Homologian teoria

Homologiateoria ( muut kreikkalaiset sanat ὁμός "tasa-arvoinen, identtinen; yhteinen; keskinäinen" ja λόγος "oppi, tiede ") on matematiikan haara , joka tutkii joidenkin topologisten invarianttien , joita kutsutaan homologiaryhmiksi ja kohomologiaryhmiksi, rakentamista . Homologiateorioita kutsutaan myös homologiaryhmien erityisiksi konstruktioiksi.

Yksinkertaisimmassa tapauksessa topologinen avaruus liittyy Abelin homologiaryhmien sarjaan, joka on lueteltu luonnollisilla luvuilla . Ne ovat homotopiainvariantteja , ja toisin kuin homotopiaryhmät , ne ovat helpompia laskea ja geometrisesti selkeämpiä, mutta yksinkertaisesti yhdistetyissä tiloissa ne sisältävät saman määrän tietoa [1] . $X$ $H_{k}(X)$ $k$

Homologian määritelmä on kuitenkin vähemmän yksiselitteinen ja käyttää joitain teknisiä koneistoja [2] , ja siksi on olemassa useita erilaisia homologiateorioita - molemmat määritelty vain "hyville" topologisille avaruksille tai jotka vaativat lisärakennetta , ja monimutkaisempia, jotka on suunniteltu toimimaan patologisia esimerkkejä. Tällaisia patologisia tapauksia lukuun ottamatta ne kuitenkin yleensä osuvat yhteen: solutiloille tämä varmistetaan Steenrod-Eilenberg-aksioomilla .

Muita yleisiä homologiateorian käsitteitä ovat homologia Abelin ryhmän kertoimien kanssa, avaruusparin suhteellinen homologia ja kohomologia , joiden määritelmät ovat jossain mielessä kaksijakoisia homologian kanssa. Kohomologiat otetaan usein huomioon, koska niissä esiintyy kertolaskua , mikä muuttaa ne arvostetuksi algebraksi . $H_{k}(X,A)$ $A$ $H_{k}(X,Y)$ $X\supset Y$ $H^{k}(X)$ $H^{k}(X)\otimes H^{l}(X)\to H^{k+l}(X)$

Kohomologioita kutsutaan myös invarianteiksi, jotka liittyvät muihin matemaattisiin objekteihin - ryhmiin , Lie-algebroihin , niveliin . Niitä yhdistää muodollinen samankaltaisuus – esimerkiksi ketjukompleksin homologian käsitteen läsnäolo heidän määritelmässään – ja joissakin tapauksissa sellaisten rakenteiden läsnäolo, jotka yhdistävät tällaiset objektit topologisiin tiloihin, joilla on sopiva homologia.

Yleinen määritelmä

Muista, että avaruuden -: s homotoopiaryhmä on joukko kartoituksia -ulotteisesta pallosta kohti , katsotaan jatkuvaan muodonmuutokseen asti . Homologian määrittämiseksi pallojen kartoitukset korvataan -syklillä, jotka esitetään intuitiivisesti suljettuina (eli ilman rajoja) orientoituneina dimensiokalvoina sisällä , mutta jotka on formalisoitu eri määritelmissä eri tavalla. Jatkuvan muodonmuutoskyvyn ehto korvataan ehdolla, että syklien ero (niiden liitto, jossa toinen otetaan vastakkaisella suunnalla) on orientoitunut sykliraja, jonka ulottuvuus on vielä yksi. $k$ $\pi _{k}(X)$ $X$ $k$ $X$ $H_{k}(X)$ $k$ $k$ $X$

Vakiomerkinnöissä -sykliryhmä on ( saksasta Zyklus - "sykli"), -boundary-ryhmä on ( englannin kielestä boundary - "raja") ja ilmaus "homologiat ovat syklejä rajoihin" kirjoitetaan seuraavasti $k$ $Z_{k}(X)$ $k$ $B_{k}(X)$

H_{k}(X)=Z_{k}(X)/B_{k}(X)

