Projektiivinen moduuli

Projektiivinen moduuli on yksi homologisen algebran peruskäsitteistä . Kategoriteorian näkökulmasta projektitiiviset moduulit ovat projektiivisten objektien erikoistapaus .

Määritelmä

Moduulia renkaan päällä (jota yleensä pidetään assosiatiivisena identiteettielementin kanssa) kutsutaan projektiiviseksi, jos jokaiselle homomorfismille ja epimorfismille on olemassa sellainen homomorfismi , että ts. annettu diagrammi on kommutatiivinen: $P$ $A$ $g\colon P\to M$ $f\kaksoispiste N\ to M$ $h\colon P\to N$ $g=fh$

Yksinkertaisin esimerkki projektiivisestä moduulista on vapaa moduuli . Todellakin, anna olla elementtejä perusteella moduulin ja . Koska on epimorfismi, voidaan löytää sellainen, että . Sitten se voidaan määrittää asettamalla sen arvot perusvektoreille kuten . $F$ $x_{1},x_{2},\ldots ,x_{i},\ldots$ $F$ $g(x_{i})=y_{i}$ $f$ $z_{i}$ $f(z_{i})=y_{i}$ $h$ $h(x_{i})=z_{i}$

Polynomirenkaille useissa muuttujissa kentän yli mikä tahansa projektiivinen moduuli on ilmainen.

Yleensä näin ei ole, vaikka on helppo todistaa lause, että moduuli on projektiivinen, jos ja vain jos on olemassa moduuli , jonka suora summa on vapaa. Itse asiassa, jos suorassa summassa on komponentti , joka on vapaa moduuli ja on homomorfismi, niin se on myös homomorfismi ( on suoran summan projektio ensimmäiseen summaan ), ja koska tiedämme, että vapaat moduulit ovat projektiivisia, on olemassa sellainen homomorfismi , että missä on siis inkluusiohomomorfismi , siis $P$ $K$ $F=P\oplus K$ $P$ $F$ $g\colon P\to M$ $gp_{1}\colon F\to M$ $p_{1}$ $F$ $P$ $h_{1}\colon F\to N$ ${\displaystyle gp_{1}=fh_{1))$ ${\displaystyle gp_{1}i_{1}=fh_{1}i_{1))$ $i_1$ $P\to F$

g=fh_{1}i_{1}\colon P\to M

Päinvastoin, olkoon projektiivinen moduuli. Jokainen moduuli on homomorfinen kuva vapaasta moduulista. Olkoon vastaava epimorfismi. Silloin identtinen isomorfismi on yhtä suuri joillekin , koska se on projektiivinen. Mikä tahansa elementti voidaan sitten esittää muodossa $P$ $g\colon F\to P$ $id\colon P\to P$ $id=gh$ $h\colon P\to F$ $P$ $F$

x=hg(x)+(x-hg(x))\in \mathrm {Im} \,h\oplus \mathrm {Ker} \,g

missä on isomorfinen . $\mathrm {Im} \,h$ $P$

Ominaisuudet

$P$ on projektiivinen, jos ja vain jos minkä tahansa epimorfismin indusoitu homomorfismi on epimorfismi. $f\kaksoispiste N\ to M$ $f_{*}\colon {\text{Hom}}(P,N)\to {\text{Hom}}(P,M)$
$P$ on projektiivinen jos ja vain jos se kartoittaa minkä tahansa lyhyen tarkan sekvenssin tarkkaan sekvenssiin . $0\to A\to B\to C\to 0$ $0\to {\text{Hom}}(P,A)\to {\text{Hom}}(P,B)\to {\text{Hom}}(P,C)\to 0$
Moduulien suora summa on projektiivinen silloin ja vain, jos jokainen termi on projektiivinen.

Katso myös

Kirjallisuus

Kartan A., Eilenberg S. Homologinen algebra. - M .: IL, 1960
McLane S. Homology. - M . : Mir, 1966 ..