Stiefel-Whitney luokka

Stiefel-Whitney- luokka on erityinen ominaisuusluokka , joka vastaa todellista vektorinippua . Yleensä merkitty . Ottaa arvot in , kohomologiarenkaan kertoimilla in . $E\rightarrow X$ $w(E)$ $H^{*}(X;\;\mathbb {Z} _{2})$ $\mathbb {Z} _{2}=\mathbb {Z} /2\mathbb {Z}$

Kohomologian komponentti merkitään ja kutsutaan nipun Stiefel-Whitney-luokaksi , joten $w(E)$ $i$ $H^{i}(X;\;\mathbb {Z} _{2})$ $w_{i}(E)$ $i$ $E$

w(E)=w_{0}(E)+w_{1}(E)+w_{2}(E)+\ldots \,.

Luokat ovat esteitä : nnen runkoon rajatun lineaarisesti itsenäisen osan rakentamisessa . $w_{i}(E)$ $H^{i}(X;\;\mathbb {Z} _{2})$ ${\näyttötyyli (n-i+1)}$ $E$ $i$ $X$

Aksiomaattinen määritelmä

Tässä ja alla, tarkoittaa yksikön yksikkökohomologiaa kertoimilla ryhmässä . $H^{i}(X;\;G)$ $X$ $G$

Stiefel-Whitney-luokka määritellään kartoitukseksi, joka määrittää nipulle homologiarenkaan elementin siten, että seuraavat aksioomit pätevät: $E$ $w(E)$

Luonnollisuus :mille tahansa nipulle ja kartoitukselle, jossatarkoittaa vastaavaa indusoitua nippua. $w(f^{*}E)=f^{*}w(E)$ $E\to X$ $f:X'\to X$ $f^{*}E$ $X'$
$w_{0}(E)=1$ in . $H^{0}(X;\;\mathbb {Z} /2\mathbb {Z} )$
$w_{1}(\gamma ^{1})$ on generaattori (normalisointiehto). Tässä on tautologinen nippu . $H^{1}(\mathbb {R} P^{1};\;\mathbb {Z} /2\mathbb {Z} )\cong \mathbb {Z} /2\mathbb {Z}$ $\gamma ^{1}$
$w(E\oplus F)=w(E)\smallsmile w(F)$ ( Whitney-tuotekaava ).

Voidaan osoittaa, että luokkia, jotka täyttävät nämä aksioomit, on todella olemassa ja ne ovat ainutlaatuisia (ainakin parakompaktissa avaruudessa ) [1] $X$

Alkurakennus

E. Stiefel ja H. Whitney ehdottivat Stiefel-Whitney-luokkia 2 luokan modulovähennykseksi, jotka mittaavat esteitä th: nnen luurankoon rajatun lineaarisesti itsenäisen osan rakentamisessa . (Tässä on kuitukuidun mitat ). $w_{i}(E)$ ${\näyttötyyli (n-i+1)}$ $E$ $i$ $X$ $n$ $F$ $E$

Tarkemmin sanottuna, jos on CW - kompleksi , Whitney määritteli luokat solukohomologiaryhmässä epästandardeilla kertoimilla. $X$ $W_{i}(E)$ $i$ $X$

Kertoimiksi otetaan nimittäin kerroksen lineaarisesti riippumattomasta vektorista peräisin olevien joukkojen Stiefel- joukon -: s homotoopiaryhmä . Whitney osoitti, että hänen rakentamilleen luokille, jos ja vain jos -luurankoon rajoittuneella nipulla on lineaarisesti riippumaton osa. $(i-1)$ $V_{n-i+1}(F)$ $n-i+1$ $F$ $W_{i}(E)=0$ $E$ $i$ $X$ $n-i+1$

Koska Stiefel-lajikkeen homotooppiryhmä on aina joko äärettömän syklinen tai isomorfinen , tapahtuu luokkien kanoninen pelkistys luokiksi , joita kutsutaan Stiefel-Whitney-luokiksi . $\pi _{i-1}V_{n-i+1}(F)$ $\mathbb{Z } _{2}$ $W_{i}(E)$ $w_{i}(E)\in H^{i}(X;\;\mathbb {Z} _{2})$

