Matriisi (matematiikka)

Kokeneet kirjoittajat eivät ole vielä tarkistaneet sivun nykyistä versiota, ja se voi poiketa merkittävästi 19. joulukuuta 2021 tarkistetusta versiosta . tarkastukset vaativat 16 muokkausta .

Matriisi on matemaattinen objekti , joka on kirjoitettu suorakaiteen muotoiseksi taulukoksi renkaan tai kentän elementeistä (esimerkiksi kokonaisluvuista , todellisista tai kompleksiluvuista ), joka on kokoelma rivejä ja sarakkeita , joiden leikkauskohdassa sen elementit sijaitsevat. Rivien ja sarakkeiden määrä määrittää matriisin koon. Vaikka esimerkiksi kolmiomatriiseja [1] on historiallisesti harkittu, ne puhuvat tällä hetkellä yksinomaan suorakulmaisista matriiseista, koska ne ovat kätevimmät ja yleisimmät.

Matriiseja käytetään laajalti matematiikassa lineaaristen algebrallisten tai differentiaaliyhtälöiden järjestelmien kompaktissa esittämisessä . Tässä tapauksessa matriisirivien lukumäärä vastaa yhtälöiden määrää ja sarakkeiden lukumäärä vastaa tuntemattomien määrää. Tämän seurauksena lineaaristen yhtälöjärjestelmien ratkaisu pelkistyy matriisioperaatioiksi.

Seuraavat algebralliset operaatiot on määritelty matriisille :

samankokoisten matriisien lisääminen ;
sopivan kokoisten matriisien kertominen (sarakkeinen matriisi voidaan kertoa oikealla matriisilla, jossa on rivejä) ; $n$ $n$
mukaan lukien matriisin kertominen sarakevektorilla ja rivivektorin kertominen matriisilla (tavanomaisen matriisin kertolaskusäännön mukaan; vektori on tässä mielessä matriisin erikoistapaus) ;
matriisin kertominen alla olevan renkaan tai kentän elementillä (eli skalaarilla ) .

Lisäyksen suhteen matriisit muodostavat Abelin ryhmän ; jos tarkastellaan myös kertolaskua skalaarilla, niin matriisit muodostavat moduulin vastaavan renkaan päälle ( vektoriavaruuden kentän päällä). Neliömatriisijoukko on suljettu matriisikertolaskussa , joten samankokoiset neliömatriisit muodostavat assosiatiivisen renkaan , jossa on yksikkö matriisi- ja matriisikertolaskussa.

On todistettu, että jokainen lineaarinen operaattori , joka toimii -ulotteisessa lineaariavaruudessa, voidaan liittää ainutlaatuiseen järjestysmatriisiin ; ja päinvastoin - jokainen neliöjärjestysmatriisi voidaan liittää ainutlaatuiseen lineaariseen operaattoriin, joka toimii tässä tilassa. [2] Matriisin ominaisuudet vastaavat lineaarioperaattorin ominaisuuksia. Erityisesti matriisin ominaisarvot ovat vastaavia ominaisvektoreita vastaavan operaattorin ominaisarvot . $n$ $n$ $n$

Samaa voidaan sanoa bilineaaristen (kvadraattisten) muotojen esittämisestä matriiseilla .

Matematiikassa tarkastellaan monia erilaisia ja erityyppisiä matriiseja . Tällaisia ovat esimerkiksi yksikkö- , symmetriset- , vino-symmetriset , ylemmän kolmion (alempi kolmion) matriisit.

Matriisiteoriassa erityisen tärkeitä ovat kaikenlaiset normaalimuodot eli kanoninen muoto, johon matriisi voidaan pelkistää koordinaatteja vaihtamalla. Tärkein (teoreettisessa mielessä) ja kehitetyin on Jordanin normaalimuotojen teoria . Käytännössä käytetään kuitenkin normaaleja muotoja, joilla on lisäominaisuuksia, kuten stabiilisuus.

Historia

Ensimmäistä kertaa matriisit mainittiin muinaisessa Kiinassa, jota silloin kutsuttiin " maagiseksi neliöksi ". Matriisien pääasiallinen sovellus oli lineaaristen yhtälöiden ratkaisu [3] . Myös maagiset neliöt tunnettiin hieman myöhemmin arabimatemaatikoiden keskuudessa, jolloin matriisilisäyksen periaate ilmestyi. Kehitettyään determinanttien teorian 1600-luvun lopulla Gabriel Cramer alkoi kehittää teoriaansa 1700-luvulla ja julkaisi Cramerin säännön vuonna 1751. Suunnilleen samassa ajassa ilmestyi " Gaussin menetelmä ". Matriisiteoria aloitti olemassaolonsa 1800-luvun puolivälissä William Hamiltonin ja Arthur Cayleyn teoksissa . Perustulokset matriisiteoriassa ovat Weierstrassin , Jordanin , Frobeniuksen ansiota . James Sylvester esitteli termin "matriisi" vuonna 1850 [4]

Johdanto

Matriiseja syntyy luonnollisesti lineaarisia yhtälöjärjestelmiä ratkaistaessa sekä lineaarisia muunnoksia harkitessa .

Lineaariyhtälöjärjestelmät

Harkitse muotoa olevaa lineaariyhtälöjärjestelmää :

\begin{cases}a_{11}x_1 + a_{12}x_2 + \ldots + a_{1n}x_n = b_1 \\a_{21}x_1 + a_{22}x_2 + \ldots + a_{2n}x_n = b_2 \\ \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \\a_{m1}x_1 + a_{m2}x_2 + \ldots + a_{mn}x_n ={ b_m tapaukset}

Tämä järjestelmä koostuu lineaarisista yhtälöistä tuntemattomissa. Se voidaan kirjoittaa seuraavana matriisiyhtälönä: $m$ $n$

kirves = b

missä

A = \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{m1} & a_{m2} & \cdots & a_{mn} \end{pmatrix} ; \quad x = \begin{pmatrix} x_{1} \\ x_{2} \\ \vdots \\ x_{n} \end{pmatrix} ; \quad b = \begin{pmatrix} b_{1} \\ b_{2} \\ \vdots \\ b_{m} \end{pmatrix}