Tämän idean formalisoimiseksi on välttämätöntä määritellä tiukasti syklit ja niiden rajat, mikä johtaa joihinkin vaikeuksiin ulottuvuuden sykleissä [1] . Ratkaisuna on määritellä välikäsite -ketjuryhmästä , joka koostuu muodollisista lineaarisista mappausten yhdistelmistä joihinkin standardielementteihin valitusta rakenteesta riippuen. Standardielementin raja määritellään lineaariseksi yhdistelmäksi standardielementtejä, joiden ulottuvuus on yksi pienempi ja joissa on sopivat suuntaukset, mikä saa aikaan reunuskartoituksen . Sitten -syklit määritellään -ketjuiksi, joilla on nollaraja (jotta rajan yhtäläisyys nollaan olisi järkevää, on otettava paitsi positiivisten, myös standardielementtien lineaariset yhdistelmät ja määritettävä rajakartta merkillä). Siten syklit ovat ydin ja reunat ovat reunanäytön kuva : $k>2$ $k$ $C_{k}(X)$ $X$ $\partial _{k}:C_{k}(X)\to C_{k-1}(X)$ $k$ $k$

Z_{k}(X)=Ker(\osittais _{k}:C_{k}(X)\to C_{k-1}(X)),~~~~B_{k}(X) )=Im(\osittainen _{k+1}:C_{k+1}(X)\to C_{k}(X))

Ehto, että kaikki rajat ovat syklejä, on ketjukompleksiehdon muodossa : ja topologisen avaruuden homologia on tämän kompleksin homologia. $\partial _{k+1}\circ \partial _{k}=0$

Vakioelementtien ja reunanäytön valinta vaihtelee teorian mukaan. Singulaarisen homologian teoriassa tällaiset elementit ovat yksinkertaisia, ja rajakartta yhdistää simpleksin sen pintojen vuorottelevaan summaan. Yksinkertaisen homologian teoriassa yksinkertaisia komplekseja varten määriteltyjä ovat myös yksinkertaiset, mutta eivät kaikki, vaan ne sisältyvät valittuun yksinkertaiseen osioon. Solukompleksille määritellyssä soluhomologian teoriassa nämä ovat hyperpalloja sopivasta luurangosta, ja rajakartoitus on monimutkaisempaa.

Homologiset teoriat

Yksinkertainen homologia − Homologia määritellään hyvin yksinkertaisille avaruksille ( yksinkertaiset kompleksit ).

Ne määritellään melko yksinkertaisesti, mutta niiden muuttumattomuuden ja toiminnallisuuden todistaminen on melko vaikeaa.

Singulaarinen homologia on toinen Lefschetzin ehdottama homologiateoria . Niiden määrittely edellyttää työskentelyä äärettömien tilojen kanssa, mutta muuttumattomuus ja funktionaalisuus tulevat heti ilmeisiksi.

Cech -homologia on homologiateoria, joka soveltuu parhaiten työskentelemään patologisten tilojen kanssa.

Homologia kertoimien kanssa mielivaltaisissa ryhmissä

Homologioita voidaan määritellä sallimalla ketjujen yksinkertaisuuskertoimien olla minkä tahansa Abelin ryhmän elementtejä . Eli ryhmien sijaan harkitse ryhmiä . $G$ $C_{k}(X)$ $C_{k}(X)\otimes G$

Avaruuden homologiaryhmiä (yksinkertainen, yksikkö jne.), joiden kertoimet ovat ryhmässä , merkitään . Yleensä käytetään reaalilukujen ryhmää , rationaalilukua tai syklistä jäännösryhmää modulo - ja se otetaan yleensä - alkuluku numero on kenttä . $X$ $G$ $H_{k}(X;G).$ $\mathbb {R}$ $\mathbb {Q}$ $m$ $\mathbb {Z} _{m}$ $m = p$ $\mathbb {Z} _{p}$

Toinen kuvaus. Hakeminen kompleksiin $C_{*}(X)$

\ldots {\xleftarrow {}}C_{n-1}(X){\xleftarrow {}}C_{n}(X){\xleftarrow {}}C_{n+1}(X){\ xleftarrow {}}\ldots

Functor , saamme kompleksin $\cdot \otimes G$

\ldots {\xleftarrow {}}C_{n-1}(X)\otimes G{\xleftarrow {}}C_{n}(X)\otimes G{\xleftarrow {}}C_{n+1 }(X)\otimes G{\xleftarrow {}}\ldots

jonka homologia on homologia kertoimien kanssa . $G$

Kohomologia

Ketjujen lisäksi voit ottaa käyttöön käsitteen cochains - ketjujen vektoriavaruuden kartoittaminen ryhmään . Eli cochainien tilaa . $G$ $C^{k}(X)=\operaattorin nimi {Hom} (C_{k}(X),G)$

Rajaoperaattori määritetään kaavalla: (jossa ). Tällaiselle rajaoperaattorille meillä on myös $\delta ^{k}:C^{k}\to C^{k+1}$ $(\delta ^{k}x)(c)=x(d_{k+1}c)$ $x\in C^{k},\;c\in C_{k+1}$

