Differentiaaliyhtälö

Kokeneet kirjoittajat eivät ole vielä tarkistaneet sivun nykyistä versiota, ja se voi poiketa merkittävästi 24. tammikuuta 2022 tarkistetusta versiosta . tarkastukset vaativat 6 muokkausta .

Differentiaaliyhtälö on yhtälö , joka sisältää funktion lisäksi sen derivaatat . Yhtälöön sisältyvien johdannaisten järjestys voi olla erilainen (muodollisesti sitä ei rajoita mikään). Derivaatat, funktiot, riippumattomat muuttujat ja parametrit voivat sisältyä yhtälöön erilaisina yhdistelminä tai puuttua kokonaan, paitsi ainakin yksi derivaatta. Mikään yhtälö, joka sisältää johdannaisia tuntemattomasta funktiosta, ei ole differentiaali. Esimerkiksi, ei ole differentiaaliyhtälö [1] . $f'\left(x\right)=f\left(f\left(x\right)\right)$

Toisin kuin algebralliset yhtälöt , joiden tuloksena haetaan lukua (useita lukuja), differentiaaliyhtälöitä ratkaistaessa etsitään funktiota (funktioperhettä).

Ensimmäistä korkeampi differentiaaliyhtälö voidaan muuntaa ensimmäisen kertaluvun yhtälöjärjestelmäksi , jossa yhtälöiden lukumäärä on yhtä suuri kuin alkuperäisen differentiaaliyhtälön järjestys.

Nykyaikaiset nopeat tietokoneet antavat tehokkaasti numeerisen ratkaisun tavallisille differentiaaliyhtälöille ilman, että ne tarvitsevat sen ratkaisua analyyttisessä muodossa. Tämä antaa joidenkin tutkijoiden väittää, että ratkaisu ongelmaan saatiin, jos se oli mahdollista pelkistää tavallisen differentiaaliyhtälön ratkaisuksi .

Differentiaaliyhtälön käsitteen yleistys äärettömän muuttujajoukon tapaukseen on yhtälö funktionaalisissa derivaatoissa .

Terminologia ja luokittelu

Differentiaaliyhtälön järjestys on sen derivaattojen korkein kertaluku .

Jos differentiaaliyhtälö on polynomi suhteessa korkeimpaan derivaatan, niin tämän polynomin astetta kutsutaan differentiaaliyhtälön asteeksi . Joten esimerkiksi yhtälöon toisen asteen, neljännen asteen yhtälö[2]. $\left(y''\right)^{4}+y'+y^{6}+x^{7}=0$

Järjestyksen differentiaaliyhtälön ratkaisu ( integraali ) on funktio , jolla on derivaattoja kertaluvun mukaan lukien ja joka täyttää tämän yhtälön. Differentiaaliyhtälön ratkaisuprosessia kutsutaan integraatioksi . Differentiaaliyhtälön integrointiongelma katsotaan ratkaistuksi, jos tuntemattoman funktion löytäminen voidaan viedä kvadratuuriin (eli muotoon , jossa on alkeisfunktio), riippumatta siitä, ilmaistaanko tuloksena oleva integraali lopullisessa muodossa termeillä tunnetuista toiminnoista vai ei. $n$ $y\left(x\right)$ $\vasen(a,b\oikea)$ $y'\left(x\right),y''\left(x\right),...,y^{\left(n\right)}\left(x\right)$ $n$ $y\left(x\right)$ $y=\int f\left(x\right)\ dx$ $f \vasen( x \oikea)$

Kaikki differentiaaliyhtälöt voidaan jakaa tavallisiin differentiaaliyhtälöihin (ODE), jotka sisältävät vain yhden argumentin funktiot (ja niiden derivaatat) , ja osittaisiin differentiaaliyhtälöihin (PDE ), joissa syötetyt funktiot riippuvat monista muuttujista. On myös stokastisia differentiaaliyhtälöitä (SDE), joihin liittyy stokastisia prosesseja .

Riippuen derivaattojen, funktioiden, riippumattomien muuttujien yhdistelmistä, differentiaaliyhtälöt jaetaan lineaarisiin ja epälineaarisiin, vakio- tai muuttujakertoimiin, homogeenisiin tai epähomogeenisiin. Sovellusten tärkeydestä johtuen kvasilineaariset (lineaariset suhteessa korkeampiin derivaattaisiin) osittaisdifferentiaaliyhtälöt erotetaan omassa luokassa [3] .

