Kategoriteoriassa osaobjekti on karkeasti sanottuna objekti, joka sisältyy luokan toiseen objektiin. Määritelmä yleistää vanhemmat käsitteet osajoukosta joukkoteoriassa ja alaryhmästä ryhmäteoriassa. [1] Koska esineiden "todellista" rakennetta ei oteta huomioon kategoriateoriassa, määritelmä perustuu morfismien käyttöön, ei "elementtien" käyttöön.
Olkoon A jonkin kategorian kohde. Kaksi monomorfismia :
u : S → A ja v : T → Ayleiskuvalla A sanomme, että u ≤ v , jos u "läpi" v , eli jos on olemassa morfismi w : S → T , jolloin u = v ∘ w . Määritellään seuraava binäärisuhde:
u ≡ v jos ja vain jos u ≤ v ja v ≤ u .Tämä on ekvivalenssirelaatio monomorfismille kuvan A kanssa , kutsutaan sen ekvivalenssiluokkia A :n aliobjekteiksi . Monomorfismit A :n kuvalla ja relaatiolla ≤ muodostavat ennakkojärjestyksen , mutta aliobjektin määritelmä varmistaa, että A :n osaobjektit muodostavat osittain järjestetyn joukon .
Aliobjektin kaksoiskäsite on tekijäobjekti; eli saadaksesi osamääräobjektin määritelmän, sinun on korvattava "monomorfismi" sanalla "epimorfismi" yllä olevassa määritelmässä ja vaihdettava kaikkien nuolten suunta.
Joukkojen luokassa A :n osaobjektit vastaavat A :n osajoukkoja , tai tarkemmin sanottuna kaikkien joukkojen upotusten luokkaa, jotka vastaavat tiettyä tietyssä osajoukossa olevaa. Sama pätee ryhmien kategoriaan ja joihinkin muihin luokkiin.