\delta ^{k+1}\delta ^{k}=0

, nimittäin

(\delta ^{k+1}\delta ^{k}(x))(c)=\delta ^{k}x(d_{k+2}c)=x(d_{k+1}d_{ k+2}c)=x(0)=0

Siksi, kuten edellä sanottiin, voidaan ottaa käyttöön käsitteet cocycles , coboundaries ja cohomology . ${\displaystyle Z^{k}(X,G)=\operaattorinimi {Ker} \delta ^{k))$ $B^{k}(X,G)=\operaattorinimi {Im} \delta ^{k-1}$ $H^{k}(X,G)=Z^{k}(X,G)/B^{k}(X,G)$

Kohomologian käsite on kaksoiskäsite homologian käsitteen kanssa.

Jos on rengas , niin kohomologiaryhmässä määritellään luonnollinen kertolasku (Kolmogorov-Aleksanterin tulo tai -tulo), joka muuttaa tämän ryhmän asteittaiseksi renkaaksi , jota kutsutaan kohomologiarenkaaksi . $G$ $H^{*}(X,G)$ $\kuppi$

Tapauksessa, jossa on differentioituva monisto , kohomologiarengas voidaan laskea käyttämällä differentiaalimuotoja ( katso De Rhamin lause ). $X$ $H^{*}(X,\mathbb {R} )$ $X$

Kohomologian käsitteen esittelivät Alexander ja Kolmogorov .

Suhteellinen homologia ja tarkka homologiasekvenssi

Otetaan kahden topologisen avaruuden tapaus . Ryhmä ketjuja (ketjut voivat olla joko kokonaislukukertoimilla tai kertoimilla missä tahansa ryhmässä ). Suhteellisia ketjuja kutsutaan tekijäryhmän elementeiksi . Koska aliavaruuden homologiaryhmän rajaoperaattori kääntää , on mahdollista määrittää osamääräryhmän rajaoperaattori (merkitään samalla tavalla) . $Y\alajoukko X$ $C_{k}(Y)\alajoukko C_{k}(X)$ $G$ $C_{k}(X,Y)=C_{k}(X)/C_{k}(Y)$ $d$ $Y$ $d_{k}\kaksoispiste C_{k}(Y)\to C_{k-1}(Y)$ $C_{k}(X,Y)$ $d_{k}\kaksoispiste C_{k}(X,Y)\to C_{k-1}(X,Y)$

Niitä suhteellisia ketjuja, joihin rajaoperaattori muuntaa , kutsutaan suhteellisiksi silmukoiksi , ja ketjuja, jotka ovat sen arvoja, ovat suhteellisia rajoja . Koska absoluuttisissa ketjuissa sama pätee suhteellisiin ketjuihin, tästä eteenpäin . Tekijäryhmää kutsutaan suhteelliseksi homologiaryhmäksi . $0$ $Z_{k}(X,Y)$ $B_{k}(X,Y)$ $dd=0$ $B_{k}(X,Y)\alajoukko Z_{k}(X,Y)$ $H_{k}(X,Y)=Z_{k}(X,Y)/B_{k}(X,Y)$

Koska jokainen absoluuttinen sykli in on myös suhteellinen, meillä on homomorfismi Funktiaalisen ominaisuuden mukaan upottaminen johtaa homomorfismiin . $H_{k}(X)$ $j_{k}:H_{k}(X)\-H_{k}(X,Y)$ $i_{k}:Y\-X$ $i_{*}:H_{k}(Y)\to H_{k}(X)$

Voimme puolestaan rakentaa homomorfismin , jonka määrittelemme seuraavasti. Antaa olla suhteellinen ketju, joka määrittää syklin . Pidä sitä absoluuttisena ketjuna (elementteihin asti ). Koska tämä on suhteellinen sykli, se on yhtä suuri kuin nolla johonkin ketjuun asti . Asetamme yhtäläiseksi ketjun homologialuokan . $d_{*k}:H_{k}(X,Y)\-H_{k-1}(Y)$ $c_{k}\in C_{k}(X,Y)$ $H_{k}(X,Y)$ $C_{k}(X)$ $C_{k}(Y)$ $d_{k}c$ $c_{k-1}\in C_{k-1}(Y)$ $d_{*k}$ $c_{k-1}=d_{k}c\in Z_{k-1}(Y)$