Differentiaaliyhtälöiden tärkein kysymys on niiden ratkaisujen olemassaolo ja ainutlaatuisuus. Tämän kysymyksen ratkaisun antavat olemassaolo- ja ainutlaatuisuuslauseet, jotka osoittavat tähän tarvittavat ja riittävät ehdot. Tavallisille differentiaaliyhtälöille sellaiset ehdot muotoili Rudolf Lipschitz (1864). Sophia Kovalevskaya (1874) osoitti osittaisten differentiaaliyhtälöiden vastaavan lauseen .

Differentiaaliyhtälöiden ratkaisut jaetaan yleisiin ja erityisiin ratkaisuihin. Yleisiä ratkaisuja ovat määrittelemättömät vakiot ja osittaisdifferentiaaliyhtälöiden mielivaltaiset riippumattomien muuttujien funktiot, joita voidaan jalostaa lisäintegrointiehdoista (tavallisten differentiaaliyhtälöiden alkuehdot, osittaisdifferentiaaliyhtälöiden alku- ja reunaehdot). Kun osoitettujen vakio- ja epämääräisten funktioiden muoto on määritetty, ratkaisuista tulee erityisiä.

Ratkaisujen etsiminen tavallisiin differentiaaliyhtälöihin johti erikoisfunktioiden luokan perustamiseen - funktioihin, joita kohdataan usein sovelluksissa ja joita ei voida ilmaista tunnetuilla perusfunktioilla. Niiden ominaisuuksia tutkittiin yksityiskohtaisesti, arvotaulukot koottiin, keskinäiset suhteet määritettiin ja niin edelleen.

Differentiaaliyhtälöiden teorian kehittyminen mahdollisti useissa tapauksissa luopumisen tutkittavien funktioiden jatkuvuuden vaatimuksesta ja ottaa käyttöön yleistettyjä differentiaaliyhtälöiden ratkaisuja.

Historia

Aluksi differentiaaliyhtälöt syntyivät mekaniikan ongelmista , joissa piti määrittää kappaleiden koordinaatit , niiden nopeudet ja kiihtyvyydet , joita pidettiin ajan funktioina erilaisten vaikutusten alaisena. Jotkut tuolloin käsitellyt geometriset ongelmat johtivat myös differentiaaliyhtälöihin.

Differentiaaliyhtälöiden teorian perustana oli Leibnizin ja Newtonin (1642-1727) luoma differentiaalilaskenta . Itse termin "differentiaaliyhtälö" ehdotti vuonna 1676 Leibniz.

1700-luvun valtavasta määrästä differentiaaliyhtälöitä käsitteleviä töitä erottuvat Eulerin (1707-1783) ja Lagrangen (1736-1813) teokset. Näissä töissä kehitettiin ensin pienten värähtelyjen teoria ja sen seurauksena lineaaristen differentiaaliyhtälöjärjestelmien teoria; matkan varrella syntyivät lineaarisen algebran peruskäsitteet (ominaisarvot ja vektorit n - ulotteisessa tapauksessa). Newtonin jälkeen Laplace ja Lagrange ja myöhemmin Gauss (1777-1855) kehittivät myös häiriöteorian menetelmät.

Kun algebrallisten yhtälöiden ratkaisemattomuus radikaaleissa todistettiin, Joseph Liouville (1809-1882) rakensi samanlaisen teorian differentiaaliyhtälöille ja totesi useiden yhtälöiden (etenkin klassisten, kuten toisen asteen lineaariyhtälöiden) ratkaisemisen mahdottomaksi. alkeisfunktiot ja kvadratuuri. Myöhemmin Sophus Lie (1842-1899), joka analysoi kysymystä yhtälöiden integroimisesta kvadratuuriin, tuli tarpeeseen tutkia yksityiskohtaisesti diffeomorfismien ryhmiä (myöhemmin Lie-ryhmiä ) - näin syntyi yksi modernin matematiikan hedelmällisimmistä alueista. differentiaaliyhtälöiden teoriassa, jonka jatkokehitys liittyy läheisesti täysin erilaisiin kysymyksiin (valhealgebroita käsittelivät jo aikaisemmin Simeon-Denis Poisson (1781-1840) ja erityisesti Carl Gustav Jacobi (1804-1851) ).

