Tarkka funktionaali

Tarkka funktionaali on funktori , joka kartoittaa tarkat sekvenssit tarkkoihin. Täsmäfunktiot ovat käteviä homologisen algebran laskennassa, koska niitä voidaan soveltaa välittömästi objektiresolventteihin . Suuri osa homologista algebraa on rakennettu mahdollistamaan työskentely sellaisten funktoreiden kanssa, jotka eivät ole tarkkoja, mutta niiden ero tarkkoihin on hallittavissa.

Määritelmä

Olkoon ja ole Abelin kategorioita ja ole additiivinen funktori . Harkitse mielivaltaista lyhyttä tarkkaa sekvenssiä : $P$ $K$ $F:P\to Q$

0\to A\to B\to C\to 0

esineitä . $P$

Jos on kovarianttifunktio , on: $F$ $F$

puolitarkka , jos tarkka; ${\näyttötyyli F(A)\to F(B)\to F(C)}$
tarkka vasemmalla , jos tarkka; $0\to F(A)\to F(B)\to F(C)$
tarkka oikealla, jos tarkka; $F(A)\to F(B)\to F(C)\to 0$
tarkkaa jos tarkkaa. $0\to F(A)\to F(B)\to F(C)\to 0$

Jos on kontravarianttifunktio kohdasta - , on: $G$ $P$ $K$ $G$

puolitarkka , jos tarkka; $G(C)\to G(B)\to G(A)$
tarkka vasemmalla , jos tarkka; $0\to G(C)\to G(B)\to G(A)$
tarkka oikealla, jos tarkka; $G(C)\to G(B)\to G(A)\to 0$
tarkkaa jos tarkkaa. $0\to G(C)\to G(B)\to G(A)\to 0$

Ei ole välttämätöntä ottaa täsmälleen tämäntyyppistä sekvenssiä alkuperäisenä; esimerkiksi tarkka funktori voidaan määritellä funktoriksi, joka kartoittaa muodon tarkat sekvenssit tarkkoihin sekvensseihin. ${\näyttötyyli A\to B\to C}$

Eksaktille funktorille on toinenkin määritelmä: kovarianttifunktiontori jätetään eksaktiksi silloin ja vain, jos se kuvaa äärelliset rajat rajoihin. Kun sana "kovariantti" korvataan sanalla "kontravariantti" tai "vasen" sanalla "oikea", on samanaikaisesti korvattava "rajat" sanalla "colimits". Tarkka funktori on funktori, joka on eksakti vasemmalle ja oikealle.

Esimerkkejä

Mikä tahansa Abelin luokkien vastaavuus on tarkka.
Tärkein esimerkki vasemmanpuoleisesta eksaktifunktiosta on Hom . If on mielivaltainen Abelin luokka ja on sen objekti, niin on kovariantti additiivinen funktori Abelin ryhmien luokkaan [1] . Tämä funktionaali on tarkka jos ja vain jos se on projektiivinen . Vastaavasti kontravarianttifunktio on tarkka silloin ja vain, jos se on injektiivinen . ${\mathcal {A}}$ $A$ $\mathrm {Hom} _{\mathcal {A}}(A,X)$ $A$ $\mathrm {Hom} _{\mathcal {A}}(X,A)$ $A$
Jos on oikea - moduuli , niin on mahdollista määritellä funktori vasemmanpuoleisten moduulien luokasta käyttämällä tensorituloa over . Tämä funktionaali on oikea, tarkka; se on tarkka, jos ja vain jos on litteä moduuli . $T$ $R$ $H_{T}$ $R$ ${\mathbf {Ab))$ $R:H_{T}(X)=T\otimes X$ $T$
Kaksi edellistä esimerkkiä voidaan yleistää: missä tahansa adjoint-lisäfunktion parissa vasen adjoint on oikeanpuoleinen ja oikea vasen adjoints.

Muistiinpanot

↑ Jacobson, 2009 , Lause 3.1, s. 98.

Kirjallisuus

Atiyah M., McDonald I. Johdatus kommutatiiviseen algebraan. - Factorial Press, 2003 - ISBN 5-88688-067-4 .
Nathan Jacobson . Perusalgebra. – 2. - Dover, 2009. - Osa 2. - ISBN 978-0-486-47187-7 .
Artin, Michael; Alexandre Grothendieck, Jean-Louis Verdier , toim. (1972). Séminaire de Géométrie Algébrique du Bois Marie - 1963-64 - Théorie des topos et cohomologie etale des schémas - (SGA 4) - voi. 1. Matematiikan luentomuistiinpanot (ranskaksi) 269. Berliini; New York: Springer-Verlag. xix+525. doi: 10.1007/BFb0081551. ISBN 978-3-540-05896-0 .