Matriisi on lineaarisen yhtälöjärjestelmän kertoimien matriisi, sarakevektori on tuntemattomien vektori ja sarakevektori on jokin annettu vektori. $A$ $x$ $b$

Jotta järjestelmällä olisi ratkaisu (vähintään yksi), on välttämätöntä ja riittävää , että vektori on lineaarinen sarakkeiden yhdistelmä , jolloin vektori on vektori, joka sisältää vektorin laajenemiskertoimet sarakkeiden yli. matriisi . $b$ $A$ $x$ $b$ $A$

Matriisien kielessä lineaarisen yhtälöjärjestelmän ratkaistavuuden ehto on muotoiltu Kronecker-Capelli-lauseena :

matriisin arvo on yhtä suuri kuin lisätyn matriisin arvo ,

A

[A|b]

koostuu sarakkeista ja sarakkeesta . $A$ $b$

Tärkeä erikoistapaus . Jos yhtälöiden lukumäärä osuu yhteen tuntemattomien määrän kanssa ( eli matriisi on neliö), niin ainutlaatuisen ratkaistuvuuden ehto vastaa matriisin käänteisyyden ehtoa . $m = n$ $A$ $A$

(Huomaa. Järjestelmän ratkaistavuus ei vielä tarkoita matriisin ei-degeneroitumista. Esimerkki: .) $0x=0$

Erityisesti, jos matriisi on käännettävä, niin järjestelmän ratkaisu voidaan kirjoittaa (ja jos lasketaan , niin löytää) muodossa $A$ $A^{{-1}}$

x = A^{-1}b

Tämä johtaa algoritmiin tuntemattomien arvojen laskemiseksi Cramerin säännöllä .

Lineaariset muunnokset

Harkitse lineaarista muunnosa -ulotteisesta vektoriavaruudesta -ulotteiseen vektoriavaruuteen , jolla on seuraava muoto: $\mathcal{A}\colon\mathbb{R}^n\to\mathbb{R}^m$ $n$ $\mathbb {R} ^{n}$ $m$ $\mathbb {R} ^{m}$

\left\{\begin{array}{rcl}y_1&=&a_{11}x_1 + a_{12}x_2 + \ldots + a_{1n}x_n\\ y_2&=&a_{21}x_1 + a_{22}x_2 + \ldots + a_{2n}x_n\\ & \cdots & \\ y_m&=&a_{m1}x_1 + a_{m2}x_2 + \ldots + a_{mn}x_n\\ \end{array}\right.

Matriisimuodossa tämä on muodon yhtälön muunnos:

y = kirves

Matriisi on lineaaristen muunnoskertoimien matriisi. $A$

Jos tarkastellaan lineaarisen muunnoksen toimintaa muodon vektoreille $\mathcal{A}$

e_j=(0,\pisteet,0,1_j,0,\pisteet,0)^T,\quad j=\overline{1,n}

muodostavat avaruuden perustan , niin - tämä on matriisin -:s sarake . $\mathbb {R} ^{n}$ $\mathcal{A}\mathbf{e}_j$ $j$ $A$

Siten matriisi kuvaa täysin lineaarimuunnoksen , ja siksi sitä kutsutaan lineaarimuunnosmatriisiksi . $A$ $\mathcal{A}$

Määritelmät

Suorakulmamatriisi

Olkoon kaksi äärellistä joukkoa:

rivinumerot: ; $M=\{1,2,\pisteet,m\}$

sarakkeiden numerot: , missä ja ovat luonnollisia lukuja . $N=\{1,2,\pisteet,n\}$ $m$ $n$

Kutsutaan matriisia , jonka koko on (lue eteenpäin ) ( - rivit , - sarakkeet ), jossa on elementtejä jostain renkaasta tai kentästä lomakkeen kuvaukseksi . Matriisi on kirjoitettu muodossa $A$ $m\ kertaa n$ $m$ $n$ $m$ $n$ $\mathcal{K}$ $A\kaksoispiste M\times N\to\mathcal{K}$

{\textstyle A={\begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}&\cdots &a_{1n}\\a_{21}&a_{22}&\cdots &a_{2n}\\\vpisteet &\vpisteet &a_{ij}&\vdots \\a_{m1}&a_{m2}&\cdots &a_{mn}\end{pmatrix}},}

jossa matriisielementti on -. rivin ja - : nnen sarakkeen leikkauskohdassa . $a_{ij}=a(i,j)$ $i$ $j$

$i$ -matriisin rivi ${\textstyle A(i,)={\begin{pmatrix}a_{{i1}}&a_{{i2}}&\cdots &a_{{in}}\end{pmatrix}};}$
$j$ -matriisin sarake ${\textstyle A(,j)={\begin{pmatrix}a_{1j}\\a_{2j}\\\vdots \\a_{mj}\end{pmatrix)).}$

Tässä tapauksessa matriisielementtien lukumäärä on yhtä suuri kuin . $m\cdot n$

tämän perusteella

jokainen matriisin rivi voidaan tulkita vektoriksi -ulotteisessa koordinaattiavaruudessa ; $n$ $\mathcal{K}^{n}$
matriisin jokainen sarake on kuin vektori -ulotteisessa koordinaattiavaruudessa . $m$ $\mathcal{K}^{m}$

Itse matriisi tulkitaan luonnollisesti vektoriksi ulottuvuusavaruudessa . Tämä mahdollistaa matriisien komponenttien lisäämisen ja matriisin kertomisen luvulla (katso alla); Mitä tulee matriisin kertolaskuun , se on vahvasti riippuvainen matriisin suorakaiteen muotoisesta rakenteesta. $\mathcal{K}^{mn}$ $mn$

Square Matrix

Jos matriisissa on sama määrä rivejä kuin sarakkeiden lukumäärä , niin tällaista matriisia kutsutaan neliöiksi ja numeroa kutsutaan neliömatriisin kooksi tai sen järjestykseksi . $m$ $n$ $m = n$

Rivivektori ja sarakevektori

Koko- ja matriisit ovat välilyöntejä ja vastaavasti: $m\ kertaa 1$ $1\ kertaa n$ $\mathcal{K}^{m}$ $\mathcal{K}^{n}$

kokomatriisia kutsutaan sarakevektoriksi ja sillä on erityinen merkintä: $m\ kertaa 1$