Jos otamme toisen absoluuttisen ketjun, joka määrittää saman suhteellisen syklin, niin meillä on , Missä . Meillä on , mutta koska se on raja , ja määrittelemme saman elementin homologiaryhmässä . Jos otamme toisen suhteellisen syklin , joka antaa saman elementin suhteellisessa homologiaryhmässä , jossa on suhteellinen raja, niin koska suhteellisten homologioiden raja on , jossa , siis , mutta , ja on raja in . $c'_{k}\in C_{k}(X)$ $c=c'+u$ $u\in C_{k}(Y)$ $d_{k}c=d_{k}c'+d_{k}u$ $d_{k}u$ $Z_{k-1}(Y)$ $d_{k}c$ $d_{k}c'$ $H_{k-1}(Y)$ $c''$ $c=c''+b$ $b$ $b$ $b=d_{k+1}x+v$ $v\in C_{k}(Y)$ $d_{k}c=d_{k}c''+d_{k}d_{k+1}x+d_{k}v$ $dd=0$ $d_{k}v$ $Z_{k-1}(Y)$

Siksi homologialuokka on yksilöllisesti määritelty. Operaattorin lineaarisuudesta on selvää, että se on homomorfismi. Joten meillä on homomorfismit: $d_{*k}c_{k}$ $d_{*k}$

i_{*k}\kaksoispiste H_{k}(Y)\-H_{k}(X)

;

j_{*k}\kaksoispiste H_{k}(X)\-H_{k}(X,Y)

d_{*k}\kaksoispiste H_{k}(X,Y)\-H_{k-1}(Y)

;

...\H_{k}(Y)\H_{k}(X)\H_{k}(X,Y)\H_{k-1}(Y)\to...

Voidaan todistaa, että tämä sekvenssi on tarkka , eli minkä tahansa homomorfismin kuva on yhtä suuri kuin seuraavan homomorfismin ydin.

Steenrod-Eilenberg aksioomit

Jo tunteman yksinkertaisen ja singulaarisen homologian lisäksi on olemassa muita homologia- ja kohemologiateorioita, esimerkiksi soluhomologia , Alexandrov-Cech- kohomologia , de Rham-kohomologia jne. Steenrod ja Eilenberg määrittelivät teorialle aksioomijärjestelmän. (ko)homologiasta. Ensin he määrittelevät ns. sallittu topologisten avaruusparien luokka, joka täyttää seuraavat ominaisuudet: $D$

Jos sitten ja . $(X,Y)\in D,$ $(X,X)\in D,$ $(X,\varnothing )\in D,$ $(Y,Y)\in D$ $(Y,\varnothing )\in D$
Jos , niin ja , missä on suljettu väli [0,1]. ${\näyttötyyli (X,Y)\in D}$ ${\näyttötyyli (X\kertaa I, Y\kertaa I)\in D}$ $minä$
$(*,\varnothing )\in D$ , missä on yhden pisteen väli. $*$

Steenrod-Eilenberg-homologiateoriassa jokainen sallittu pari ja mikä tahansa kokonaisluku k vastaavat Abelin ryhmää ja jatkuva parien kartoitus homomorfismia (Avaruus tunnistetaan parilla ) ja kanssa ) ja seuraavat aksioomit pätevät : $H_{k}(X,Y)$ $f\kaksoispiste (X,Y)\to (X',Y')$ $f_{*k}\kaksoispiste H_{k}(X,Y)\-H_{k}(X',Y')$ $X$ $(X,\varnothing )$ $H_{k}(X)$ $H_{k}(X,\varnothing )$

