Funktio (matematiikka)

Kokeneet kirjoittajat eivät ole vielä tarkistaneet sivun nykyistä versiota, ja se voi poiketa merkittävästi 4.6.2022 tarkistetusta versiosta . tarkastukset vaativat 4 muokkausta .

Funktio on matematiikassa kahden joukon elementtien välinen vastaavuus - sääntö, jonka mukaan jokainen ensimmäisen joukon elementti, jota kutsutaan määritelmäalueeksi , vastaa yhtä ja vain yhtä elementtiä toisesta joukosta, jota kutsutaan arvoalueeksi .

Matemaattinen funktion käsite ilmaisee intuitiivisen käsityksen siitä, kuinka yksi suure määrittää täysin toisen suuren arvon. Joten muuttujan arvo määrittää yksiselitteisesti lausekkeen arvon ja kuukauden arvo määrittää yksiselitteisesti sitä seuraavan kuukauden arvon. "Arjen" esimerkki toiminnasta: jokainen ihminen voidaan yksiselitteisesti määrätä biologiselle isälleen. $x$ $x^{2}$

Vastaavasti ennalta määrätty algoritmi , joka antaa syötetietojen arvon, tuottaa lähtödatan arvon.

Usein termi "funktio" viittaa numeeriseen funktioon , toisin sanoen funktioon, joka asettaa jotkin luvut linjaan toisten kanssa. Nämä funktiot esitetään kätevästi kaavioiden muodossa .

Historia

Termiä "toiminto" (hieman suppeammassa merkityksessä) käytti ensimmäisenä Leibniz (1692). Johann Bernoulli puolestaan antoi tälle termille kirjeessään Leibnizille nykyaikaista lähempänä merkityksen [1] [2] .

Aluksi funktion käsitettä ei voitu erottaa analyyttisen esityksen käsitteestä. Myöhemmin ilmestyi funktion määritelmä, jonka antoi Euler (1751), sitten Lacroix (1806), melkein nykyisessä muodossaan. Lopuksi Lobachevsky (1834) ja Dirichlet (1837) antoivat funktion yleisen määritelmän (nykyisessä muodossaan, mutta vain numeerisille funktioille ) [3] .

1800-luvun loppuun mennessä funktion käsite oli kasvanut numeeristen järjestelmien ulkopuolelle. Ensinnäkin funktion käsite laajennettiin vektorifunktioihin , Frege esitteli pian loogiset funktiot ( 1879 ), ja joukkoteorian jälkeen Dedekind ( 1887 ) ja Peano ( 1911 ) muotoilivat modernin universaalin määritelmän [2] .

Epävirallinen määritelmä

Joukkoon määriteltyä funktiota , jolla on arvot joukossa, kutsutaan "säännöksi" siten, että jokainen alkio vastaa joukossa olevaa elementtiä ja lisäksi vain yhtä [4] . $f$ $X$ $Y$ $x$ $X$ $f(x)$ $Y$

Hyväksytty merkintä: , , lyhennetty tai yksinkertaisesti . $f:X\Y:ksi$ $X{\stackrel {f}{\longrightarrow }}Y$ $f\colon x\mapsto y$ $y=f(x)$

Graafia kutsutaan , jossa on suora tulo . $f:X\Y:ksi$ ${\displaystyle \Gamma _{f}=\{\,(x,f(x))\in X\times Y\mid x\in X\,\))$ $X\kertaa Y$

Yleisesti ottaen funktion ja sen graafin käsitteet ovat ekvivalentteja, ja koska jälkimmäinen määritellään matemaattisesti tiukemmin, funktion formaalinen (joukkoteorian näkökulmasta) määritelmä on sen graafi [4] .

