Foliaatio

Foliaatio on topologiassa geometrinen rakenne : jakosarjan sanotaan saavan dimensioiden foliaatiota , jos jakoputkisto "leikataan" (yhtenäisellä tavalla kunkin pisteen ympäriltä) ulottuvuuksiksi " kerroksiksi " . $s$ $s$

Tutkituimmat ovat yksiulotteisia foliaatioita, jotka syntyvät ei-singulaaristen vektorikenttien liikeradalla monistossa , ja foliaatioita, jotka ovat koodimension 1 .

Foliation käsite syntyy luonnollisesti muun muassa dynaamisten järjestelmien teoriassa : esimerkiksi hyperbolisissa dynaamisissa järjestelmissä on stabiileja ja epästabiileja foliaatioita.

Muodollinen määritelmä

Sanomme, että -ulotteinen foliaatio on annettu -ulotteisessa monistossa , jos monisto on peitetty kaavioilla vastaavilla koordinaattimappauksilla $n$ $M$ $s$ $U_{i}$

\varphi _{i}=(x_{i},\;t_{i})\colon U_{i}\to D^{p}\times D^{{np}},

siten, että uudelleenliimauskartoilla on muoto

\varphi _{i}\circ \varphi _{j}^{{-1}}(x,\;t)=(F_{{ij}}(x,\;t),\;T_{{ij }}(t)).

Toisin sanoen uudelleenliimauksen aikana toinen ("poikittais") koordinaatti määräytyy vain toisen koordinaatin mukaan.

Tässä tapauksessa relaatiolla generoitua ekvivalenssisuhdetta tarkastellaan , jos jossakin kartassa pisteiden ja toiset koordinaatit ovat samat. Pisteen ekvivalenssiluokkaa kutsutaan sitten pisteen läpi kulkevaksi kuiduksi . $p\sim p'$ $s$ $p'$ $s$ $s$

Lisäksi, jos valitut kartat eivät kata jotakin (yleensä äärellistä ja aina vähintään 2 koodiulotteista) pistejoukkoa, sanotaan, että annetaan erityinen foliaatio (tai foliaatio, jolla on singulaarisuus ), ja näitä pisteitä kutsutaan singulaariksi . lehtien kohdat .

Esimerkkejä

Moniston jakaminen ei-singulaarisen vektorikentän liikeradalle määrittää sille yksiulotteisen foliation.
Mikä tahansa (paikallisesti triviaali) nippu on automaattisesti nippu.
Jos jakotukin perusryhmän vaikutus jakotukkiin annetaan , $M$ $N$

h\colon \pi _{1}(M)\to {\mathrm {Diff}}(N),

sitten siitä rakennetaan päällysrakenne , foliaatio, jonka holonomiakartoitusten dynamiikka mallintaa tätä toimintaa. Nimittäin yleisen päällystyksen karteesinen tulo ja , jakoputki , jossa on "vaakasuora" foliaatio, on kerrottu perusryhmän "diagonaalisella" toiminnalla: $M$ $N$ ${\tilde {M}}\times N$

\gamma (x,\;y)=(\gamma .x,\;h(\gamma )(y)).

Koska tämä toimenpide säilyttää vaakasuuntaisen kalvon, tämä foliaatio putoaa kertoimella antaen halutun suspension.

$s$ - muoto , joka täyttää Frobenius-kriteerin tasokentän integroitavuudelle jakosarjan kussakin pisteessä , määrittää tämän jakosarjan -ulotteisen foliation; $s$
polynomivektorikenttä in määrittelee erityisen kaksiulotteisen foliation. $\mathbb {C} ^{n}$

Lehvityksen tangentit ja normaalit niput

Leveyden kokonaisjoukon tangenttikimppu sisältää alikimpun , jonka vektorit tangentit kerroksiin, on foliation tangenttikimppu . Vastaavaa tekijäkimppua kutsutaan foliation normaaliksi nipuksi .

Leveyttä kutsutaan suuntautuneeksi , jos sen normaali nippu on suunnattu. Huomaa, että koko jakoputken tai orientoidun foliation kuitujen ei tarvitse olla ainakaan suuntautuvia .

Lehdistöä kutsutaan kehystetyksi , jos sen normaali nippu on triviaali ja jolla on tietty trivialisaatio .

Ominaisuudet

Novikovin lause sanoo, että jokaisessa kolmiulotteisen pallon kaksiulotteisessa foliaatiossa on tiivis kuitu.
Haefligerin argumentti osoittaa, että jokaista ei-tiivistä lehteä koodaimen foliation yksi kompaktissa monistoputkessa on ympyrä poikittainen foliation suhteen, joka leikkaa tämän lehden.

Katso myös

Koodimension foliaatio 1
Riba-lehtiö
Frobenius-kriteeri tasokentän integroitavuudelle.
Jakauma , joka määrittää foliation

Kirjallisuus

Tamura I. Foliaatioiden topologia. - M: Mir, 1979.
Fuks D. B. Foliations // Itogi nauki i tekhniki. Ser. Algebra. Poppeli. Geom., 18, VINITI, Moskova, 1981, s. 151-213.

Linkit

Weisstein, Eric W. Foliation (englanniksi) Wolfram MathWorld -verkkosivustolla .
Fuchs D. B. Lehdistöjen tyypilliset luokat . - UMN , 28 : 2 (170) (1973), s. 3-17.