Perusluokka

Perusluokka on orientoidun jakosarjan homologialuokka , joka vastaa "koko joukkoa" . Intuitiivisesti perusluokkaa voidaan pitää jakosarjan sopivan kolmiomittauksen maksimimitan yksinkertaisten summana .

Lajikkeen perusluokka on yleensä merkitty . $M$ ${\näyttötyyli [M]}$

Määritelmä

Suljettu suuntautuva jakotukki

Jos mittasarja on kytketty , suuntautuva ja suljettu , niin -. homologiaryhmä on ääretön syklinen : . Tässä tapauksessa jakosarjan suuntaus määräytyy ryhmän tai isomorfismin generoivan elementin valinnan mukaan . Pääelementtiä kutsutaan perusluokaksi . $M$ $n$ $n$ $H_{n}(M,\mathbb {Z} )\cong \mathbb {Z}$ $\mathbb {Z} \to H_{n}(M,\mathbb {Z} )$

Jos suuntautuva jakosarja irrotetaan, niin perusluokkana voidaan muodollisesti liittää kaikkien sen kytkettyjen komponenttien perusluokkien summa . Vertailu on muodollinen, koska tämä summa ei ole ryhmän generoiva elementti . ${\displaystyle M=\bigcup \limits _{i}M_{i))$ $\sum \limits _{i}[M_{i}]$ $Mi}$ $H_{n}(M,\mathbb {Z} )=\bigoplus \limits _{i}H_{n}(M_{i},\mathbb {Z} )=\mathbb {Z} \oplus \ pisteet \oplus \mathbb {Z}$

Ei-suuntautuva jakotukki

Ei-suuntautuvalle jakotukolle , jos ryhmä on kytketty ja suljettu, niin . Ryhmän generoivaa elementtiä kutsutaan ei- orientoituvan moniston perusluokiksi . $H_{n}(M;\mathbb {Z} )=0$ $M$ ${\displaystyle H_{n}(M;\mathbb {Z} _{2})=\mathbb {Z} _{2))$ $H_{n}(M;\mathbb {Z} _{2})$ $M$

${\mathbb {Z}}_{2}$ Jakotukin perusluokkaa käytetään Stiefel-Whitney-lukujen määrittelyssä .

Jakotukki rajalla

Jos on kompakti orientoituva monisto, jonka raja on , niin suhteellinen homologiaryhmä on ääretön syklinen : . Ryhmän generoivaa elementtiä kutsutaan rajallisen moniston perusluokiksi . $M$ $\osittainen M$ $n$ $H_{n}(M,\partial M)\cong \mathbb {Z}$ $H_{n}(M,\osittais M)$

Poincarén kaksinaisuus

Monistojen homologisen teorian päätulos on Poincarén kaksinaisuus moniston homologia- ja kohemologiaryhmien välillä. Vastaava Poincaren isomorfismi

D:H^{k}(M;\mathbb {Z} )\to H_{nk}(M;\mathbb {Z} )

(suuntautuneelle)

D:H^{k}(M;\mathbb {Z} _{2})\to H_{nk}(M;\mathbb {Z} _{2})

(ei suuntautuville)

jakotukki määritellään jakotukin vastaavan perusluokan mukaan:

D(\alpha )=[M]\kulmakarvat \alpha

jossa tarkoittaa homologia- ja kohemologialuokkien kertolaskua. $\ rypistää kulmiaan$ $\ rypistää kulmiaan$

Näyttöaste

Olkoon , yhdistetään samankokoiset suljetut suunnatut jakoputket. Jos on jatkuva kartta , niin $M$ $N$ $f:M\to N$

f_{\ast [M]=k[N]

missä on ( ryhmärenkaiden) indusoitu homomorfismi ja kartoitusaste . ${\displaystyle f_{\ast ))$ $f$ $k=\deg(f)$ $f$

Kirjallisuus

A.T. Fomenko, D.B. Fuchs . Homotopian topologian kurssi - M: Nauka, 1989.
A. Dold Luennot algebrallisesta topologiasta - M: Mir, 1976.