Toimintoja varten : $f:X\Y:ksi$

joukkoa kutsutaan tehtäväalueeksi tai funktion määrittelyalueeksi , jota merkitään tai ; $X$ $D(f)$ $\mathrm {dom} \,f$
joukkoa kutsutaan funktion alueeksi , jota merkitään tai ( ); $Y$ $E(f)$ $\mathrm {koodi} \,f$ $\mathrm {ran} \,f$
joukon jokaista elementtiä kutsutaan itsenäiseksi muuttujaksi tai funktioargumentiksi ; $x$ $X$

kiinteää elementtiä vastaavaa elementtiä kutsutaan funktion osaarvoksi pisteessä . $y=f(x)$ $x$ $x$

Huomautuksia:

Funktiota , jota kutsutaan tietyn joukon kuvaamiseksi itseensä tai muunnokseksi , erityisesti jos , niin puhutaan identtisestä muunnoksesta , jota usein merkitään . $f$ $D(f)\equiv E(f)$ $\forall x\in D(f):f(x)=x$ $\operaattorinimi{id}_X$

Jos käytetään termiä operaattori , niin operaattorin sanotaan toimivan joukosta joukkoon ja lisätään tietue . $f$ $X$ $Y$ $y=fx$
Jos he haluavat korostaa, että vastaavuussääntöä pidetään tunnetuksi, he sanovat, että joukossa on annettu funktio , joka ottaa arvot kohdasta . Jos funktio on löydettävä jonkin yhtälön ratkaisemisen tuloksena, niin sanotaan, että se on tuntematon tai implisiittisesti annettu funktio. Tässä tapauksessa funktiota pidetään edelleen annettuna, vaikkakin epäsuorasti. $X$ $f$ $Y$ $f$ $f$
Koska funktioiden yhtäläisyys (missä tahansa määritelmissään) ei sisällä vain joukkojen elementtien välisten vastaavuussääntöjen yhtäläisyyttä, vaan myös tehtäväalueiden yhtäläisyyttä, niin funktiot ja , missä on reaalilukujen joukko ja on joukko positiivisia reaalilukuja, jotka ovat eri funktioita. $f_{1}(x)=x\colon \mathbb {R} \to \mathbb {R}$ $f_{2}(x)=x\colon \mathbb {R} ^{+}\to \mathbb {R}$ $\mathbb {R}$ $\mathbb {R} ^{+}$
Funktiolle on myös operaattorimerkintä , joka löytyy yleisalgebrasta . $y=x^{f}$
Churchin lambda-laskennassa käytetään funktion merkintää . $\lambda xy$

Useita argumenttifunktioita:

Yleisesti ottaen funktio voidaan määritellä lineaarisessa avaruudessa , jolloin kyseessä on usean argumentin funktio.

Jos joukko on joukkojen karteesinen tulo , niin kuvaus (missä on reaalilukujen joukko) osoittautuu -paikkakuvaukseksi; tässä tapauksessa järjestetyn joukon elementtejä kutsutaan argumenteiksi (tietyn -local-funktion), joista jokainen kulkee oman joukkonsa läpi: $X$ $X_{1},\;X_{2},\;\ldots ,\;X_{n}$ $f\kaksoispiste X\Y:ksi$ $Y$ $n$ $x=(x_{1},\;x_{2},\;\ldots ,\;x_{n})$ $n$

x_{i}\in X_{i}

missä .

\forall i:1\leqslant i\leqslant n

Tässä tapauksessa merkintä tarkoittaa, että . $y=f(x)$ $y=f(x_{1},\;x_{2},\;\ldots ,\;x_{n})$

Tapoja määrittää funktio

Analyyttinen menetelmä

Funktio voidaan määritellä käyttämällä analyyttistä lauseketta (esimerkiksi kaavaa). Tässä tapauksessa se merkitään vastaavuudeksi tasa-arvon muodossa.

