Bordismi

Bordismi , myös bordismi - topologiatermi , jota käytetään yksinään tai osana standardifraaseja useissa toisiinsa liittyvissä merkityksissä, lähes kaikissa niistä bordismin sijaan ennen puhuttiin kobordismista , vanha terminologia myös säilytettiin.

Suuntautumattomat bordismit

Ohjaamattomat bordismit ovat bordismien yksinkertaisin muunnelma. Kaksi sileää suljetun ulottuvuuden jakoputkistoa ja ovat rajallisia (rajoitettuja tai sisäisesti homologisia), jos on olemassa tasainen kompaktiulotteinen jakoputkisto (kutsutaan kalvoksi ), jonka raja koostuu kahdesta jakoputkistosta ja , (tai tarkemmin sanottuna jakoputkista ja diffeomorfisesta vastaavasti, ja läpi jotkut diffeomorfismit ja ). Toistensa kanssa bordanttien monistojen joukkoa kutsutaan bordismiluokiksi ja kolmiosaa kutsutaan bordismiksi (oikeampaa olisi puhua viidestä ). $n$ $M$ $M'$ $(n+1)$ $W$ $M$ $M'$ $M_{0}$ $M_{1}$ $M$ $M'$ ${\displaystyle g_{0}\colon M\to M_{0))$ ${\displaystyle g_{1}\colon M'\to M_{1))$ $(W,\;M_{0},\;M_{1})$ $(W,\;M_{0},\;M_{1},\;g_{0},\;g_{1})$

-Dimensionaalisten monistojen bordismiluokkien joukko muodostaa suhteellisen irrallisen liiton Abelin ryhmän , jota kutsutaan bordismiryhmäksi . Nolla siinä on bordismien luokka, joka koostuu monista, jotka ovat jonkin moniston rajana (muut nimet: - rajaava monisto , - sisäisesti homologinen tai nollaan rajaava ). Tietylle bordismien luokalle käänteinen elementti on itse tämä luokka (koska kahden kopion liitto on diffeomorfinen suoratulon rajaan nähden ). Ryhmien suora summa on kommutatiivinen asteittainen rengas , jonka kertolasku indusoituu monistojen suoratulolla , jonka yksikön antaa pisteen bordismiluokka. $n$ $\Omega _{n}^{O}$ $M$ $M$ $\Omega _{n}^{O}$ $M$ $M\times [0,\;1]$ $\Omega _{*}^{O}$ $\Omega _{n}^{O}$

Bordismit lisärakenteella

Oriented bordisms

Orientoidut bordismit ovat yksinkertaisin tyyppi sileistä suljetuista jakoputkista, joissa on lisärakenne. Kaksi suunnattua jakoputkea ja ovat suunnattuja reunusti , jos ne ovat reunusti entisessä merkityksessä, ja kalvo on suunnattu, ja (entisessä merkinnässä) suuntauksen aiheuttama orientaatio ja (kuten rajan osissa) kulkee diffeomorfismien ja , vastaavasti alkuperäiseen suuntaukseen ja alkuperäiseen suuntaukseen vastakkaiseen suuntaan . Vastaavasti otetaan käyttöön suuntautuneiden bordismien ryhmät ja rengas . $M$ $M'$ $W$ $W$ $M_{0}$ $M_{1}$ $g_{0}$ $g_{1}$ $M$ $M'$ $\Omega _{n}^{O}$ $\Omega _{*}^{O}$ $\Omega _{n}^{SO}$ $\Omega _{*}^{SO}$

Muut vaihtoehdot

Muita monimutkaisten monistojen bordismia, joilla on lisärakenne, ovat erittäin tärkeät kvasikompleksisten monistojen bordismit (kutsutaan myös unitaarisiksi bordismeiksi), ne monistojen bordismit, joihin joukko muunnoksia vaikuttaa, ovat bordismeja. Löytyy myös hieman erilaisia muunnelmia kappaleittain lineaarisille tai topologisille monille, Poincarén komplekseille jne. Erityinen asema on foliaatiobordismilla ja -bordismilla (aiemmin -ekvivalenssit ); jälkimmäiset yhdistävät differentiaali- ja homotopiatopologian. $\mathrm {Spin}$ $J$

Ominaisuudet

Kaksi jakosarjaa ovat rajallisia, jos ja vain, jos niillä on samat tunnusluvut ( Stiefel-Whitney-luvut suuntautumattomassa tapauksessa ja Stiefel-Whitney- luvut ja Pontryagin-luvut suuntautuvassa tapauksessa ).

Historia

Ensimmäinen esimerkki on Pontryaginin vuonna 1938 käyttöön ottama kehystettyjen monimutkaisten bordismi , joka osoitti näiden bordismien luokittelun vastaavan pallojen homotopiaryhmien laskemista ja pystyi tällä tavoin löytämään ja . Suuntautumattomat ja suuntautuneet bordismit esitteli vuosina 1951-53 Rokhlin , joka laski . Pontryagin osoitti, että jos kaksi jakosarjaa ovat rajallisia, niillä on samat tunnusluvut . Myöhemmin kävi ilmi, että myös päinvastoin on totta. $\pi _{i}(S^{n})$ $\pi _{n+1}(S^{n})$ $\pi _{n+2}(S^{n})$ $\Omega _{n}^{SO}$ $n\leqslant 4$

Kirjallisuus

Milnor J., Wallace A. Differentiaalitopologia / Per. englannista. - M .: Mir, 1972. - 280 s.

Katso myös

$h$ - kobordismi