\mathrm{colon}\,(a_1,\dots,a_i,\dots,a_m) =\left( \begin{array}{c}a_1 \\ \vdots \\ a_i \\ \vdots \\ a_m \end{ taulukko} \oikea) =(a_1,\pisteet,a_i,\pisteet,a_m)^{T};

kokomatriisia kutsutaan rivivektoriksi ja sillä on erityinen merkintä: $1\ kertaa n$

\mathrm{rivi}\,(a_1,\pisteet,a_i,\pisteet,a_n)=(a_1,\pisteet,a_i,\pisteet,a_n);

Elementaariset matriisimuunnokset

Seuraavia muunnoksia kutsutaan matriisirivien alkeismuunnoksiksi:

Kun merkkijono kerrotaan nollasta poikkeavalla luvulla,
Yhden rivin lisääminen toiselle riville
Kahden rivin uudelleenjärjestely .

Matriisisarakkeiden alkeismuunnokset määritellään samalla tavalla.

Matrix rank

Matriisin rivit ja sarakkeet ovat vastaavien vektoriavaruuksien elementtejä:

matriisin sarakkeet muodostavat ulottuvuusavaruuden elementit ; $A$ $m$
matriisin rivit muodostavat ulottuvuusavaruuden elementit . $A$ $n$

Matriisin sijoitus on matriisin lineaarisesti riippumattomien sarakkeiden lukumäärä ( matriisin sarakejärjestys) tai matriisin lineaarisesti riippumattomien rivien lukumäärä (matriisin rivisijoitus ). Tätä määritelmää vastaa matriisin asteen määritelmä matriisin suurimman nollasta poikkeavan minorin kertalukuna.

Alkeismuunnoksissa matriisin järjestys ei muutu.

Merkintä

Matriisia merkitään yleensä latinalaisten aakkosten isolla kirjaimella: let

A\colon M\times N\to {\mathcal {K)),

sitten on matriisi, joka tulkitaan suorakaiteen muotoisena kenttäelementtien taulukkona muodossa , jossa $A$ $\mathcal{K}$ $a_{ij}=A(i,j)$

ensimmäinen indeksi tarkoittaa riviindeksiä: ; $i=\overline{1,m}$
toinen indeksi tarkoittaa sarakeindeksiä: ; $j=\overline{1,n}$

on siis matriisin elementti, joka sijaitsee -: nnen rivin ja - : nnen sarakkeen leikkauskohdassa. Näin ollen kokomatriisille käytetään seuraavaa kompaktia merkintää : $a_{{ij}}$ $A$ $i$ $j$ $m\ kertaa n$

A=(a_{ij})_{i=1,j=1}^{m,n},

tai yksinkertaisesti

A=(a_{ij}),

jos sinun on vain määritettävä matriisin elementtien nimitys.

Joskus sen sijaan he kirjoittavat , erottaakseen indeksit toisistaan ja välttääkseen sekoittamisen kahden luvun tuotteen kanssa. $a_{{ij}}$ $a_{i,j}$

Jos on tarpeen antaa yksityiskohtainen esitys matriisista taulukon muodossa, käytä lomakkeen tietuetta

\begin{pmatrix} a_{11} & \cdots & a_{1j} & \cdots & a_{1n} \\ \vdots & \ddots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{i1} & \cdots & a_{ij} & \cdots & a_{in} \\ \vdots & \ddots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{m1} & \cdots & a_{mj} & \cdots & a_{mn } \end{pmatrix},\quad\left[\begin{array}{ccccc} a_{11} & \cdots & a_{1j} & \cdots & a_{1n} \\ \vdots & \ddots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{i1} & \cdots & a_{ij} & \cdots & a_{in} \\ \vdots & \ddots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{m1} & \cdots & a_{mj} & \cdots & a_{mn} \end{array}\right],\quad\left\|\begin{array}{ccccc} a_{11} & \cdots & a_{1j } & \cdots & a_{1n} \\ \vdots & \ddots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{i1} & \cdots & a_{ij} & \cdots & a_{in} \\ \ vdots & \ddots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{m1} & \cdots & a_{mj} & \cdots & a_{mn} \end{array}\right\|

Löydät sekä merkinnät suluissa "(...)" että merkinnät hakasulkeilla "[...]". Vähemmän yleisiä ovat symbolit, joissa on kaksoissuorat viivat “||…||”).

Koska matriisi koostuu riveistä ja sarakkeista, niille käytetään seuraavaa merkintää:

a_{i\cdot}=A_i=[ \begin{array}{ccccc} a_{i1} & \cdots & a_{ij} & \cdots & a_{in} \\ \end{array}]

on matriisin :s rivi ,

i

A

a_{\cdot j}=A^j=\left[ \begin{array}{c} a_{1j}\\\vdots \\a_{ij} \\\vdots \\a_{mj} \\ \end {array}\right]

on matriisin sarake .

j

A

Siten matriisilla on kaksoisesitys - riveillä:

A=[ \begin{array}{ccccc} A^{1} & \cdots & A^{j} & \cdots & A^{n} \\ \end{array}]

ja sarakkeiden mukaan:

A=\left[ \begin{array}{c} A_{1}\\\vdots \\A_{i} \\\vdots \\A_{m} \\ \end{array}\right]

Tämän esityksen avulla matriisien ominaisuudet voidaan muotoilla riveinä tai sarakkeina.