Esimerkkejä:

Yhdellä kaavalla annettu funktio:

$f(x)=x^{2}+a\sin(x)-{\frac {\pi }{\ln(x)}}\;\;(a\in \mathbb {R} ) ;$

Paloittain määritelty funktio:

$f(x)=|x|={\begin{cases}x,\;\forall x\geqslant 0,\\-x,\;\forall x<0;\end{cases))$

Epäsuorasti määritelty toiminto:

$f(x)=y:x^{2}+y^{2}=R^{2}\;(R\in \mathbb {R} ,\;R\geqslant 0);$

Graafinen tapa

Funktio voidaan määrittää myös graafin avulla. Olkoon muuttujien todellinen funktio . Sitten sen kuvaaja on joukko pisteitä -ulotteisessa avaruudessa: . Tämä pistejoukko on usein hyperpinta . Erityisesti silloin, kun funktion kuvaaja voidaan joissakin tapauksissa esittää käyrällä kaksiulotteisessa avaruudessa. $y=f(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})\;$ $n$ $(n+1)$ ${\displaystyle \{(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n},f(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})\))$ $n = 1$

Tällaista graafista esitystapaa ei voida soveltaa funktioille, joissa on vähintään kolme argumenttia. Kuitenkin jopa sellaisille funktioille voidaan keksiä visuaalinen puoligeometrinen esitys (esimerkiksi pisteen jokainen neljännen koordinaatin arvo voidaan liittää tiettyyn väriin kaaviossa, kuten tapahtuu monimutkaisten funktioiden kaavioissa ).

Arvojen luettelointi

Äärillisen joukon funktio voidaan määrittää arvotaulukolla - osoittamalla sen arvot suoraan jokaiselle määritelmäalueen elementille. Tätä menetelmää käytetään esimerkiksi Boolen funktioiden määrittämiseen . Itse asiassa tämä menetelmä on myös funktion graafin tehtävä , jos funktion kuvaajaa pidetään muodon järjestyksessä olevien parien joukkona . $f\koolon A\B$ $(x, f(x))$

Yleiset ominaisuudet

Kartoitusten kokoonpano

Annetaan kaksi kuvausta siten, että ensimmäisen arvojoukko on toisen alueen osajoukko. Sitten ensimmäisen ja toisen kuvauksen peräkkäinen toiminta ensimmäisen kuvauksen millä tahansa argumentilla täsmää yksiselitteisesti toisen kuvauksen alueen elementtiin:

$f:X\to Y,\;\;g:K\to Z\;\;(Y\alajoukko K)\;\Oikea nuoli \olemassa \;h:X\Z,\;\;h (x)=g(f(x))\;\;(\forall x\in X)$

Tällaisessa tapauksessa sitä kutsutaan kartoitusten koostumukseksi ja sitä merkitään lausekkeella , joka kuuluu " jälkeen ". Yleensä koostumus ei ole kommutatiivista : tai $h$ $f$ $g$ $g\circ f$ $g$ $f$ $g(f(x))\neq f(g(x)),$ $g\circ f\neq f\circ g.$

Injektio

Funktiota kutsutaan injektioksi (tai yksinkertaisesti injektioksi ), jos mitkä tahansa kaksi eri elementtiä joukosta liittyvät myös joukon eri (epätasa-arvoisiin) alkioihin . Muodollisemmin funktio on injektiivinen , jos . Toisin sanoen se on injektiivinen, jos . $f:X\Y:ksi$ ${\näyttötyyli x_{1},\,x_{2))$ $X$ $Y$ $f$ ${\displaystyle f(x_{1})=f(x_{2})\;\Rightarrow x_{1}=x_{2))$ $f$ $\forall x_{1},x_{2}\in X:x_{1}\neq x_{2}\Rightarrow f(x_{1})\neq f(x_{2})$

Surjektio

Funktiota kutsutaan surjektioksi (tai yksinkertaisesti surjektioksi ), jos jokainen joukon elementti voidaan liittää vähintään yhteen joukon elementtiin . Eli funktio on surjektiivinen , jos . $f:X\Y:ksi$ $Y$ $X$ $f$ $\forall y\in Y\;\exists x\in X:f(x)=y$

Tällaista kartoitusta kutsutaan myös joukosta joukkoon -kuvaukseksi . Jos surjektiivisuusehtoa rikotaan, tällaista kartoitusta kutsutaan set - to - set -kartoitukseksi . $X$ $Y$ $X$ $Y$

Bijection

Funktiota, joka on sekä surjektiivinen että injektiivinen, kutsutaan bijektiiviksi tai yksi-yhteen ( lyhyesti bijektio ).

