Erikoisratkaisu

Erityinen ratkaisu tavalliseen differentiaaliyhtälöön on tavallisten differentiaaliyhtälöiden teorian käsite, joka useimmiten liittyy yhtälöihin, joita ei ratkaista derivaatan suhteen. Erikoisratkaisuille on olemassa useita määritelmiä, jotka eivät aina vastaa toisiaan. Yksi nykyään yleisimmin käytetyistä määritelmistä on seuraava.

Määritelmä

Harkitse yhtälöä

F(x,y,y')=0,\ \ \ (1)

missä on -smooth - funktio jossain verkkotunnuksessa . Ratkaisua kutsutaan yhtälön (1) erikoisratkaisuksi , jos jokainen sitä vastaava integraalikäyrän piste on Cauchyn ongelman ratkaisun paikallisen epäyksilöllisyyden piste alkuehdon kanssa. $F(x,y,p)$ $C^1$ ${\displaystyle G\subseteq {\mathbb {R} ^{3}}_{(x,y,p)))$ $y=\psi (x),x\in \mathrm {I} \subseteq \mathbb {R} ,$ $(x_{0},\psi (x_{0})),x_{0}\in \mathrm {I} ,$

y(x_{0})=\psi (x_{0}),\ \ \ y'(x_{0})=\psi '(x_{0})

Toisin sanoen kussakin pisteessä tietty ratkaisu koskettaa toista ratkaisua, joka ei ole identtinen sen kanssa tämän pisteen millään mielivaltaisen pienellä alueella [1] . $(x,y)$

Ominaisuudet

Erityinen ratkaisu (tarkemmin sen kaavio) on yhtälön (1) integraalikäyrien perheen verhokäyrä .

Yhtälön (1) erottelukäyrä on joukko (esimerkiksi käyrä tai käyräkokoelma, mutta se voi olla myös piste tai tyhjä joukko) yhtälöiden antamalla muuttujatasolla . Yhtälön (1) erityinen ratkaisu, jos sellainen on olemassa, sisältyy aina tämän yhtälön diskriminanttikäyrään . [2] Diskriminanttikäyrä voi koostua useista käyristä, joilla on erilaiset ominaisuudet, joista osa voi olla erikoisratkaisujen kuvaajia ja osa ei. Päinvastoin ei pidä paikkaansa: diskriminanttikäyrä ei välttämättä ole yhtälön ratkaisu (ja jos on, niin se ei välttämättä ole erityinen) [2] . $(x,y)$ $F(x,y,p)=F_{p}(x,y,p)=0$

Edellä olevasta seuraa, että löytääkseen käytännössä erityisratkaisuja tietyn yhtälön yhtälöön, on ensin löydettävä sen erottelukäyrä ja sitten tarkistettava, onko se (jokainen sen haara, jos niitä on useita) erikoisratkaisu yhtälö (1), vai ei [2] .

Esimerkkejä

1. Cibrario -yhtälön diskriminanttikäyrä - koordinaattiakseli - ei ole ratkaisu, vaan sen integraalikäyrien kärkipisteiden paikka. ${\näyttötyyli (y')^{2}=x}$ $x=0$

2. Yhtälön diskriminanttikäyrä - koordinaattiakseli - on ratkaisu tähän yhtälöön, mutta sen kuvaaja ei leikkaa tämän yhtälön muiden integraalikäyrien kanssa, joten tämä ratkaisu ei ole erityinen. $(y')^{2}-y^{2}=0$ $y=0$

3. Yksinkertaisia esimerkkejä erikoisratkaisuilla varustetuista differentiaaliyhtälöistä ovat Clairaut - yhtälö ja yhtälö , joiden ei-singulaariset ratkaisut annetaan kaavalla , jossa on integrointivakio , ja erikoisratkaisulla on muoto . $(y')^{2}=y$ $y={\frac {1}{4}}(xc)^{2}$ $c$ $y = 0$

4. Yhtälön diskriminanttikäyrä koostuu kahdesta ei-leikkautuvasta haarasta: ja . Molemmat ovat tämän yhtälön ratkaisuja. Ensimmäinen niistä on kuitenkin erityinen ratkaisu, kun taas toinen ei ole: jokaisessa suoran pisteessä se koskettaa jotakin muuta tämän yhtälön integraalikäyrää, ja integraalikäyrät lähestyvät suoraa vain asymptoottisesti muodossa [3] . $(y')^{2}=4v^{3}(1-v)$ $y = 1$ $y = 0$ $y = 1$ $y = 0$ $x\to \infty$

Muistiinpanot

↑ Filippov A. F. Johdatus differentiaaliyhtälöiden teoriaan. — M.: URSS, 2007, ch. 2, kohta 8, sivu 62.
↑ 1 2 3 Filippov A. F. Johdatus differentiaaliyhtälöiden teoriaan. — M.: URSS, 2007, ch. 2, 8 kohta.
↑ Filippov A. F. Johdatus differentiaaliyhtälöiden teoriaan. — M.: URSS, 2007, ch. 2, kohta 8, esimerkki 5.

Kirjallisuus

Arnold VI Tavallisten differentiaaliyhtälöiden teorian lisäluvut. - M.: Nauka, 1978.
Arnold VI Geometriset menetelmät tavallisten differentiaaliyhtälöiden teoriassa. - Izhevsk: Udmurtin osavaltion kustantamo. un-ta, 2000.
Romanko VK Differentiaaliyhtälöiden kurssi ja variaatiolaskenta. - M.: Fizmatlit, 2001.
Filippov AF Johdatus differentiaaliyhtälöiden teoriaan. — M.: URSS, 2004, 2007.
Pavlova N.G., Remizov A.O. Johdatus singulaarisuusteoriaan . - M. : MIPT, 2022. - 181 s. - ISBN 978-5-7417-0794-4 .