Parin identiteettikartoitus vastaa identiteettihomomorfismia . $id$ ${\displaystyle id_{*k))$
$(gf)_{*k}=g_{*k}f_{*k}$ ( funktionaalinen )
Rajahomomorfismi määritellään , ja jos , niin vastaava homomorfismi on totta mille tahansa ulottuvuudelle . $d_{*k}\colon H_{k}(X,Y)\to H_{k-1}(Y)$ $f\kaksoispiste (X,Y)\to (X',Y')$ $f_{*k}\kaksoispiste H_{k}(X,Y)\-H_{k}(X',Y')$ $d_{*k}f_{*k}=f_{*k-1}d_{*k}$ $k$
Olkoon ja olla upotuksia, ja olla vastaavia homomorfismeja, olla rajahomomorfismia. Silloin niiden määrittelemä järjestys on tarkka ( tarkkuuden aksiooma ). $i\kaksoispiste Y\-X$ $j\kaksoispiste X\- (X,Y)$ $i_{*k}\kaksoispiste H_{k}(Y)\-H_{k}(X)$ $j_{*k}\kaksoispiste H_{k}(X)\-H_{k}(X,Y)$ $d_{*k}\kaksoispiste H_{k}(X,Y)\-H_{k-1}(Y)$
$?$
Jos kuvaukset ovat homotooppisia , vastaavat homomorfismit ovat yhtä suuret mille tahansa ulottuvuudelle ( homotopian invarianssin aksiooma ). $f,g\kaksoispiste (X,Y)\to (X',Y')$ $f_{*k}=g_{*k}$ $k$
Antaa olla avoin osajoukko , ja sen sulkeminen sisältyy joukon sisäpuolelle , niin jos parit ja kuuluvat hyväksyttävään luokkaan, niin minkä tahansa ulottuvuuden upotus vastaa isomorfismia ( leikkausaksiooma ). $U\alajoukko X$ $X$ $Y$ $(X\setminus U,Y\setminus U)$ $(X,Y)$ $k$ $(X\setminus U,Y\setminus U)\hookrightarrow (X,Y)$ $H_{k}(X\setminus U,Y\setminus U)\simeq H_{k}(X,Y)$
Yhden pisteen tila kaikille mitoille . Abelin ryhmää kutsutaan kertoimien ryhmäksi ( ulottuvuuden aksiooma ). $H_{k}(*)=0$ $k>0$ $G=H_{0}(*)$

Singulaarihomologiaa varten sallittu pariluokka koostuu kaikista topologisten avaruuksien pareista. Aiemmin määritellyt singulaarihomologiaryhmät, joiden kartoitusryhmässä on kertoimet ja rajahomomorfismi , täyttävät kaikki nämä aksioomit. Jos otamme polyhedrien luokan hyväksyttävänä luokkana, voimme todistaa, että tällä aksioomijärjestelmällä määritellyt homologiat ovat yhtäpitäviä yksinkertaisten kanssa. $G$ $d_{*}$

Samalla tavalla voimme ottaa käyttöön aksioomijärjestelmän kohemologialle, joka on täysin analoginen.

On vain syytä pitää mielessä, että kartoitus vastaa ( kontravarianssi ) ja että rinnakkaishomomorfismi lisää ulottuvuutta. $f\kaksoispiste (X,Y)\to (X',Y')$ $f^{*k}\kaksoispiste H^{k}(X',Y')\H^{k}(X,Y)$ $\delta ^{*k}\colon H^{k-1}(Y)\-H^{k}(X,Y)$

Poikkeuksellinen homologia

Steenrod-Eilenberg-aksioomien järjestelmässä ulottuvuusaksiooma ei ole yhtä tärkeä kuin muut.

(Ko)homologian teorioita, joissa voi olla nollasta poikkeavia (yhteis)homologiaryhmiä yhden pisteen dimensiotavaruudessa , kutsutaan satunnaisiksi tai yleistetyiksi. Tärkeimmät poikkeukselliset teoriat ovat Atiyahin K-teoria (on huomattava Hirzebruchin , Bottin ja Adamsin tärkeä panos tähän teoriaan ) ja R. Thoman bordismiteoria . $k>0$

Katso myös

Muistiinpanot

↑ 1 2 Fomenko, Fuchs, 1989 , s. 95.
↑ Hatcher, 2002 , s. 97.

Kirjallisuus

Wick J. W. Homologian teoria. Johdatus algebralliseen topologiaan. — M .: MTsNMO , 2005
Dold A. Luentoja algebrallisesta topologiasta. - M .: Mir, 1976
Dubrovin B. A., Novikov S. P., Fomenko A. T. Moderni geometria: Homologiateorian menetelmät. - M .: Nauka, 1984
Seifert G., Trefall W. Topology. - Iževsk: RHD, 2001
Lefshetz S. Algebrallinen topologia. - M .: IL, 1949
Novikov P.S. Topologia. - 2. painos oikea ja ylimääräistä - Izhevsk: Tietokonetutkimuslaitos, 2002
Prasolov VV Homologiateorian elementit. — M .: MTsNMO , 2006
Switzer R. M. Algebrallinen topologia. — homotopia ja homologia. - M .: Nauka, 1985
Spanier E. Algebrallinen topologia. - M .: Mir, 1971
Steenrod N., Eilenberg S. Algebrallisen topologian perusteet. - M .: Fizmatgiz, 1958
Fomenko AT , Fuchs DB Homotopian kurssi . - M .: Nauka, 1989. - 528 s. — ISBN 5020139297 .
Hatcher A. Algebrallinen topologia. - Cambridge University Press, 2002. -ISBN 0521795400.