Käänteisfunktio

Jos funktio on bijektio , niin on olemassa jolle . $f\kaksoispiste X\Y:ksi$ $f^{{-1}}\kaksoispiste Y\-X$ $x=f^{-1}(y)\;\nuoli vasemmalle y=f(x)$

Funktiota kutsutaan tässä tapauksessa käänteiseksi ; Lisäksi se on myös bijektiivinen. $f^{-1}$ $f$ $f^{-1}$

Selitys:

Koska se on injektio, yleisesti ottaen toiminto, päätelmästä seuraa, että se annetaan . Funktio on injektiivinen, koska se on funktio, ja sen surjektiivisuus seuraa sen määritelmästä. $f$ $f^{-1}$ $f$ $f^{-1}$ $Y$ $f^{-1}$ $f$

Yleensä kartoituksen, jolla on käänteinen, sanotaan olevan käännettävä . Käännettävyysominaisuus koostuu kahden ehdon samanaikaisesta täyttymisestä: ja . $f^{-1}\circ f=\operaattorinimi {id} _{X}$ $f\circ f^{-1}=\operaattorinimi {id} _{Y}$

Toiminnon supistuminen ja jatkaminen

Olkoon annettu kartoitus ja joukko, joka on joukon tiukka osajoukko $f\kaksoispiste X\Y:ksi$ $M\subsetneq X,$ $x.$

Kuvausta , joka saa samat arvot kuin funktio, kutsutaan funktion rajoitukseksi (tai muuten rajoitukseksi ) joukkoon . $g\kaksoispiste M\ Y:ksi$ $M$ $f$ $f$ $M$

Funktion rajoitus joukkoon on merkitty . $f$ $M$ $f{\big |}_{M}$

Tässä tapauksessa alkuperäistä funktiota päinvastoin kutsutaan funktion laajentamiseksi joukkoon . $f,$ $g$ $X$

Kuva ja prototyyppi

Kuva ja esikuva (kun näytetään), arvo kohdassa

Elementtiä , joka on kartoitettu elementtiin, kutsutaan elementin (pisteen) kuvaksi (kun se näytetään ) tai pisteen näyttöarvoksi . $y=f(x)$ $x$ $x$ $f$ $f$ $x$

Jos otetaan funktion määritysalueen koko osajoukko , niin tämän joukon kaikkien elementtien kuvajoukko, eli lomakkeen arvoalueen (funktio ) osajoukko $A$ $f$ $f$

f(A):=\{f(x)\kaksoispiste x\in A\}

kutsutaan kartoituksen alla olevan joukon kuvaksi . Tämä joukko on joskus merkitty tai . $A$ $f$ $fa]$ $A^{f}$

Kuvaa funktion koko alueesta kutsutaan funktion kuvaksi tai, jos funktio on surjektio , kutsutaan yleensä funktion alueeksi .

Ja päinvastoin, ottamalla jonkin osajoukon funktion arvoalueelta , voimme tarkastella funktion asetusalueen kaikkien elementtien joukkoa , jonka kuvat kuuluvat joukkoon , eli joukkoa lomake $B$ $f$ $f$ $B$

f^{{-1}}(B):=\{x\kaksoispiste f(x)\in B\}

jota kutsutaan joukon ( täydeksi ) käänteiskuvaksi (kartoitettuna ). $B$ $f$

Erityisesti kun joukko koostuu yhdestä alkiosta - sanotaan - niin joukolla on yksinkertaisempi merkintä $B$ $B=\{y\}$ $f^{{-1}}(\{y\})=\{x\colon f(x)=y\}$ $f^{{-1}}(y)$ .

