Projektiivinen objekti

Projektiivinen objekti on kategorioteoreettinen yleistys projektiivisen moduulin käsitteestä .

Abelin luokkien projektiivisia objekteja käytetään laajalti homologisessa algebrassa . Kaksoisobjektit projektiivisiin ovat injektioobjekteja .

Määritelmä

Luokkaan kuuluvaa objektia kutsutaan projektiiviseksi , jos mielivaltaiselle epimorfismille ja morfismille on olemassa morfismi , jolle , eli kaavio: $P$ ${\mathcal {C}}$ $e\colon E\twoheadrightarrow X$ $f\colon P\to X$ ${\overline {f}}:P\to E$ $e\circ {\overline {f}}=f$

on kommutatiivista .

Ominaisuudet

Paikallisesti pienessä luokassa objekti on projektiivinen vain, jos funktori ${\mathcal {C}}$ $P$ $\operaattorinnimi {Hom} (P,-)\colon {\mathcal {C}}\to \mathbf {Set}$

säilyttää epimorfismit . [yksi]

Olkoon paikallisesti pieni abelilainen luokka . Tässä tapauksessa objekti on projektiivinen objekti , jos ${\mathcal {C}}$ $P\in {\mathcal {C}}$ $\operaattorin nimi {Hom} (P,-)\colon {\mathcal {C}}\to \mathbf {Ab}$

on tarkka funktori , jossa on Abelin ryhmien luokka .

{\mathbf {Ab))

Kahden projektiivisen objektin yhteistulo on projektiivinen objekti. [2]
Projektiivisen objektin sisäänveto on projektiivinen. [3]

Esimerkkejä

Väite , että kaikki joukot ovat projektiivisia objekteja , vastaa valinnan aksioomaa .

Projektiiviset objektit kategoriassa Abelin ryhmät ovat vapaita Abeli-ryhmiä.

Olkoon rengas yksiköllä . Harkitse (Abelin) vasen -moduulien luokkaa. Projektiiviset objektit ovat projektiivisia vasenta R-moduuleja . Erityisesti se on projektiivinen objekti $R$ ${\mathcal {M}}_{R}$ $R$ ${\mathcal {M}}_{R}$ $R$ ${\mathcal {M}}_{R}.$

Muistiinpanot

↑ Mac Lane, Saunders. Kategoriat työskenteleville matemaatikkoille (uuspr.) . — Toiseksi. - New York, NY: Springer New York, 1978. - S. 114. - ISBN 1441931236 .
↑ Awodey, Steve. Luokkateoria (englanniksi) . – 2. - Oxford: Oxford University Press , 2010. - S. 72. - ISBN 9780199237180 .
↑ Awodey, Steve. Luokkateoria (englanniksi) . – 2. - Oxford: Oxford University Press , 2010. - S. 33. - ISBN 9780199237180 .