Ryhmätoimintaa

Kokeneet kirjoittajat eivät ole vielä tarkistaneet sivun nykyistä versiota, ja se voi poiketa merkittävästi 15. huhtikuuta 2022 tarkistetusta versiosta . tarkastukset vaativat 4 muokkausta .

Ryhmän toiminta tiettyyn objektijoukkoon mahdollistaa näiden objektien symmetrioiden tutkimisen ryhmäteorian laitteistolla .

Määritelmät

Toimenpide jäljellä

Ryhmän sanotaan toimivan joukossa vasemmalta , jos annetaan homomorfismi ryhmästä joukon symmetriseen ryhmään . Lyhyyden vuoksi se kirjoitetaan usein muodossa tai . Ryhmän elementtejä kutsutaan tässä tapauksessa muunnoksiksi ja itse ryhmää kutsutaan joukkomuunnosryhmäksi . $G$ $M$ $\Phi \kaksoispiste G\S(M)$ $G$ $S(M)$ $M$ $(\Phi (g)) (m)$ $gm$ $g\cdot m$ $g{.}m$ $G$ $G$ $M$

Toisin sanoen ryhmä toimii joukossa vasemmalta, jos on annettu kartoitus , jota merkitään , niin että $G$ $M$ $G\ kertaa M\–M$ $(g,m) = gm$

$(gh)m=g(hm)$ kaikille ja _ $g,\;h\in G$ $m\in M$
$em=m$ , missä on ryhmän neutraali elementti . Voidaan sanoa, että ryhmän yksikkö vastaa jokaista omaa elementtiään; tällaista muutosta kutsutaan identtiseksi . $e$ $G$ $M$

Toimi oikein

Vastaavasti ryhmän oikean toiminnan antaa homomorfismi , jossa on ryhmän käänteisryhmä . Tässä tapauksessa käytetään usein lyhennettä: . Tässä tapauksessa homomorfismin aksioomit kirjoitetaan seuraavasti: $G$ $M$ $\rho :G^{op}\to S(M)$ $G^{{op}}$ $G$ $\rho (g)(m)=:mg$

$m(gh)=(mg)h,$
$minä=m.$

Kommentit

Mikä tahansa ryhmän oikea toiminta on vasenta toimintaa . Lisäksi, koska jokainen ryhmä on isomorfinen käänteisryhmälleen (esimerkiksi kartoitus on isomorfismi ), niin jokaisesta oikeasta toiminnosta on mahdollista saada vasen toiminto käyttämällä tällaista isomorfiaa. Siksi yleensä tutkitaan vain vasenta toimintaa. $G$ $G^{{op}}$ $g\mapsto g^{-1}$
Jos joukkoon on lisätty jokin lisärakenne, niin yleensä oletetaan, että kartoitus säilyttää tämän rakenteen. $M$ $m\mapsto gm$
- Esimerkiksi, jos on topologinen avaruus , sen oletetaan olevan jatkuva (siis homeomorfismi). Tällaista ryhmätoimintaa kutsutaan tarkemmin jatkuvaksi toiminnaksi . $M$ $m\mapsto gm$

Toimintotyypit

Ilmainen , jos erilainen ja kaikki on tyytyväinen . $g,\;h\in G$ $m\in M$ $gm\neq hm$
Transitiivinen jos jollekin on olemassa sellainen, että . Toisin sanoen toiminto on transitiivinen jollekin elementille . $m,\;n\in M$ $g\in G$ $gm=n$ $Gm = M$ $m\in M$
- Primitiivinen toiminta on transitiivinen, eikä se säilytä ei-triviaaleja osajoukkoja . $M$
Tehokas , jos kahdelle elementille on olemassa sellainen, että . $g\neq h$ $G$ $m\in M$ $gm\neq hm$
Täysin epäjatkuva , jos minkä tahansa kompaktin joukon kaikkien , joiden leikkauspiste on ei-tyhjä, joukko on äärellinen. $K$ $g\in G$ $K\cap gK$

Topologisilla avaruuksilla ja sileillä monikerroksilla huomioidaan erityisesti myös vastaavilla lisärakenteilla varustettujen ryhmien toiminta: topologiset ryhmät ja Lie-ryhmät . Topologisen ryhmän toiminnan topologisessa avaruudessa sanotaan jatkuvaksi , jos se on jatkuva topologisten avaruuksien kartoituksena. Lie - ryhmän tasainen toiminta tasaisella jakosarjalla määritellään samalla tavalla . $\rho :G\to \mathrm {X}$

Ryhmän jatkuva toiminta avaruudessa on jäykkä (tai kvasi -analyyttinen ), jos se tosiasia, että jokin ryhmän elementti toimii identtisenä kuvauksena jossain tilan avoimessa osajoukossa, viittaa siihen, että tämä on ryhmän identiteettielementti.
- Mikä tahansa tehokas jatkuva isometrien toiminta yhdistetylle Riemannin monistolle on välttämättä jäykkää, mitä ei voida sanoa yleisistä metriavaroista. Esimerkiksi 2-kertaisen syklisen ryhmän toiminta permutoimalla kaksi reunaa graafissa, joka muodostuu kolmesta samasta pisteestä tulevasta reunasta, on tehokas mutta ei jäykkä.
Ryhmän jatkuvan toiminnan sanotaan olevan kokompaktinen , jos tämän toiminnan osamääräavaruus on kompakti.