Kuvien ja prototyyppien ominaisuudet

Kuvan ominaisuudet

Olkoon ja funktion asetusalueen osajoukkoja . Sitten joukkojen ja kartoituksen alla olevilla kuvilla on seuraavat ominaisuudet: $A$ $B$ $f\kaksoispiste X\Y:ksi$ $A$ $B$ $f$

$f[\varnothing ]=\varnothing$ ;
$A\neq \varnothing \Rightarrow f[A]\neq \varnothing$ ;
$A\subseteq B\Rightarrow f[A]\subseteq f[B]$ .

joukkojen liiton kuva on yhtä suuri kuin kuvien liitto: $f[A\cup B]=f[A]\cup f[B];$
joukkojen leikkauspisteen kuva on kuvien leikkauspisteen osajoukko: . $f[A\cap B]\subseteq f[A]\cap f[B]$

Kaksi viimeistä ominaisuutta voidaan yleistää mihin tahansa joukkoon.

Jos kartoitus on käännettävä (katso edellä ), niin alueen kunkin pisteen käänteiskuva on yksipisteinen, joten käänteisissä kartoituksissa seuraava vahva leikkauspisteiden ominaisuus pätee:

leikkauspisteen kuva on yhtä suuri kuin kuvien leikkauspiste: . $f[A\cap B]=f[A]\cap f[B]$

Prototyyppien ominaisuudet

Antaa ja olla joukon osajoukkoja . Sitten joukkojen ja kartoituksen alla olevilla käänteiskuvilla on seuraavat kaksi ilmeistä ominaisuutta: $A$ $B$ $Y$ $A$ $B$ $f\kaksoispiste X\Y:ksi$

Liiton esikuva on yhtä suuri kuin esikuvien liitto: ; $f^{-1}[A\cup B]=f^{-1}[A]\cup f^{-1}[B]$
Leikkauksen käänteiskuva on yhtä suuri kuin esikuvien leikkauspiste: . $f^{-1}[A\cap B]=f^{-1}[A]\cap f^{-1}[B]$

Nämä ominaisuudet voidaan yleistää mihin tahansa joukkoon.

Käyttäytyminen

Nouseva ja laskeva

Olkoon sitten annettu funktio $f\colon M\subseteq \mathbb {R} \to \mathbb {R} .$

funktiota kutsutaan ei - pieneneväksi jos $f$ $M$

(\forall x,y\in M)\ x>y\Rightarrow f(x)\geq f(y);

funktiota kutsutaan ei - nousevaksi jos $f$ $M$

(\forall x,y\in M)\ x>y\Rightarrow f(x)\leq f(y);

funktiota kutsutaan kasvavaksi jos _ $f$ $M$

(\forall x,y\in M)\ x>y\Rightarrow f(x)>f(y);

funktiota kutsutaan pieneneväksi jos _ $f$ $M$

(\forall x,y\in M)\ x>y\Rightarrow f(x)<f(y);

Ei-nousevia ja ei-laskevia toimintoja kutsutaan ( ei-tiukasti ) monotonisiksi , kun taas kasvavia ja laskevia toimintoja kutsutaan tiukasti monotonisiksi . Mielivaltaiselle funktiolle voidaan löytää monotonisuusvälit - alueen osajoukot, joilla funktio on tavalla tai toisella (tiukkaus valitaan useimmissa tapauksissa sopimuksen mukaan), on monotonisia.

Jaksoisuus

Funktiota kutsutaan jaksolliseksi jaksolla , jos yhtälö $f\kaksoispiste M\:ksi$ $T\not=0$

f(x+T)=f(x),\quad \forall x,x+T\in M

Koska funktio, joka on jaksollinen jaksolla, on myös jaksollinen muodon jaksojen kanssa , niin yleisesti ottaen funktion pienin jakso. $T$ $nT\;(n\in \mathbb {N} )$ $T$

Jos tämä yhtäläisyys ei täyty millekään , funktiota kutsutaan jaksolliseksi . $T\in M,\,T\not =0$ $f$

Pariteetti

Funktiota kutsutaan parittomaksi, jos yhtälö $f\colon X\to \mathbb {R}$

f(-x)=-f(x),\quad \forall x\in X.