Uusi vaihe differentiaaliyhtälöiden teorian kehityksessä alkaa Henri Poincaren (1854-1912) työstä, hänen luomastaan "laadullisesta differentiaaliyhtälöiden teoriasta" yhdessä monimutkaisten muuttujien funktioteorian kanssa, joka muodosti perustan moderni topologia . Differentiaaliyhtälöiden kvalitatiivinen teoria tai, kuten sitä nykyään yleisemmin kutsutaan, dynaamisten järjestelmien teoria, kehittyy nyt aktiivisesti ja sillä on tärkeitä sovelluksia luonnontieteissä.

Tavalliset differentiaaliyhtälöt

Tavalliset differentiaaliyhtälöt (ODE) ovat yhtälöitä, jotka riippuvat yhdestä riippumattomasta muuttujasta; he näyttävät

F\left(x,y,y',y'',...,y^{(n)}\right)=0

tai

F\left(x,y,{\frac {{\mathrm {d}}y}{{\mathrm {d}}x}},{\frac {{\mathrm {d}}^{{2}} y}{{\mathrm {d}}x^{2}}},...,{\frac {{\mathrm {d}}^{{n}}y}{{\mathrm {d}}x ^{n}}}\right)=0,

missä on tuntematon funktio (mahdollisesti vektorifunktio ; tässä tapauksessa puhutaan usein differentiaaliyhtälöjärjestelmästä), riippumattomasta muuttujasta riippuen alkuluku tarkoittaa differentiaatiota suhteessa Numeroon kutsutaan differentiaaliyhtälön järjestystä . Käytännössä tärkeimmät ovat ensimmäisen ja toisen kertaluvun differentiaaliyhtälöt. $y=y(x)$ $x,$ $x.$ $n$

Ensimmäisen asteen yksinkertaisimmat differentiaaliyhtälöt

Yksinkertaisimmat ensimmäisen kertaluvun differentiaaliyhtälöt ovat luokka ensimmäisen kertaluvun differentiaaliyhtälöitä, jotka ovat helpoimmin sovellettavissa ratkaisuun ja tutkimiseen. Se sisältää yhtälöt kokonaisdifferentiaaleissa , yhtälöt erotettavissa muuttujilla, ensimmäisen kertaluvun homogeeniset yhtälöt ja ensimmäisen kertaluvun lineaariyhtälöt. Kaikki nämä yhtälöt voidaan integroida lopulliseen muotoon.

Esityksen lähtökohtana on ensimmäisen asteen differentiaaliyhtälö, joka on kirjoitettu ns. symmetrinen muoto:

${\begin{matrix}P(t,x)dt+Q(t,x)dx=0\end{matrix}}\qquad (1),$

jossa funktiot ja ovat määriteltyjä ja jatkuvia jossain toimialueella . $P(t,x)$ $Q(t, x)$ $\Omega \subseteq {\mathbb {R}}_{{t,x}}^{2}$

Osittaisdifferentiaaliyhtälöt

Osittaiset differentiaaliyhtälöt (PDE:t) ovat yhtälöitä, jotka sisältävät useiden muuttujien tuntemattomia funktioita ja niiden osittaisia derivaattoja . Tällaisten yhtälöiden yleinen muoto voidaan esittää seuraavasti:

F\left(x_{1},x_{2},\dots ,x_{m},z,{\frac {\partial z}{\partial x_{1))},{\frac {\partial z} {\partial x_{2))},\dots ,{\frac {\partial z}{\partial x_{m))},{\frac {\partial ^{2}z}{\partial x_{1} ^{2}}},{\frac {\partial ^{2}z}{\partial x_{1}\partial x_{2}}},{\frac {\partial ^{2}z}{\partial x_{2}^{2))),\pisteet ,{\frac {\partial ^{n}z}{\partial x_{m}^{n))}\right)=0,

missä ovat riippumattomia muuttujia ja on näiden muuttujien funktio. Osittaisten differentiaaliyhtälöiden järjestys voidaan määrittää samalla tavalla kuin tavallisille differentiaaliyhtälöille. Toinen tärkeä osittaisdifferentiaaliyhtälöiden luokittelu on niiden jako elliptisiin, parabolisiin ja hyperbolisiin yhtälöihin, erityisesti toisen kertaluvun yhtälöille. $x_{1},x_{2},\pisteet ,x_{m}$ $z\!=z(x_{1},x_{2},\pisteet ,x_{m})$