Transponoitu matriisi

Jokaiselle kokomatriisille $A=(a_{i,j})_{\begin{smallmatrix}i={\overline {1,m}}\\j={\overline {1,n}}\end{smallmatrix}} ={\begin{pmatrix}a_{1,1}&\cdots &a_{1,n}\\\vdots &\ddots &\vdots \\a_{m,1}&\cdots &a_{m,n}\ end{pmatrix}}$ $m\ kertaa n$

voidaan rakentaa kokoinen matriisi , $B=(b_{j,i})_{\begin{smallmatrix}j={\overline {1,n}}\\i={\overline {1,m}}\end{smallmatrix}} ={\begin{pmatrix}b_{1,1}&\cdots &b_{1,m}\\\vdots &\ddots &\vdots \\b_{n,1}&\cdots &b_{n,m}\ end{pmatrix}}$ $n\ kertaa m$

joka on kaikille ja . ${\displaystyle b_{j,i}=a_{i,j))$ $i=\overline{1,m}$ $j=\overline{1,n}$

Tällaista matriisia kutsutaan transponoiduksi matriisiksi ja sitä merkitään , $A$ $A^{T}$

joskus (jos ei ole mahdollista sekoittaa erotteluun ) on merkitty , $A'$

joskus (jos ei ole mahdollista sekoittaa hermiittisen konjugaation kanssa ) merkitään . $A^{*}$

Transponoitaessa matriisien riveistä (sarakkeista) tulee matriisin sarakkeita (vastaavasti rivejä) . $A$ $A^{T}$

Ilmeisesti . ${\näyttötyyli (A^{T})^{T}=A}$

Renkaan ylittäville matriiseille transponointi on matriisien moduulien isomorfismi , koska $\mathcal{K}$ $\mathcal{K}$

(A+B)^T=A^T+B^T

(\lambda \cdot A)^{T}=\lambda \cdot (A^{T})

, mille tahansa .

\lambda \in {\mathcal {K}}

Diagonaalimatriisi

Diagonaalimatriisi - neliömatriisi, jonka kaikki elementit diagonaalisia lukuun ottamatta ovat nollia ja joskus kirjoitettu seuraavasti: $(i \neq j: a_{ij} = 0)$

\mathrm{diag}(a_1, a_2, \dots, a_n).

Muut matriisin diagonaalit

Päädiagonaalin lisäksi harkitaan joskus matriisielementtejä, jotka ovat suoraan diagonaalielementtien yläpuolella . Nämä elementit muodostavat matriisin ylidiagonaalin . Välittömästi diagonaalin alapuolella olevat elementit muodostavat subdiagonaalisen matriisin (katso bidiagonaalinen matriisi ).

Paikoin sijaitsevat elementit muodostavat sivudiagonaalin (katso esimerkiksi Sivudiagonaali tai Matriisityypit ). ${\displaystyle a_{1,n},a_{2,n-1},\dots ,a_{n,1))$

Identiteettimatriisi

Identiteettimatriisi on matriisi, jolla kerrottuna mikä tahansa matriisi (tai vektori) pysyy muuttumattomana, on diagonaalimatriisi, jossa on identtiset (kaikki) diagonaaliset elementit:

\mathrm{diag}(1, 1, \pisteet, 1).

Sen nimeämiseen käytetään useimmiten merkintää I tai E sekä yksinkertaisesti 1 (tai 1 erityisellä kirjasimella).

Sen elementtien osoittamiseen käytetään myös Kronecker-symbolia , joka määritellään seuraavasti: $\delta _{{ij}}$

\delta_{ii} = 1

\delta_{ij} = 0

klo

i \neq j.

Nollamatriisi

Nollamatriisin - matriisin, jonka kaikki elementit ovat nollia, nimeämiseksi (kun se lisätään mihin tahansa matriisiin, se pysyy muuttumattomana ja millä tahansa matriisilla kerrottuna saadaan nollamatriisi) - yleensä yksinkertaisesti 0 tai 0 käytetään erityisellä kirjasimella tai nollaa muistuttavalla kirjaimella, esimerkiksi . $\Theta$

Matriisioperaatiot

Matriisilisäys

Voit lisätä vain samankokoisia matriiseja.

Matriisilisäys on operaatio, jossa etsitään matriisi , jonka kaikki alkiot ovat yhtä suuria kuin matriisien kaikkien vastaavien alkioiden pareittainen summa , eli jokainen matriisin elementti on yhtä suuri kuin $A+B$ $C$ $A$ $B$ $C$

\ c_{ij} = a_{ij} + b_{ij}

Matriisin lisäysominaisuudet:

kommutatiivisuus : ; ${\näyttötyyli A+B=B+A}$
assosiatiivisuus : ; ${\näyttötyyli (A+B)+C=A+(B+C)}$
summaus nollamatriisilla: ; $A+\theta =\theta +A=A$
vastakkaisen matriisin olemassaolo: ; $A+(-A)=\theta$

Kaikki lineaarioperaatioiden ominaisuudet toistavat lineaarisen avaruuden aksioomia , ja siksi seuraava lause on tosi:

Kaikkien samankokoisten matriisien joukko kentän elementeillä (kaikkien reaali- tai kompleksilukujen kenttä ) muodostaa lineaarisen avaruuden kentän päälle (jokainen tällainen matriisi on tämän tilan vektori). Kuitenkin ensisijaisesti terminologisen sekaannuksen välttämiseksi matriiseja vältetään tavallisissa yhteyksissä ilman tarvetta (mikä ei ole yleisimmissä standardisovelluksissa) ja selkeää määrittelyä termin käytöstä vektorien kutsumiseen. $m\ kertaa n$ $P$ $P$

Matriisin kertominen luvulla

Matriisin kertominen luvulla tarkoittaa matriisin rakentamista . $A$ $\lambda \in \mathcal{K}$ $\lambda A = ( \lambda a_{ij} )$

Matriisien luvulla kertomisen ominaisuudet:

kertominen yhdellä: ; $1\cdot A=A\cdot 1=A$
assosiatiivisuus : ; $(\lambda \beta )A=\lambda (\beta A)$
jakavuus: ; $(\lambda +\beta )A=\lambda A+\beta A$
jakavuus: ; $\lambda (A+B)=\lambda A+\lambda B$

Matriisi kertominen

Matriisin kertolasku (merkintä:, harvoin kertomerkillä) on matriisin laskentatoimenpide, jonka jokainen alkio on yhtä suuri kuin ensimmäisen tekijän vastaavan rivin ja toisen sarakkeen alkioiden tulojen summa. $AB$ $A\ kertaa B$ $C$

{\displaystyle c_{ij}=\sum _{k=1}^{n}a_{ik}b_{kj))

Matriisin sarakkeiden lukumäärän on vastattava matriisin rivien määrää , toisin sanoen matriisin on oltava yhdenmukainen matriisin kanssa . Jos matriisin dimensio on , - , niin niiden tulon dimensio on . $A$ $B$ $A$ $B$ $A$ $m\ kertaa n$ $B$ $n \ kertaa k$ $AB=C$ $m \ aika k$