Parittoman funktion kuvaaja on symmetrinen origon suhteen.

Funktiota kutsutaan vaikka yhtälö $f$

f(-x)=f(x),\quad \forall x\in X.

Parillisen funktion kuvaaja on symmetrinen y-akselin suhteen.

Funktio äärimmäinen

Olkoon funktio annettu ja piste tehtäväalueen Siis sisäpiste $f\colon X\to \mathbb {R}$ $x_{0}\in X$ $f.$

$x_{0}$ kutsutaan paikalliseksi maksimipisteeksi, jos pisteen naapurusto on sellainen, että $M$ $x_{0}$ $\forall x\in M,x\neq x_{0}\colon \quad f(x)<f(x_{0});$
$x_{0}$ kutsutaan paikalliseksi minimipisteeksi, jos pisteen naapurusto on sellainen, että $M$ $x_{0}$ $\forall x\in M,x\neq x_{0}\colon \quad f(x)>f(x_{0}).$

Funktiot joukkoteoriassa

Viitealueen ja arvoalueen luonteesta riippuen erotetaan seuraavat alueet:

abstraktit joukot - joukot ilman lisärakennetta;
sarjoja, joilla on jokin rakenne.

Tapauksessa 1 kartoituksia tarkastellaan yleisimmässä muodossa ja yleisimmät kysymykset ratkaistaan - esimerkiksi joukkojen vertaamisesta kardinaalisuuden suhteen : jos kahden joukon välillä on yksi-yhteen-kuvaus (bijection), niin nämä joukkoja kutsutaan vastaaviksi tai vastaaviksi . Näin voimme luokitella joukot niiden kardinaalisuuden mukaan, ja pienimmät niistä ovat kasvujärjestyksessä seuraavat:

äärelliset joukot - tässä joukon kardinaalisuus on sama kuin elementtien lukumäärä;
countable sets - joukot, jotka vastaavat luonnollisten lukujen joukkoa ;
jatkumon potenssijoukot (esimerkiksi todellisen suoran segmentti tai itse viiva ).

Siten saadaan seuraavan tyyppisiä kartoituksia - määritelmäalueen tehon mukaan:

äärelliset funktiot ovat äärellisten joukkojen kuvauksia;
sekvenssit — laskettavan joukon kartoitus mielivaltaiseksi joukoksi;
Continuum-funktiot ovat lukemattomien joukkojen yhdistämistä äärellisiin, laskettaviin tai lukemattomiin joukkoihin.

Tapauksessa 2 pääasiallisena tarkastelun kohteena on joukossa annettu rakenne (jossa joukon elementeillä on joitain lisäominaisuuksia, jotka yhdistävät nämä elementit, esimerkiksi ryhmissä , renkaissa , lineaarisissa tiloissa ) ja mitä tälle tapahtuu rakenne kartoituksen aikana: jos yksi-yhteen-kartoituksella tietyn rakenteen ominaisuudet säilyvät, niin sanotaan, että kahden rakenteen välille muodostuu isomorfismi . Siten eri joukoissa annettuja isomorfisia rakenteita ei yleisesti ottaen voida erottaa, joten matematiikassa on tapana sanoa, että tiettyä rakennetta pidetään " isomorfismiin asti ".

