Arvioitu algebra

Lajiteltu algebra on algebra , joka on jaettu aliavaruuksiensa suoraksi summaksi siten, että ehto täyttyy . [1] [2] ${\textstyle A}$ ${\textstyle A=\bigoplus _{r=-\infty }^{\infty }A_{r))$ ${\näyttötyyli A_{r))$ ${\textstyle A_{r}A_{s}\subset A_{r+s}\ (r,s\in \mathbb {Z} )}$

Määritelmä

Olkoon A algebra renkaan k yli , G puoliryhmä .

Algebraa A kutsutaan G - asteitukseksi (synonyymi: G - arvosana on annettu A: lla ), jos A hajoaa k -moduulien suoraksi summaksi kaikkien G :n elementtien g yli ja kertominen algebrassa on yhdenmukainen kertolaskulla puoliryhmässä: $A_{g}$

{\displaystyle A_{f}A_{g}\subset A_{fg))

Jos nollasta poikkeava alkio a kuuluu , niin sitä kutsutaan homogeeniseksi asteella g . $A_{g}$

Kun G otetaan kokonaislukujen additiivinen ryhmä tai ei-negatiivisten kokonaislukujen puoliryhmä, algebran A sanotaan olevan yksinkertaisesti arvosteltu.

Jos otamme renkaan A :na yllä olevassa määritelmässä , niin saadaan arvostetun renkaan määritelmä .

Rakennukset gradaatioineen

Jos A on G -luokkainen algebra ja a on puoliryhmähomomorfismi , niin A : lla on H - asteikko säännön mukaan: $\psi :G\to H$

A_{h}=\oplus _{\{g\in G\mid \psi (g)=h\}}A_{g}

Millä tahansa algebralla A voidaan ottaa käyttöön triviaali arvosana minkä tahansa puoliryhmän G mukaan, jonka identiteetti on e , olettaen , että siksi ei ole järkevää harkita tällaisia "huonoja" arvosanoja. $A_{e}=A$

Kentän yli mikä tahansa algebra A on asteittainen sen algebrallisen automorfismiryhmän maksimaalisen toruksen merkkiryhmän G mukaan : $\mathbb {C}$ $G=(T(\operaattorinimi {Aut} _{k{\text{-alg}}}(A)))^{\vee }:\quad A_{g}=\{a\in A\ mid \phi (a)=g(\phi )a$ kaikille $\phi \in T(\operaattorinimi {Aut} _{k{\text{-alg}}}(A))\}$

Tämä arvostus on yllä olevassa mielessä "rikkain" kaikista algebran A Abelin luokitteluista , koska missä tahansa G -asteisessa algebrassa A merkkiryhmä G toimii automorfismeilla, samalla kaavalla.

Esimerkkejä

Polynomien rengas yhdessä tai useammassa muuttujassa.
Kohomologian rengas .
Ryhmä arvostelee kertaluvun n matriisien algebraa $\mathbb {Z} _{n-1}.$
Puoliryhmäalgebra on G -luokan algebra. $K\left[G\right]$

Arvioitu moduuli

Vastaava käsite moduuliteoriassa on porrastettu moduuli , nimittäin vasen moduuli M asteittaisen renkaan A päällä siten, että

{\textstyle M=\bigoplus _{i\in \mathbb {Z} }M_{i))

{\textstyle A_{i}M_{j}\subseteq M_{i+j}.}

Arvioitu moduulimorfismi on moduulimorfismi, joka säilyttää luokituksen, eli . $f:N\to M$ ${\displaystyle f(N_{i})\subseteq M_{i))$

Arvostetulle moduulille M voidaan määritellä ℓ -twist säännön määrittelemäksi moduuliksi . (Katso Serren lyhteen kiertäminen algebrallisessa geometriassa.) $M(\ell )$ $M(\ell )_{n}=M_{n+\ell }$

Olkoon M ja N arvosteltuja moduuleja. Jos on moduulien morfismi, niin f :n sanotaan olevan aste d , jos . Differentiaaligeometrian differentiaalimuodon ulkoinen derivaatta on esimerkki 1-asteen morfismista. $f:M\to N$ ${\displaystyle f(M_{n})\subset N_{n+d))$

Kirjallisuus

C. Nastasescu, F. Van Oystaeyen. Arvosteltu rengasteoria. - Amsterdam: Pohjois-Hollanti, 1982. - ISBN 9780444864895 .

Muistiinpanot

↑ Tätä asteittaista algebraa kutsutaan myös -asteitukseksi. ${\textstyle \mathbb {Z} }$
↑ Matemaattinen tietosanakirja / Ch. toim. Yu. V. Prokhorov; Ed. kokoelma: S. I. Adyan, N. S. Bakhvalov, V. I. Bityutskov, A. P. Ershov, L. D. Kudrjavtsev, A. L. Onishchik, A. P. Jushkevitš. - M . : Sov. tietosanakirja, 1988. - S. 161 . — 847 s. - 150 000 kappaletta.