Hopf nippu

Hopf -kuitu on esimerkki kolmiulotteisen pallon paikallisesti triviaalista fibroinnista kaksiulotteisen pallon päälle, jossa on kerrosympyrä:

S^{1}\hookrightarrow S^{3}{\xrightarrow {\p\,}}S^{2}

Hopf-nippu ei ole triviaali. Se on myös tärkeä esimerkki pääpaketista .

Yksi yksinkertaisimmista tavoista määrittää tämä nippu on esittää 3-palloa yksikköpallona ja 2-palloa kompleksisena projektiiviviivana . Sitten näyttö: $S^{3}$ $\mathbb {C} ^{2}$ $S^{2}$ $\mathbb {C} P^{1}$

p:(z_{1},z_{2})\mapsto (z_{1}:z_{2})

ja määrittelee Hopf-nipun. Tässä tapauksessa nipun kuidut ovat ryhmän vapaan toiminnan kiertoradat : $S^{1}$

\theta :(z_{1},z_{2})\mapsto (\theta z_{1},\theta z_{2})

jossa ympyrä esitetään modulokompleksilukujen joukkona:

{\displaystyle S^{1}=\{\theta \mid \theta \in \mathbb {C} ,\,|\theta |=1\))

Yleistykset

Aivan samalla tavalla pariton ulottuvuus pallo kerrostetaan kerrosympyrällä . Joskus tätä nippua kutsutaan myös Hopf-nipuksi. $S^{2n+1}$ $\mathbb {C} P^{n}$

Myös (" kompleksin " lisäksi) tällaisista nippuperheistä on olemassa todellisia , kvaternio- ja oktaaviversioita . Ne alkavat seuraavasti:

{\displaystyle S^{0}\hookrightarrow S^{1}\rightarrow S^{1))

(todellinen),

S^{1}\hookrightarrow S^{3}\rightarrow S^{2}

(kompleksi - oikea Hopf-kuitu),

{\displaystyle S^{3}\hookrightarrow S^{7}\rightarrow S^{4))

(neljännes),

S^{7}\hookrightarrow S^{15}\rightarrow S^{8}

(oktaavi).

Sellaiset pallon niput , joissa sekä kerros, pohja että koko tila ovat palloja, ovat mahdollisia vain tapauksissa . Näiden tapausten yksinoikeus johtuu siitä, että kertolasku ilman nollajakajia voidaan määrittää vain :lle . $S^{n}$ ${\näyttötyyli n\in \{1,3,7,15\))$ $\mathbb {R} ^{n}$ ${\displaystyle n\in \{1,2,4,8\))$

Katso myös

Riemannin pallo on monimutkainen projektioviiva, Hopf-nipun kantajako
Yksikköryhmä U(1) on Hopf-nipun rakenneryhmä
Kolmiulotteinen pallo - Hopf-kuidun kokonaistila
Poincarén pallo ja Blochin pallo – fysiikan Hopf-kimppu kuvaa poikittaisen aallon polarisaatiota, kaksitasoisen kvanttijärjestelmän tilaa, taivaanpallon relativistista vääristymää ja niin edelleen [1] [2]
Milnorin pallo

Muistiinpanot

↑ R. Penrose, W. Rindler. Spinorit ja aika-avaruus, spinori- ja twistor-menetelmät tila-aikageometriassa . - Moskova "Mir", 1988. - S. 78. (Venäjän kieli) Arkistoitu kopio (linkki ei ole käytettävissä) . Käyttöpäivä: 1. helmikuuta 2012. Arkistoitu alkuperäisestä 3. lokakuuta 2015. (määrätön)
↑ D.N. Klyshko. Marjan geometrinen vaihe värähtelyprosesseissa // Uspekhi fizicheskikh nauk : zhurnal. - Venäjän tiedeakatemia , 1993. - T. 163 , nro 11 . - S. 1 . (Venäjän kieli)

Hopf nippu

Yleistykset

Katso myös

Muistiinpanot

Linkit