Matriisin kertolaskuominaisuudet:

assosiatiivisuus : ; $(AB)C=A(BC)$
ei -kommutatiivisuus (yleensä): ; $AB\neq BA$
tulo on kommutatiivinen, kun kyseessä on kertolasku identiteettimatriisilla: ; $AI=IA=A$
jakavuus :, _ ${\näyttötyyli (A+B)C=AC+BC}$

$A(B+C)=AB+AC$ ;

assosiatiivisuus ja kommutatiivisuus suhteessa kertomiseen luvulla: . $(\lambda A)B=A(\lambda B)=\lambda (AB)$

Vektorin kertominen matriisilla

Tavallisten matriisin kertolaskusääntöjen mukaan sarakevektori kerrotaan matriisilla, joka kirjoitetaan sen vasemmalle puolelle, ja rivivektori kerrotaan matriisilla, joka kirjoitetaan sen oikealle puolelle. Koska sarakevektorin tai rivivektorin elementit voidaan kirjoittaa (mikä yleensä tehdään) käyttämällä yhtä indeksiä kahden sijaan, tämä kertolasku voidaan kirjoittaa seuraavasti:

sarakevektorille (uuden sarakevektorin saaminen ): $v$ $Av$

(Av)_{i} = \sum^n_{k=1} a_{ik} v_{k},

rivivektorille (uuden rivivektorin saaminen ): $s$ $sA$

(sA)_{i} = \sum^n_{k=1} s_k a_{ki}.

Rivivektori, matriisi ja sarakevektori voidaan kertoa keskenään, jolloin saadaan luku (skalaari):

sAv = \sum\limits_{k,i} s_k a_{ki} v_i.

(Järjestys on tärkeä: rivivektori on vasemmalla, sarakevektori on matriisin oikealla puolella).

Nämä operaatiot ovat perustana lineaaristen operaattorien ja lineaaristen koordinaattimuunnosten (kantaisten muutosten), kuten rotaatioiden, skaalausten, peiliheijastusten matriisiesitykseen, sekä (viimeiseksi) bilineaaristen (kvadraattisten) muotojen matriisiesitykseen.

Esitettäessä todellisen vektoriavaruuden vektoria ortonormaalilla pohjalla (mikä vastaa suorakulmaisten karteesisten koordinaattien käyttöä), sitä vastaava sarakevektori ja rivivektori, jotka ovat joukko vektorikomponentteja, osuvat yhteen (elementti elementiltä), eroavat vain muodollisesti kuvassaan matriisioperaatioiden oikeellisuuden suhteen (silloin toinen saadaan toisesta yksinkertaisesti transponointioperaatiolla). Käytettäessä ei-ortonormaalia kantaa (esimerkiksi vinoja koordinaatteja tai ainakin erilaisia asteikkoja akseleilla) sarakevektori vastaa vektorin komponentteja pääkannassa ja rivivektori vastaa kantaa, joka on duaali [5] (Joskus rivivektorien avaruudesta puhutaan myös erityisenä, sarakevektorien kaksoisavaruutena, kovektorien avaruutena ).

Huomaa, että tavallinen motivaatio matriisien käyttöönotolle ja matriisin kertolaskutoiminnon määrittämiselle (katso myös matriisikertolaskua käsittelevä artikkeli ) on juuri niiden käyttöönotto, alkaen vektorin kertomisesta matriisilla (joka otetaan käyttöön kantamuunnosten perusteella tai yleensä lineaarisia operaatioita vektoreille), ja vasta sitten muunnosten koostumusta verrataan matriisien tuloon. Itse asiassa, jos uusi vektori Av , joka on saatu alkuperäisestä vektorista v matriisilla A kertomalla esitettävällä muunnoksella , muunnetaan nyt uudelleen muunnolla, joka voidaan esittää kertomalla matriisilla B , jolloin saadaan B(Av) , niin säännön perusteella vektorin kertomiseen matriisilla, joka on annettu tämän osan alussa (käyttäen lukujen kertolaskujen assosiatiivisuutta ja käänteinen summausjärjestys), on helppo nähdä tuloksena oleva kaava, joka antaa matriisin (BA) elementit, joka edustaa ensimmäisen ja toisen muunnoksen koostumus ja se on yhtäpitävä matriisikertomisen tavanomaisen määritelmän kanssa.

Monimutkainen konjugaatio

Jos matriisin alkiot ovat kompleksilukuja, niin kompleksikonjugaatti (ei pidä sekoittaa Hermitian konjugaattiin ! Katso alla) on yhtä suuri kuin . Tässä on monimutkainen konjugaatti . $A=(a_{ij})$ $\bar A = (\bar a_{i,j} )$ ${\bar {a}}$ $a$

Transpositio ja hermiittinen konjugaatio

Transpositiosta on jo keskusteltu edellä: jos , niin . Monimutkaisissa matriiseissa hermiittinen konjugaatio on yleisempi : . Matriisien operaattorin näkökulmasta transponoitu ja hermiittinen konjugaattimatriisi ovat operaattorikonjugaatin matriiseja skalaari- tai hermiittisen tulon suhteen . $A=(a_{ij})$ $A^T = (a_{ji})$ $A^* = \bar A^T$

Alaikäiset

Seuraava

Neliömatriisissa diagonaalielementtien (eli ensimmäisen kertaluvun pää-mollit) summaa kutsutaan jäljeksi : $A$

\mathrm{Tr} A = \sum\limits_{i}a_{ii} = a_{11}+ \ldots +a_{nn}

(muut nimitykset , , ). $\mathrm{trace}$ $\mathrm{Sp}$ $\mathrm{Spur}$

Ominaisuudet:

Jos ja on määritelty , niin . $AB$ $BA$ $\mathrm{Tr} (AB) = \mathrm{Tr} (BA)$
Jälki on matriisin samankaltaisuusmuunnosten invariantti , ts. jos ei ole rappeutunut, niin . $S$ $\mathrm{Tr} A = \mathrm{Tr} (S^{-1}AS)$
Jälki on yhtä suuri kuin matriisin ominaisarvojen summa (kaikkien moninkertaisuus huomioon ottaen): . Lisäksi mille tahansa (positiiviselle) kokonaisluvulle , . $\mathrm{Tr} A = \sum\limits_{i}\lambda_{i} = \lambda_{1}+ \ldots +\lambda_{n}$ $k$ $\mathrm{Tr} (A^{k}) = \sum\limits_{i}\lambda_{i}^{k} = \lambda_{1}^{k}+ \ldots +\lambda_{n}^{ k}$

Determinantti (determinantti)

Olkoon matriisi neliö, sitten determinantin nimitys: . Jos matriisi on silloin $A$ $\Delta =\det A$ ${\näyttötyyli 2\kertaa 2}$ ${\displaystyle \Delta =\det A=a_{11}a_{22}-a_{12}a_{21))$

Pysyvä

Aiheeseen liittyvät käsitteet

Lineaariset yhdistelmät

Vektoriavaruudessa vektoreiden lineaarinen yhdistelmä on vektori $\mathbf{x}_1,\dots,\mathbf{x}_n$

\mathbf{x}=a_1\mathbf{x}_1+\dots+a_n\mathbf{x}_n,

missä ovat laajennuskertoimet: $a_1,\pisteet,a_n$

jos kaikki kertoimet ovat nolla, niin tällaista yhdistelmää kutsutaan triviaaliksi ,
jos ainakin yksi kerroin on eri kuin nolla, niin tällaista yhdistelmää kutsutaan ei- triviaaliksi .

Tämä mahdollistaa lineaaristen yhdistelmien matriisien ja termien tulon kuvaamisen : $C=AB$ $A$ $B$

matriisisarakkeet ovat lineaarisia yhdistelmiä matriisisarakkeista, joiden kertoimet on otettu matriisista ; $C$ $A$ $B$
matriisirivit ovat lineaarisia yhdistelmiä matriisiriveistä , joiden kertoimet on otettu matriisista . $C$ $B$ $A$

Lineaarinen riippuvuus

Jos mikä tahansa vektori voidaan esittää lineaarisena yhdistelmänä, puhutaan tämän vektorin lineaarisesta riippuvuudesta yhdistelmän elementeistä.

Tarkemmin sanottuna he sanovat näin: tiettyä vektoriavaruuden elementtijoukkoa kutsutaan lineaarisesti riippuvaiseksi , jos tämän joukon elementtien lineaarinen yhdistelmä on yhtä suuri kuin nolla tai

\mathbf{0}=a_1\mathbf{x_1}+\pisteet+a_n\mathbf{x_n},

jossa kaikki luvut eivät ole nollia; jos tällaista ei-triviaalia yhdistelmää ei ole olemassa, niin annettua vektorikokoelmaa kutsutaan lineaarisesti riippumattomaksi . $a_1,\pisteet,a_n$

Vektorien lineaarinen riippuvuus tarkoittaa, että jokin tietyn joukon vektori ilmaistaan lineaarisesti muiden vektoreiden kautta.

Jokainen matriisi on kokoelma vektoreita (samasta avaruudesta). Kaksi tällaista matriisia ovat kaksi joukkoa. Jos yhden joukon jokainen vektori ilmaistaan lineaarisesti toisen joukon vektoreilla, niin matriisiteorian kielellä tämä tosiasia kuvataan käyttämällä matriisien tuloa:

jos matriisin rivit ovat lineaarisesti riippuvaisia matriisin riveistä , niin jollekin matriisille ; $C$ $B$ $C=AB$ $A$
jos matriisin sarakkeet ovat lineaarisesti riippuvaisia toisen matriisin sarakkeista , niin jollekin matriisille . $C$ $A$ $C=AB$ $B$

Ominaisuudet

Matriisioperaatiot

Yhteen- ja vähennyslasku sallitaan vain samankokoisille matriiseille.

On olemassa nollamatriisi , jonka lisäys toiseen matriisiin A ei muuta A:ta, ts. $\Theta$

A + \Theta = A

Kaikki nollamatriisin elementit ovat yhtä suuret kuin nolla.

Vain neliömatriiseja voidaan nostaa potenssiin .

Lisäyksen assosiaatio : $A + (B + C) = (A + B) + C.$
Lisäyksen kommutatiivisuus : $A + B = B + A.$
Kertomisen assosiatiivisuus: $A(BC) = (AB)C.$
Yleisesti ottaen matriisikertominen on ei- kommutatiivista : . Tätä ominaisuutta käyttämällä otetaan käyttöön matriisikommutaattori . $AB \ne BA$
Kertolaskujakauma suhteessa yhteenlaskuun: $A(B + C) = AB + AC;$ $(B + C)A = BA + CA.$
Edellä mainitut ominaisuudet huomioon ottaen matriisit muodostavat renkaan yhteen- ja kertolaskuoperaatioiden suhteen.
Matriisin transponointitoiminnon ominaisuudet: $(A^T)^T=A$ $(AB)^T=B^TA^T$ $(A^{-1})^T = (A^T)^{-1}$ jos käänteimatriisi on olemassa. $A^{{-1}}$ $(A+B)^T=A^T+B^T$ $\text{det}\; A=\text{det}\; A^T$

Esimerkkejä

Neliömatriisi ja siihen liittyvät määritelmät

Jos matriisin rivien lukumäärä on yhtä suuri kuin sarakkeiden lukumäärä, niin tällaista matriisia kutsutaan neliöksi .

