J-homomorfismi

J - homomorfismi on homomorfismia erityisten ortogonaalisten ryhmien homotopiaryhmistä pallojen homotopiaryhmiin . George Whitehead määrittelisen yleistyksenä Heinz Hopfin rakenteesta , joka rakensi tämän homomorfismin tapaukselle. $\pi _{r}(\mathrm {SO} (q))$ $r=q+1$

Rakentaminen

J-homomorfismi on Abelin ryhmien homomorfismia

J\colon \pi _{r}(\mathrm {SO} (q))\to \pi _{r+q}(\mathbb {S} ^{q}),

määritelty kaikille kokonaisluvuille . $r,q\geqslant 2$

Erityinen ortogonaaliryhmän elementti voidaan katsoa kartoitus $\mathrm {SO} (q)$

\mathbb {S} ^{q-1}\rightarrow \mathbb {S} ^{q-1}.

Siten homotopiaryhmän elementit liittyvät kartoituksen homotopialuokkaan $\pi _{r}(\mathrm {SO} (q))$

\mathbb {S} ^{r}\times \mathbb {S} ^{q-1}\rightarrow \mathbb {S} ^{q-1}.

Hopf-konstruktion soveltaminen tähän antaa kartoituksen

\mathbb {S} ^{r+q}=\mathbb {S} ^{r}*\mathbb {S} ^{q-1}\rightarrow S(\mathbb {S} ^{q-1 })=\mathbb {S} ^{q},

jonka homotoopialuokka on tämän elementin kuva J -homomorfismin alla.