Lineaariset ja epälineaariset differentiaaliyhtälöt

Sekä tavalliset differentiaaliyhtälöt että osittaiset differentiaaliyhtälöt voidaan jakaa lineaarisiin ja epälineaarisiin . Differentiaaliyhtälö on lineaarinen, jos tuntematon funktio ja sen derivaatat tulevat yhtälöön vain ensimmäiseen potenssiin (eivät kerro keskenään). Tällaisille yhtälöille ratkaisut muodostavat funktioavaruuden affiinin aliavaruuden . Lineaaristen differentiaaliyhtälöiden teoriaa on kehitetty paljon syvemmälle kuin epälineaaristen yhtälöiden teoriaa. N: nnen kertaluvun lineaarisen differentiaaliyhtälön yleinen muoto :

p_{n}(x)y^{(n)}(x)+p_{n-1}(x)y^{(n-1)}(x)+\cdots +p_{0} (x)y(x)=r(x),

jossa p i ( x ) ovat riippumattoman muuttujan tunnettuja funktioita, joita kutsutaan yhtälön kertoimilla. Oikealla puolella olevaa funktiota r ( x ) kutsutaan leikkauspisteeksi (ainoa termi, joka ei riipu tuntemattomasta funktiosta). Tärkeä erityinen lineaaristen yhtälöiden luokka ovat lineaariset differentiaaliyhtälöt, joilla on vakiokertoimet .

Lineaaristen yhtälöiden alaluokka ovat homogeenisia differentiaaliyhtälöitä - yhtälöitä, jotka eivät sisällä vapaata termiä: r ( x ) = 0 . Homogeenisille differentiaaliyhtälöille superpositioperiaate pätee : sellaisen yhtälön osaratkaisujen lineaarinen yhdistelmä on myös sen ratkaisu. Kaikkia muita lineaarisia differentiaaliyhtälöitä kutsutaan epähomogeenisiksi differentiaaliyhtälöiksi .

Epälineaarisilla differentiaaliyhtälöillä ei yleensä ole kehitetty ratkaisumenetelmiä, lukuun ottamatta tiettyjä luokkia. Joissakin tapauksissa (käyttämällä tiettyjä approksimaatioita) ne voidaan pelkistää lineaarisiksi. Esimerkiksi matemaattisen heilurin epälineaarista yhtälöä pienten amplitudien tapauksessa, kun sin y ≈ y , voidaan pitää harmonisen oskillaattorin lineaarisena yhtälönä ${\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}+\omega ^{2}\sin y=0$ ${\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}+\omega ^{2}y=0$

Esimerkkejä

$y''+9y=0$ on toisen asteen homogeeninen differentiaaliyhtälö, jolla on vakiokertoimet. Ratkaisu on funktioperhe , jossa ja ovat mielivaltaisia vakioita, jotka määritetään tietylle ratkaisulle erikseen määritellyistä alkuehdoista. Tämä yhtälö kuvaa erityisesti harmonisen oskillaattorin liikettä, jonka syklinen taajuus on 3. $y=(C_{1}\cos 3x+C_{2}\sin 3x)$ $C_{1}$ $C_{2}$
Newtonin toinen laki voidaan kirjoittaa differentiaaliyhtälön muodossa, jossa m on kappaleen massa, x on sen koordinaatti, F ( x , t ) on voima, joka vaikuttaa kappaleeseen, jonka koordinaatti on x hetkellä t . Sen ratkaisu on kehon liikerata määritellyn voiman vaikutuksesta. $m{\frac {d^{2}x}{dt^{2}}}=F(x,t),$
Besselin differentiaaliyhtälö on tavallinen lineaarinen homogeeninen toissijainen yhtälö muuttuvilla kertoimilla: Sen ratkaisut ovat ns. sylinterifunktiot - Besselin , Neumannin, Hankelin funktiot . $x^{2}{\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}+x{\frac {dy}{dx}}+(x^{2}-\alpha ^{2} )y=0.$
Esimerkki epähomogeenisesta epälineaarisesta 1. kertaluvun tavallisesta differentiaaliyhtälöstä: ${\frac {du}{dx}}=u^{2}+1.$

Seuraavassa esimerkkiryhmässä tuntematon funktio u riippuu kahdesta muuttujasta x ja t tai x ja y .