Neliömatriiseille on olemassa identiteettimatriisi (analoginen yksikön kanssa lukujen kertolaskuoperaatiolle ) siten, että minkä tahansa matriisin kertominen sillä ei vaikuta tulokseen, nimittäin $E$

EA=AE=A

Identiteettimatriisissa on yksiköitä vain päädiagonaalia pitkin, loput elementit ovat yhtä suuria kuin nolla

E = \begin{pmatrix} 1 & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & 1 & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & \cdots & 1 \end {pmatrix}

Joillekin neliömatriiseille löytyy niin kutsuttu käänteimatriisi . Käänteismatriisi on sellainen, että jos matriisi kerrotaan käänteismatriisillaan, saadaan identiteettimatriisi: $A^{{-1}}$

AA^{- 1} = E

Käänteismatriisia ei aina ole olemassa. Matriiseja, joille on olemassa käänteismatriisi, kutsutaan ei- degeneroituneiksi (tai säännöllisiksi) ja joille ei ole degeneroitunutta (tai singulaaria ). Matriisi on ei-degeneroitunut, jos kaikki sen rivit (sarakkeet) ovat lineaarisesti riippumattomia vektoreina . Lineaarisesti riippumattomien rivien (sarakkeiden) enimmäismäärää kutsutaan matriisin arvoksi. Matriisin determinantti (determinantti) on normalisoidun vinosymmetrisen (antisymmetrisen) monilineaarisen valenssimuodon arvo matriisin sarakkeissa. Lukukentän päällä oleva neliömatriisi on degeneroitunut silloin ja vain, jos sen determinantti on nolla. $(p;\;0)$

Matriisirengas

Yllä olevista matriisien yhteen- ja kertolaskuominaisuuksista (yhdistyksen assosiaatio ja kommutatiivisuus, kertolasku jakautuminen, nolla ja lisäksi vastakkainen matriisin olemassaolo) seuraa, että n x n neliömatriisit alkioiden kanssa mistä tahansa renkaasta R muodostavat rengas isomorfinen vapaan moduulin R n endomorfismirenkaan kanssa . Tämä rengas on merkitty tai . Jos R on kommutatiivinen rengas , on myös assosiatiivinen algebra R :n yli . Kommutatiivisen renkaan elementtejä sisältävän matriisin determinantti voidaan laskea tavanomaisella kaavalla, ja matriisi on käännettävä silloin ja vain, jos sen determinantti on käännettävä R :ssä . Tämä yleistää tilanteen matriiseilla, joissa on elementtejä kentästä , koska mikä tahansa elementti nollaa lukuun ottamatta on käännettävä kentässä. $M(n,R)$ $M_{n}(R)$ $M(n,R)$

Matriisit ryhmäteoriassa

Matriiseilla on tärkeä rooli ryhmäteoriassa . Niitä käytetään yleisten lineaaristen ryhmien , erityisten lineaaristen ryhmien , diagonaaliryhmien , kolmioryhmien , yksikolmioryhmien rakentamiseen .

Äärillinen ryhmä (erityisesti symmetrinen) voidaan mallintaa (isomorfisesti) permutaatiomatriiseilla (jotka sisältävät vain "0" ja "1"),

esimerkiksi : , , , , , . $S_{3}$ $\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0\\0 & 1 & 0\\0 & 0 & 1\end{pmatrix}$ $\begin{pmatrix} 0 & 1 & 0\\0 & 0 & 1\\1 & 0 & 0\end{pmatrix}$ $\begin{pmatrix} 0 & 0 & 1\\1 & 0 & 0\\0 & 1 & 0\end{pmatrix}$ $\begin{pmatrix} 0 & 1 & 0\\1 & 0 & 0\\0 & 0 & 1\end{pmatrix}$ $\begin{pmatrix} 0 & 0 & 1\\0 & 1 & 0\\1 & 0 & 0\end{pmatrix}$ $\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0\\0 & 0 & 1\\0 & 1 & 0\end{pmatrix}$

Kompleksilukujen kenttä voidaan mallintaa (isomorfisesti) reaalilukukentän yli: $\mathbb{C}$ $\mathbb{R}$

matriisianalogeille , , jossa ; $z = x + iy , \quad c = a + ib \in \mathbb{C}$ $Z = \begin{pmatrix} x & y\\-y & x \end{pmatrix}$ $C = \begin{pmatrix} a & b\\-b & a \end{pmatrix}$ $x , y , a , b \in \mathbb{R}$

$z + c = (x + a) + i(y + b)$ tulitikut ; $Z + C = \begin{pmatrix} x + a & y + b\\- y - b & x + a\end{pmatrix}$

$zc = (xa - yb) + i(xb + ya)$ tulitikut ; $ZC = \begin{pmatrix} xa - yb & xb + ya\\- ya - xb & - yb + xa\end{pmatrix}$

$\bar{z} = x - iy$ tulitikut ; $Z^T = \begin{pmatrix} x & -y\\y & x \end{pmatrix}$

$|z|^{2}=z{\bar {z}}=x^{2}+y^{2}=\det(Z)\in \mathbb {R}$ ;

$\frac{1}{z} = \frac{\bar{z}}{z \bar{z}} = \frac{x - iy}{x^2 + y^2}$ at vastaa at ; $z \ne 0$ $Z^{-1}={\frac {Z^{T}}{\det(Z)))$ $\det(Z)\neq 0$

$e^{z}=e^{x+iy}=e^{x}(\cos(y)+i\,\sin(y))$ kirjeenvaihto . $e^{x}{\begin{pmatrix}\cos(y)&\sin(y)\\-\sin(y)&\cos(y)\end{pmatrix))$

Erityisesti varten $E = \begin{pmatrix} 1 & 0\\0 & 1 \end{pmatrix}$ $I = \begin{pmatrix} 0 & 1\\-1 & 0 \end{pmatrix}$

$z = x + iy \in \mathbb{C}$ vastaa , $Z = x E + y I$

missä . $I^2=-E$

Kommentti. Mallissa on automorfismi , eli $(minä -minä)$ $Z \ - Z^T$

Kvaternionien runko voidaan (isomorfisesti) mallintaa reaalilukukentän yli: $\mathbb{H}$ $\mathbb{R}$

matriisianalogille , jossa . $q=t+ix+jy+kz\in \mathbb {H}$ $Q = \begin{pmatrix} t & x & y & -z\\ -x & t & -z & -y\\ -y & z & t & x\\ z & y & -x & t \end{ pmatrix}$ $t , x , y , z \in \mathbb{R}$

Jotta kvaternion vastaisi matriisia , $q = t + ix + jy + kz$ $Q = t E + x I + y J + z K$

missä , , , _ $I^2=J^2=K^2=-E$ $IJ=-JI=K$ $JK=-KJ=I$ $KI=-IK=J$

voit syöttää peruselementtejä

$E = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0\\0 & 1 & 0 & 0\\0 & 0 & 1 & 0\\0 & 0 & 0 & 1\end{pmatrix}$ , , , . $I = \begin{pmatrix} 0 & a & 0 & 0\\-a & 0 & 0 & 0\\0 & 0 & 0 & b\\0 & 0 & -b & 0\end{pmatrix}$ $J = \begin{pmatrix} 0 & 0 & c & 0\\0 & 0 & 0 & d\\-c & 0 & 0 & 0\\0 & -d & 0 & 0\end{pmatrix}$ $K = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 & ad\\0 & 0 & -ac & 0\\0 & -bd & 0 & 0\\bc & 0 & 0 & 0\end{pmatrix}$

Parametrien on täytettävä seuraavat ehdot: ja . $a , b , c , d \in \left \{ -1, +1 \right \}$ $abcd=-1$

Ratkaisuja on 8 (8 katselukertaa).

