelques points d'algèbre homologique // Tôhoku Mathematical Journal. — Voi. 9, nro 2 . — s. 119–221.