Ensimmäisen asteen homogeeninen lineaarinen osittaisdifferentiaaliyhtälö:

{\frac {\osittinen u}{\osittainen t))+t{\frac {\osittainen u}{\osittainen x))=0.

Yksiulotteinen aaltoyhtälö on toisen kertaluvun homogeeninen lineaarinen toisen kertaluvun hyperbolinen tyyppinen osittaisdifferentiaaliyhtälö, jolla on vakiokertoimet ja joka kuvaa merkkijonon värähtelyä, jos on merkkijonon poikkeama pisteessä, jonka koordinaatti on x hetkellä t , ja parametri a määrittää merkkijonon ominaisuudet: $u=u(x,t)$

{\frac {\partial {}^{2}u}{\partial t^{2}}}=a^{2}{\frac {\partial ^{2}u}{\partial x^{2} }}.

Laplacen yhtälö kaksiulotteisessa avaruudessa on homogeeninen lineaarinen elliptistä tyyppiä oleva toisen asteen osittaisdifferentiaaliyhtälö, jolla on vakiokertoimet ja joka syntyy monissa mekaniikan, lämmönjohtavuuden, sähköstaattisen ja hydrauliikan fysikaalisissa ongelmissa:

{\frac {\partial ^{2}u}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}u}{\partial y^{2}}}=0.

Korteweg-de Vriesin yhtälö , epälineaarinen kolmannen asteen osittaisdifferentiaaliyhtälö, joka kuvaa paikallaan olevia epälineaarisia aaltoja, mukaan lukien solitonit :

{\frac {\partial u}{\partial t))=6u{\frac {\partial u}{\partial x))-{\frac {\partial ^{3}u}{\partial x^{3 }}}.

Tärkeimmät differentiaaliyhtälöt

Tavalliset differentiaaliyhtälöt

Osittaisdifferentiaaliyhtälöt

Euler-Lagrangen yhtälö (klassinen Lagrangin mekaniikka )
Hamiltonin yhtälöt (klassinen Hamiltonin mekaniikka )
aaltoyhtälö
Maxwellin yhtälöt ( sähkömagnetismi )
Laplacen yhtälö
Poissonin yhtälö
Einsteinin yhtälö ( yleinen suhteellisuusteoria )
Schrödingerin yhtälö ( kvanttimekaniikka )
Diffuusioyhtälö
Lämpöyhtälö ( termodynamiikka )
Korteweg-de Vriesin yhtälö ( yksittäiset aallot )
Navier-Stokes -yhtälöt ( viskoosiset nestevirtaukset )
Eulerin yhtälö (kaasumaisten väliaineiden epämääräiset virtaukset)
Lin-Reissner-Qian yhtälö (transoniset epävakaat virtaukset)
Lamén yhtälöt ( joustoteoria )

Katso myös

Differentiaaliyhtälön yleinen ratkaisu
Differentiaaliyhtälön osaratkaisu
Ensimmäisen kertaluvun yksinkertaisimmat differentiaaliyhtälöt
erikoisratkaisu
Cauchy ongelma
Homogeeninen differentiaaliyhtälö
Epähomogeeninen differentiaaliyhtälö
Lineaarinen differentiaaliyhtälö
Bernoullin differentiaaliyhtälö
Lagrangen ja Clairautin differentiaaliyhtälöt
Riccatin yhtälö
Osittaisdifferentiaaliyhtälö
Kvasi-differentiaaliyhtälö
Murtolukudifferentiaaliyhtälö
Integro-differentiaaliyhtälöt
Suuntakenttä

Ohjelmisto

ExpressionsinBar
Vaahtera [4] : dsolve
SageMath [5]
Xcas [6] : desolve(y'=k*y, y)
Wolfram Mathematica: DSolve[lause, funktio, var], NDSolve[lause, funktio, var]