Katso myös

Matriisi normi
Matriisin determinantti
Ominaisvektorit, arvot ja avaruudet
Taulukko on ohjelmoinnin tietotyyppi, joka vastaa matriisia (moniulotteisuus saavutetaan sisäkkäisillä taulukoilla).
Harva matriisi on yksi harvojen matriisien tietokonemuodoista .
Lineaariset matriisiepäyhtälöt ovat laitteisto ohjauslakien synteesiongelmien ratkaisemiseksi.
lambda matriisi
Jordanin normaali muoto
Luettelo matriiseista

Muistiinpanot

↑ Kolmiomatriisit ymmärretään nyt matriiseiksi, joiden nollasta poikkeavat alkiot täyttävät kolmioalueen matriisitaulukossa, kun taas loput alkiot ovat nollia.
↑ Tämä isomorfismi täsmennetään täysin lineaarisen avaruuden kannan valinnalla: kiinteälle kantalle isomorfismi on kiinteä ja siten matriisien yksi-yhteen vastaavuus operaattorien kanssa toteutuu . Tämä ei tarkoita, että tällainen isomorfismi olisi periaatteessa ainutlaatuinen: toisessa kannassa samat lineaariset operaattorit vastaavat muita matriiseja (myös yksi yhteen, kun tämä uusi kanta on kiinteä).
↑ Berezkina E. I. [libgen.pw/view.php?id=1211718 Muinaisen Kiinan matematiikka] / Toim. toim. B.A. Rosenfeld. - M .: Nauka, 1980. - S. 173-206. - 312 s.
↑ Daan-Dalmedico A., Peiffer J. Ways and labyrinths. Esseitä matematiikan historiasta: Per. ranskasta - M .: Mir, 1986. - S. 397.
↑ Muodollisesti tässä määritelmässä kaikki on symmetristä, ja "pää"- ja kaksoiskannan paikkoja olisi mahdollista vaihtaa (molemmat ovat yksinkertaisesti kaksijakoisia), mutta juuri kuvattu sopimus hyväksytään.

Kirjallisuus

Bellman R. Johdatus matriisiteoriaan . - M .: Mir, 1969 (djvu).
Birkhoff G. (Garrett Birkhoff), Barty T. (Thomas C. Bartee) Moderni sovellettu algebra. - M .: Mir, 1976. - 400 s.
Van der Waerden B. L. (BL van der Waerden) Algebra. (2. painos) - M .: Nauka, 1979. - 624 s.
Gantmakher F. R. Matriisiteoria. - 5. painos - M .: Fizmatlit, 2004. - 560 s. - ISBN 5-9221-0524-8 .; (2. painos). - M .: Nauka, 1966 (djvu) .
Golub J. (Gene H. Golub), Van Lone Ch. (Charles F. Van Loan) Matriisilaskelmat. - M .: Mir, 1999. - 548 s. — ISBN 5-03-002406-9
Kurosh A. G. Korkeamman algebran kurssi. - 9. painos - M . : Nauka, 1968. - 432 s.
Kurosh A. G. Luennot yleisalgebrasta. - 2. painos - M .: Nauka, 1973. - 400 s.
Lancaster P. (P. Lankaster) Matriisien teoria / Per. englannista. - 2. painos - M .: Nauka, 1982. - 272 s.; 1. painos - M .: Nauka, 1973 (djvu) .
Leng S. (Serge Lang) Algebra. - M .: Mir, 1968. - 564 s.
Naimark M. A. Ryhmien esitysteoria. - M .: Nauka, 1976. - 560 s.
Sokolov NP Spatiaaliset matriisit ja niiden sovellukset . - M .: GIFML, 1960 (djvu).
Horn R. (Roger A. Horn), Johnson C. (Charles C. Johnson) Matriisianalyysi. - M .: Mir, 1989. - 655 s. — ISBN 5-03-001042-4
Halmos P. Äärillisulotteiset vektoriavaruudet = Äärillisulotteiset vektoriavaruudet. - M .: Fizmatgiz , 1963 . — 264 s.

Vektorit ja matriisit

Vektorit

Peruskonseptit	Vektori geometriassa Perusta Ortogonaalinen perusta Vektorikoordinaatit Kollineaarisuus Ortogonaalisuus Lineaarinen riippuvuus Saraketila
Vektorityypit	Yksikkövektori Aksiaalinen vektori isotrooppinen vektori Normaali Kollineaarisuus Nolla vektori Sädevektori Omavektori
Operaatiot vektoreille	Skalaarituote vektorituote sekoitettu tuote Pseudoskalaarinen tuote Kaksinkertainen ristituote
Tilatyypit	vektoriavaruus affinista tilaa Euklidinen avaruus Pseudoeuklidinen avaruus Normaali tila Minkowskin tila

matriiseja

Peruskonseptit	Matriisin kertolasku Transponoitu matriisi Hermitian konjugaattimatriisi Symmetrinen matriisi käänteinen matriisi Ominaisarvo Matriisin karakteristinen polynomi
Erikoismatriisit	Identiteettimatriisi Nolla matriisi Diagonaalinen matriisi lambda matriisi
Matriisihajotukset	LU:n hajoaminen Cholesky-hajoaminen QR-hajotus LUP-hajoaminen singulaariarvon hajottelu Matriisin spektrihajotus

muu