Homotopyiset palloryhmät

Homotopian sfääriryhmät ovat yksi algebrallisen topologian alan homotopiateorian tärkeimmistä tutkimuskohteista . Homotopiset palloryhmät luokittelevat kartoituksia korkeampiulotteisten pallojen välillä jatkuvaan muodonmuutokseen asti. Sfäärien homotopiaryhmät ovat diskreettejä algebrallisia objekteja, nimittäin äärellisesti generoituja Abelin ryhmiä . Vaikka äärellisesti generoitujen Abelin ryhmien luokittelu on hyvin yksinkertainen, pallojen homotopiaryhmien tarkkaa rakennetta ei täysin tunneta.

Niiden löytäminen oli yksi tärkeimmistä suunnasta topologian ja yleensä matematiikan kehityksessä 1950- ja 60-luvuilla aina yleistettyjen kohemologiateorioiden luomiseen asti . [1] Syynä tähän oli sekä se tosiasia, että pallojen homotopiaryhmät ovat topologisia perusinvariantteja , joiden ymmärtäminen johtaa parempaan ymmärrykseen topologisista avaruksista yleensä, että suuren määrän monimutkaisia säännönmukaisuuksia niiden rakenteessa. . Tuloksena oli sekä joidenkin yleisten säännönmukaisuuksien, kuten pallojen stabiilien homotopian ryhmien ja J-homomorfismin löytäminen, että ryhmien laskeminen pienille parametriarvoille.

Epävirallinen esittely

Moniulotteinen ulottuvuuspallo on topologinen avaruus , joka voidaan esittää -ulotteisen euklidisen avaruuden pisteiden lokuksena, joka on kaukana koordinaattien origosta 1 :n etäisyydellä. Erityisesti on ympyrä ja tavallinen kaksi- ulottuva pallo . $S^{n}$ $n$ $(n+1)$ $S^{1}$ $S^{2}$

Jos on mikä tahansa topologinen avaruus, jossa on merkitty piste , niin sen -: s homotooppiryhmä on joukko kartoituksia pisteestä - , joka on huomioitu homotopioihin eli jatkuviin häiriöihin asti, joiden lisäksi on säilytettävä merkitty piste. Erityisesti on perusryhmä , eli suljettujen polkujen ryhmä topologisessa avaruudessa kokoonpanooperaatiolla . Moniulotteisessa tapauksessa tämä joukko voidaan varustaa myös ryhmärakenteella, kun taas, toisin kuin perusryhmä, ryhmä on kommutatiivinen . $X$ $x$ $i$ $\pi _{i}(X)$ $S^{i}$ $X$ $yksi$ $x$ $\pi _{1}(X)$ $i\geqslant 2$ $\pi _{i}(X)$

Mikä tahansa kartoitus alemman ulottuvuuden pallolta korkeamman ulottuvuuden palloon voidaan supistaa pisteeseen, joten ryhmät kohdassa . Kuitenkin jo ympyrän perusryhmä on ääretön syklinen ryhmä . Sen elementit, eli kartoitukset ympyrästä itsestään homotopiaan, määritellään yksiselitteisesti ympyrän kuvan kierrosten lukumäärällä sen keskustan ympärillä, ja polkuja muodostettaessa kierrosten lukumäärät lasketaan yhteen. Kuten yksiulotteisessa tapauksessa, -ulotteiselta sfääriltä itseensä kohdistuvien kuvausten homotopiaryhmä on äärettömän syklinen. Ryhmän rakenne ei kuitenkaan ole intuitiivisesti ilmeinen: se syntyy Hopf-kuidusta . $\pi _{i}(S^{n})=0$ $i<n$ $\pi _{1}(S^{1})\simeq \mathbb {Z}$ $S^{1}$ $n$ $\pi _{n}(S^{n})\simeq \mathbb {Z}$ $\pi _{3}(S^{2})$

Pienet arvot

	π 1	π 2	π 3	π 4	π 5	π6 _	π 7	π 8	π9 _	π 10	π 11	π 12	π 13	π 14	π 15	pi 16
S1_ _	Z	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0
S2_ _	0	Z	Z	Z2_ _	Z2_ _	Z12_ _	Z2_ _	Z2_ _	Z3_ _	Z15_ _	Z2_ _	Z 2 2	Z 12 × Z 2	Z 84 × Z 2 2	Z 2 2	Z6_ _
S3_ _	0	0	Z	Z2_ _	Z2_ _	Z12_ _	Z2_ _	Z2_ _	Z3_ _	Z15_ _	Z2_ _	Z 2 2	Z 12 × Z 2	Z 84 × Z 2 2	Z 2 2	Z6_ _
S4_ _	0	0	0	Z	Z2_ _	Z2_ _	Z × Z 12	Z 2 2	Z 2 2	Z 24 × Z 3	Z15_ _	Z2_ _	Z 2 3	Z 120 × Z 12 × Z 2	Z 84 × Z 2 5	Z26 _ _
S5_ _	0	0	0	0	Z	Z2_ _	Z2_ _	Z24_ _	Z2_ _	Z2_ _	Z2_ _	Z 30	Z2_ _	Z 2 3	Z 72 × Z 2	Z 504 x Z 2 2
S6_ _	0	0	0	0	0	Z	Z2_ _	Z2_ _	Z24_ _	0	Z	Z2_ _	Z60_ _	Z 24 × Z 2	Z 2 3	Z 72 x Z 2
S7_ _	0	0	0	0	0	0	Z	Z2_ _	Z2_ _	Z24_ _	0	0	Z2_ _	Z 120	Z 2 3	Z 2 4
S8_ _	0	0	0	0	0	0	0	Z	Z2_ _	Z2_ _	Z24_ _	0	0	Z2_ _	Z × Z 120	Z 2 4

Muistiinpanot

↑ D.B. Fuks. Sfäärien homotopiaryhmät (englanniksi) . Matematiikan tietosanakirja. Haettu 5. marraskuuta 2017. Arkistoitu alkuperäisestä 8. marraskuuta 2017.

Kirjallisuus

Fomenko A. T. , Fuchs D. B. Homotopian topologian kurssi. - M .: Nauka , 1989.
Hatcher, Allen. Algebrallinen topologia . - Cambridge University Press , 2002. - ISBN 978-0-521-79540-1 .