Muistiinpanot

↑ Arnold V. I. Tavalliset differentiaaliyhtälöt. - M .: Nauka, 1971, s. 16
↑ Alibekov I. Yu . Numeeriset menetelmät, U/P . - MGIU, 2008. - S. 180. - 221 s. — ISBN 9785276014623 .
↑ Rozhdestvensky B. L., Yanenko N. N. Kvasilineaaristen yhtälöiden järjestelmät ja niiden sovellukset kaasudynamiikkaan. - M.: Nauka, 1988. - 686 s.
↑ dsolve - Maple Programming Help . www.maplesoft.com. Haettu 12. toukokuuta 2020. Arkistoitu alkuperäisestä 23. marraskuuta 2013. (määrätön)
↑ Basic Algebra ja Calculus - Sage Tutorial v9.0 . doc.sagemath.org. Haettu 12. toukokuuta 2020. Arkistoitu alkuperäisestä 14. tammikuuta 2020. (määrätön)
↑ [Symbolinen algebra ja matematiikka Xcasilla http://www-fourier.ujf-grenoble.fr/~parisse/giac/cascmd_en.pdf ] . (määrätön)

Kirjallisuus

Tietosanakirjat ja hakuteokset

Differentiaaliyhtälöt // Velallinen - Eukalyptus. - M . : Soviet Encyclopedia, 1972. - ( Great Soviet Encyclopedia : [30 osassa] / päätoimittaja A. M. Prokhorov ; 1969-1978, osa 8).
Differentiaaliyhtälöt : [ arch. 10. marraskuuta 2014 ] / I. P. Makarov // Matemaattinen tietosanakirja: 5 osaa / Ch. toim. I. M. Vinogradov . - M . : Soviet Encyclopedia, 1979. - T. 2: D'Alembert-operaattori - Yhteistyöpeli. — 552 s. - 1104 jne.
Zaitsev VF , Polyanin AD Tavallisten differentiaaliyhtälöiden hakuteos. - M.: Fizmatlit , 2001.
Zaitsev V. F. , Polyanin A. D. Käsikirja ensimmäisen asteen osittaisdifferentiaaliyhtälöistä. Moskova: Fizmatlit, 2003.
Kamke E. Ensimmäisen asteen osittaisdifferentiaaliyhtälöiden käsikirja. - M.: Nauka, 1966.
Kamke E. Tavallisten differentiaaliyhtälöiden käsikirja. - M.: Nauka, 1976.
Polyanin AD Matemaattisen fysiikan lineaaristen yhtälöiden käsikirja. - M.: Fizmatlit, 2001.
Polyanin A.D. , Zaitsev V.F. Matemaattisen fysiikan epälineaaristen yhtälöiden käsikirja: Tarkat ratkaisut. - M .: Fizmatlit, 2002.

Oppaat

Arnold V. I. Tavalliset differentiaaliyhtälöt. - M.: Nauka, 1966.
Diesperov VN Luennot differentiaaliyhtälöistä [teksti]: oppikirja. ratkaisu - M., MIPT, 2017. 242 s. ISBN 978-5-7417-0630-5 .
Petrovsky IG Luennot tavallisten differentiaaliyhtälöiden teoriasta. - M.: Nauka, 1970.
Polyanin A. D. , Zaitsev V. F. , Zhurov A. I. Menetelmät matemaattisen fysiikan ja mekaniikan epälineaaristen yhtälöiden ratkaisemiseksi. - M.: Fizmatlit, 2005.
Pontryagin L. S. Tavalliset differentiaaliyhtälöt. - M.: Nauka, 1974.
Tikhonov A. N. , Samarsky A. A. Matemaattisen fysiikan yhtälöt. - M.: Nauka, 1972.
Tihonov A. N. , Vasilyeva A. B. , Sveshnikov A. G. Differentiaaliyhtälöt. - 4. painos - Fizmatlit, 2005.
Umnov A. E. , Umnov E. A. Tavallisten differentiaaliyhtälöiden teorian perusteet (pdf) (tekijän portaalissa)
Filippov AF Johdatus differentiaaliyhtälöiden teoriaan . - Toim. 2. - 2007. - 240 s. — ISBN 5354004160 .
Charles Henry Edwards, David E. Penny. Differentiaaliyhtälöt ja raja-arvoongelmat: Laskenta ja mallintaminen Mathematicalla, Maplella ja MATLAB:lla = Differentiaaliyhtälöt ja raja-arvoongelmat: laskenta ja mallintaminen. - 3. painos - M .: "Williams" , 2007. - ISBN 978-5-8459-1166-7 .
Elsgolin LE -differentiaaliyhtälöt ja variaatiolaskenta. - M.: Nauka, 1969.