Erityisesti jos , niin nämä luokat yksinkertaisesti ovat samat. ${\displaystyle \pi _{i-1}V_{n-i+1}(F)=\mathbb {Z} _{2))$

Aiheeseen liittyvät määritelmät

Jos työskentelemme ulottuvuuksien moninaisuuden parissa , mikä tahansa Stiefel-Whitney-luokkien yleinen tuote voidaan yhdistää tämän moniston -perusluokan kanssa , jolloin saadaan elementti ; tällaisia lukuja kutsutaan vektorinipun Stiefel-Whitney-luvuiksi . Esimerkiksi kolmiulotteisen jakoputken nipussa on kolme lineaarisesti riippumatonta Stiefel-Whitney-lukua, jotka vastaavat , ja . Yleisessä tapauksessa, jos jako on -ulotteinen, eri Stiefel-Whitney-luvut vastaavat osioita kokonaislukutermien summaksi. $n$ $n$ $\mathbb{Z } _{2}$ $\mathbb{Z } _{2}$ ${\displaystyle w_{1}^{3))$ ${\displaystyle w_{1}w_{2))$ ${\displaystyle w_{3))$ $n$ $n$
- Tasaisen jakosarjan tangenttikimmun Stiefel-Whitney-lukuja kutsutaan tämän jakosarjan Stiefel-Whitney-luvuiksi. Ne ovat kobordismin invariantteja .
Luonnollinen pelkistyskartta modulo two, , vastaa Bocksteinin homomorfismia ${\displaystyle \mathbb {Z} \to \mathbb {Z} _{2))$ $\beta \colon H^{i}(X;\;\mathbb {Z} _{2})\to H^{i+1}(X;\;\mathbb {Z} ).$

Toimintansa alaisen luokan kuvaa kutsutaan : nneksi kokonaisluku Stiefel-Whitney -luokaksi .

w_{i}

\beta w_{i}\in H^{i+1}(X;\;\mathbb {Z} )

(i+1)

Erityisesti kolmas kokonainen Stiefel-Whitney-luokka on esteenä rakenteen rakentamiselle . $\mathrm {Spin} ^{C}$

Ominaisuudet

Jos nipussa on osia, jotka ovat lineaarisesti riippumattomia kussakin pisteessä, niin . ${\näyttötyyli E^{k))$ ${\displaystyle s_{1},\;\ldots ,\;s_{\ell ))$ $w_{k-\ell +1}=\ldots =w_{k}=0$
$w_{i}(E)=0$ osoitteessa . $i>\mathrm {sijoitus} (E)$
Ensimmäinen Stiefel-Whitney-luokka katoaa, jos ja vain, jos nippu on suuntautuva. Erityisesti jakotukki on suunnattavissa silloin ja vain, jos . $M$ $w_{1}(TM)=0$
Kimppu sallii spinorirakenteen, jos ja vain jos ensimmäinen ja toinen Stiefel-Whitney-luokka katoavat.
Suuntautuvan nipun tapauksessa toinen Stiefel-Whitney-luokka on luonnollisen kartan kuvassa (tai vastaavasti ns. kolmas kokonaisluku Stiefel-Whitney-luokka häviää) jos ja vain jos nippu sallii -rakenteen. $H^{2}(M,\;\mathbb {Z} )\to H^{2}(M,\;\mathbb {Z} _{2})$ $\mathrm {Spin} ^{C}$
Kaikki sileän kompaktin jakotukin Stiefel-Whitney-luvut katoavat, jos ja vain, jos tämä jakotukki on tasaisen kompaktin jakotukin raja (suunnasta riippumatta). $X$

Kirjallisuus

Prasolov VV Homologiateorian elementit.
Husemoller D. Kuitupaketit. - Springer-Verlag, 1994.
Milnor J. , Stashev J. Tunnusomaiset luokat. - M . : Mir, 1979. - 371 s.

Muistiinpanot

↑ katso Hughesmollerin kirjan kohdat 3.5 ja 3.6 tai Milnor-Stashew'n osa 8.