Homotoopiaryhmät ovat topologisten avaruuksien invariantti , yksi algebrallisen topologian peruskäsitteistä .
Epävirallisesti sanottuna he luokittelevat kartoituksia moniulotteisista palloista tiettyyn topologiseen tilaan jatkuvaan muodonmuutokseen asti. Vaikka homotopiaryhmiä on helppo määritellä, niitä on erittäin vaikea laskea, jopa sfäärien osalta. Tämä erottaa ne homologiaryhmistä , joita on helpompi laskea, mutta vaikeampi määritellä. Yksinkertaisin homotopiaryhmien erikoistapaus on perusryhmä .
Olkoon topologinen avaruus, ; on yksikkökuutio, eli , ja on tämän kuution raja, eli joukko kuutiopisteitä siten, että tai 1 joillekin . Jatkuvien kuvausten homotopialuokkien joukko , jolle on merkitty (lisäksi , menee pisteeseen kaikille kartoituksille ja homotopioille). Tässä joukossa elementtien kertolasku voidaan määritellä seuraavasti:
,missä
, jos , josKoska kuution rajalla kertolasku on määritetty oikein. On helppo tarkistaa, että se riippuu vain homotopialuokasta ja . Tämä kertolasku täyttää kaikki ryhmän aksioomit . Siinä tapauksessa, että saadaan suljettujen polkujen koostumus ja on siksi perusryhmä . n>1: lle niitä kutsutaan korkeampiin homotoopiaryhmiksi.
Jatkuva avaruuksien kartoitus vastaa homomorfismia , ja tämä vastaavuus on funktionaalista eli jatkuvien kartoitusten tulo vastaa homotopiaryhmien homomorfismien tulosta ja identtinen kartoitus vastaa identtistä homomorfismia . Jos kartoitus on homotooppinen , niin .
Toisin kuin homologiaryhmät , homotopiaryhmien määritelmään sisältyy erottuva kohta . Itse asiassa polkuun liittyvien avaruuksien tapauksessa homotopiaryhmät eivät ole riippuvaisia pisteen valinnasta, vaikka yleisessä tapauksessa kanonista isomorfiaa ei ole.
Vaikka perusryhmä on yleensä ei- abelilainen , kaikille n>1 ne ovat abelilaisia, eli . Visuaalinen todiste tästä tosiasiasta näkyy seuraavassa kuvassa (vaaleansiniset alueet on merkitty pisteeksi ):
Suhteelliset homotopiaryhmät määritellään avaruudelle , sen aliavaruudelle ja erotetulle pisteelle . Olkoon yksikkökuutio ( ), tämän kuution raja ja olkoon a yhtälön määrittämän kuution pinta . Jatkuvien kuvausten homotopialuokkien joukko , joille ja toisille pinnoille on merkitty (lisäksi se menee , ja pisteeseen kaikille kartoituksille ja homotopiaille).
Samalla tavalla kuin aiemmin, voimme todistaa, että tälle joukolle muodostaa ryhmän, järjestyksen suhteellinen homotopiaryhmä . Jos , niin edellinen luku osoittaa, että on Abelin. (Jos n = 2, todistus epäonnistuu, koska pisteet voivat mennä muihin pisteisiin kuin .)
Upottaminen indusoi homomorfismin ja upottaminen (tässä se tulisi ymmärtää nimellä ) indusoi homomorfismin . Mikä tahansa elementti määritellään kartoituksella , joka erityisesti kartoitetaan kohtaan , ja f on identtisesti yhtä suuri kuin , määrittää elementin kohteesta . Näin saadaan kartoitus , joka on homomorfismi. Meillä on seuraava ryhmien ja homomorfismien sarja:
Tämä sekvenssi on tarkka , eli minkä tahansa homomorfismin kuva osuu yhteen seuraavan homomorfismin ytimen kanssa. Näin ollen siinä tapauksessa , että kaikille , rajahomomorfismi on isomorfismi.
Perusryhmän esitteli topologian luoja Henri Poincaré , korkeamman homotopian ryhmät esitteli Vitold Gurevich . Määritelmiensä yksinkertaisuudesta huolimatta tiettyjen ryhmien laskeminen (jopa sellaisille yksinkertaisille tiloille kuin korkeaulotteiset pallot S n (katso pallojen homotoopiaryhmät ) on usein erittäin vaikea tehtävä, ja yleiset menetelmät saatiin vasta puolivälissä. 1900-luku spektrisekvenssien myötä .