Radat

Osajoukko

Gm=\{gm\mid g\in G\}\alajoukko M

kutsutaan elementin kiertoradalle (joskus merkitään ). $m\in M$ $\mathrm {Orb} (m)$

Ryhmän toiminta joukkoon määrittää sille ekvivalenssisuhteen $G$ $M$

\forall n,\;m\in M\;(n\,\sim _{_{G}}\,m)\Pitkävasenoikeanuoli (\olemassa g\in G\;:\;gn=m)\Longleftrightarrow ( Gn = Gm).

Tässä tapauksessa ekvivalenssiluokat ovat elementtien kiertoradat. Siksi, jos ekvivalenssiluokkien kokonaismäärä on , niin $k$

M=Gm_{1}\sqcup Gm_{2}\sqcup \ldots \sqcup Gm_{k},

missä ovat pareittain epäekvivalentteja. Transitiivista toimintaa varten . $m_{1},\;m_{2},\;\ldots ,\;m_{k}\in M$ $k = 1$

Stabilisaattorit

Osajoukko

G_{m}=\{g\in G\mid gm=m\}\subset G

on ryhmän alaryhmä ja sitä kutsutaan stabilisaattoriksi tai elementin kiinteäksi alaryhmäksi (joskus kutsutaan nimellä ). $G$ $m\in M$ $\mathrm {Stab} (m)$

Yhden kiertoradan elementtien stabiloijat ovat konjugoituja, eli jos , niin on elementti , joka $n\,\sim _{_{G}}\,m$ $g\in G$

G_{m}=gG_{n}g^{-1}.

Elementtien lukumäärä kiertoradalla

|Gm|=[G:G_{m}]

, on alkion stabiloija ja alaryhmän indeksi , äärellisten ryhmien tapauksessa se on yhtä suuri kuin .

G_{m}

m

[G:G_{m}]

G_{m}\subset G

{\frac {|G|}{|G_{m}|}}

Radan mitta voidaan laskea seuraavasti:

\dim |Gm|=\dim |G|-\dim |G_{m}|

, missä

$\dim |Gm|$ yksittäisen kiertoradan mitat,

\dim |G_{m}|

stabilisaattorin ulottuvuus, Lie-ryhmän mitat.

\dim |G|

Jos , niin $M=Gm_{1}\sqcup Gm_{2}\sqcup \ldots \sqcup Gm_{k}$

|M|=\summa _{t=1}^{k}[G:G_{m_{t}}]

on laajennuskaava kiertoradalle .

Tämä kaava sisältää myös seuraavat identiteetit:

$\forall m\in M\;\sum _{n\in Gm}|G_{n}|=|G|;$
$\sum _{m\in M}|G_{m}|=k|G|;$
Burnsiden lemma .

Esimerkkejä toiminnoista

Self Actions

Vasen

Vasemmalla oleva toiminta itseäsi kohtaan on yksinkertaisin esimerkki toiminnasta. Tässä tapauksessa ja homomorfismi annetaan muodossa . $M = G$ $\Phi :G\to S(G)$ $(\Phi (g))(h)=gh$

Oikea

Oikealla oleva itseään koskeva toiminta määritellään samalla tavalla: . $(\Phi (g))(h)=hg^{-1}$

Vasen ja oikea

Nämä kaksi toimintoa ovat suoran tuotteen alaryhmien toimintoja :n antaman homomorfismin kanssa . $G\ kertaa G$ $M = G$ $\Phi :G\times G\to S(G)$ $(\Phi (g_{1},\;g_{2}))(h)=g_{1}hg_{2}^{-1}$

Konjugaatiot

Antaa , ja homomorfismi annetaan muodossa . Lisäksi kunkin elementin stabilisaattori on sama kuin keskittäjä : $M = G$ $\Phi :G\to S(G)$ $(\Phi (g))(h)=ghg^{-1}$ $h\in G$ $G_{h}$ $C(h)$

G_{h}=\{g\in G\mid ghg^{-1}=h\}=\{g\in G\mid gh=hg\}=C(h).

Esimerkiksi elementille ryhmän keskustasta ( eli ) meillä on ja . $h$ $G$ $h\in Z(G)$ $C(h) = G$ $G_{h}=G$

Muunnelmia ja yleistyksiä

Muunna pseudoryhmä

Katso myös

Ryhmänäkymä

Kirjallisuus

Vinberg, E. B. Algebra-kurssi. - 3. painos - M . : Factorial Press Publishing House, 2002. - ISBN 5-88688-0607 . .
Kostrikin, A. I. Johdatus algebraan. Osa III. Perusrakenteet. - 3. painos - M. : FIZMATLIT, 2004. - 272 s. - ISBN 5-9221-0489-6 . .