Tehtäväkirjat

Krasnov M. L., Kiselev A. I., Makarenko G. I. Tavallisten differentiaaliyhtälöiden tehtävien kokoelma. - 3. painos - M .: Korkeakoulu, 1978.
Samoilenko A. M., Krivosheya S. A., Perestyuk N. A. Differentiaaliyhtälöt: Esimerkkejä ja ongelmia. - 2. painos - M .: Korkeakoulu, 1989.
Filippov AF Kokoelma differentiaaliyhtälöiden tehtäviä. - Izhevsk: Tutkimuskeskus "säännöllinen ja kaoottinen dynamiikka", 2000.

Linkit

A. D. Polyaninin toimittama verkkosivusto "Matematiikan yhtälöiden maailma" — EqWorld
Venäjänkieliset resurssit differentiaaliyhtälöistä avoimessa katalogissa .
Esimerkkejä differentiaaliyhtälöiden ratkaisemisesta
Differentiaaliyhtälöiden pikakurssi: R. V. Shaminin manuaaliset ja videoluennot
Ensimmäisen asteen differentiaaliyhtälön suuntakenttä on Lennauchfilmin tuottama opetuselokuva .

Sanakirjat ja tietosanakirjat

Bibliografisissa luetteloissa
BNF : 133183122 GND : 4012249-9 J9U : 987007553020305171 LCCN : sh85037890 NDL : 00560651 NKC : ph119444

Matematiikan alat

Portaali "Tiede"

Matematiikan perusteet joukko teoria matemaattinen logiikka logiikan algebra

Lukuteoria ( aritmetiikka )

Algebra
Algebra	Yhtälön ratkaisu
Lineaarialgebra	Vektorilaskenta matriiseja Tensorilaskenta Multilineaarinen algebra
Yleisalgebra	Kommutatiivinen algebra Edustusteoria Differentiaalialgebra Homologinen algebra Yleisalgebra Luokkateoria

Analyysi
Klassinen analyysi	Differentiaalilaskenta Integraalilaskenta
Funktion teoria	Harmoninen analyysi Quaternion Analysis Monimutkainen analyysi mittateoria Reaalimuuttujan funktioiden teoria toiminnallinen analyysi Variaatiolaskelma
Differentiaali- ja integraaliyhtälöt	Dynaamiset järjestelmät ja ergodinen teoria Differentiaaliyhtälöt tavallinen osittaisissa johdannaisissa Integraaliyhtälöt
Vektorianalyysi Globaali analyysi Katastrofi teoria Mukautettu analyysi Sujuva äärettömän pieni analyysi

Geometria ja topologia
Geometria	Algebrallinen geometria Analyyttinen geometria Euklidinen geometria Ei-euklidinen geometria Planimetria Stereometria
Topologia	Yleinen topologia Algebrallinen topologia Differentiaaligeometria ja topologia

Diskreetti matematiikka
Kombinatoriikka graafiteoria

Sovellettu matematiikka
Matemaattinen fysiikka Matemaattinen kemia matemaattinen biologia Matemaattiset tilastot Matemaattinen mallinnus Algoritmien teoria Numeeriset menetelmät matemaattinen taloustiede talousmatematiikka Todennäköisyysteoria Toimintatutkimus Peliteoria

Portaali "Matematiikka"
Luokka "Matematiikka"

Differentiaalilaskenta

Main

yksityiset näkymät

Differentiaalioperaattorit
( eri koordinaateissa )

Ensimmäinen tilaus	Nabla operaattori Kaltevuus Eroaminen Roottori Helmholtzian
toinen tilaus	Elliptinen operaattori Laplacen operaattori Laplace-vektorioperaattori D'Alembert-operaattori Laplace-Beltrami operaattori
korkeammat tilaukset	Hypoelliptinen operaattori

liittyvät aiheet

Differentiaaliyhtälöiden ratkaisumenetelmät

Ruudukkomenetelmät

Elementtimenetelmät	Elementtimenetelmä Galerkinin menetelmä Epäjatkuva Galerkin-menetelmä Moniasteinen äärellisten elementtien menetelmä Multigrid-menetelmä
Muut menetelmät	Äärillisen eron menetelmä Rajallisen tilavuuden menetelmä Godunovin menetelmä Rajaelementtimenetelmä

Ei-ruudukkomenetelmät