On olemassa laaja valikoima rakenteita, jotka voidaan määrittää sarjoille. Tämä sisältää:

järjestysrakenne - joukon elementtien osittainen tai lineaarinen järjestys ;
algebrallinen rakenne - groupoidi , puoliryhmä , ryhmä , rengas , runko , eheysalue tai kenttä , määritelty joukon elementeissä;
metriavaruuden rakenne - joukon elementeille asetetaan etäisyysfunktio ;
euklidisen avaruuden rakenne - skalaaritulo asetetaan joukon elementteihin ;
topologisen avaruuden rakenne - joukko " avoimia joukkoja " (jotka eivät sisällä omaa rajaansa ) on määritelty joukossa;
mitattavan avaruuden rakenne — alkuperäisen joukon osajoukkojen sigma-algebra määritellään joukossa (esimerkiksi määrittämällä suure , jolla on annettu sigma-algebra funktion määritelmän alueeksi)

Toimintoja, joilla on tietty ominaisuus, ei välttämättä ole niissä joukoissa, joilla ei ole vastaavaa rakennetta. Esimerkiksi sellaisen ominaisuuden muotoilemiseksi kuin joukolle määritetyn funktion jatkuvuus , tälle joukolle on määriteltävä topologinen rakenne .

Muunnelmia ja yleistyksiä

Osittain määritellyt funktiot

Osittain määritelty funktio joukosta joukkoon on funktio , jossa on tehtäväalue . $f$ $X$ $Y$ $f\kaksoispiste X'\Y:ksi$ $X'={\rm {Dom}}f\subsetneq X$

Jotkut kirjoittajat voivat tarkoittaa itse funktiolla vain sen kaventamista siten, että funktio määritellään kokonaan "kavennetulla" määritelmän alueella. Tässä on etunsa: esimerkiksi on mahdollista kirjoittaa , missä - tässä tapauksessa se tarkoittaa . $f\colon \mathbb {R} \to \mathbb {R}$ $f(x)=1/x,$ ${\mathop {\rm {Dom}}}f=\mathbb {R} \backslash \{0\}$

Moniarvoiset funktiot

Annetun argumentin arvon on vastattava täsmälleen yhtä funktion arvoa itse funktion määritelmän vuoksi. Mutta tästä huolimatta usein voidaan tavata niin sanottuja moniarvoisia toimintoja . Itse asiassa tämä ei ole muuta kuin kätevä merkintä funktiolle, jonka alue itsessään on joukko joukkoja.

Olkoon , missä on joukon osajoukkojen perhe . Sitten jokaiselle löytyy sarja . $f\colon X\to \mathbb {B}$ $\mathbb {B}$ $Y$ $f(x)$ $x\in X$

Funktio on yksiarvoinen , jos jokainen argumentin arvo vastaa funktion yhtä arvoa. Funktio on moniarvoinen , jos vähintään yksi argumenttiarvo vastaa kahta tai useampaa funktion arvoa [5] .

Katso myös

Muistiinpanot

↑ V. A. Zorich . Luku I. Yleisiä matemaattisia käsitteitä ja merkintää. § 3. Funktio // Matemaattinen analyysi. Osa I. - neljäs, korjattu. - M. : MTsNMO, 2002. - S. 13, 22, 25, 31. - 664 s. — ISBN 5-94057-056-9 .
↑ 1 2 Kolmogorov A. N. , Abramov A. M. , Dudnitsyn Yu. P. Algebra ja analyysin alku. Oppikirja lukion 10-11 luokalle. - M., Education, 1994. - ISBN 5-09-006088-6 . - C. 86-87
↑ G. E. Shilov . Luku 2. Joukkoteorian elementit. § 2.8. Yleinen funktion käsite. Kaavio // Matemaattinen analyysi (yhden muuttujan funktiot). - M .: Nauka, 1969. - S. 69. - 528 s.
↑ 1 2 V. A. Zorich . Luku I. Yleisiä matemaattisia käsitteitä ja merkintää. § 3. Funktio // Matemaattinen analyysi. Osa I. - neljäs, korjattu. - M. : MTsNMO, 2002. - S. 13, 22, 25, 31. - 664 s. — ISBN 5-94057-056-9 .
↑ G. Korn, T. Korn. Matematiikan käsikirja. Tiedemiehille ja insinööreille. M., 1973 Luku 4. Funktiot ja rajat, differentiaali- ja integraalilaskenta. 4.2. Toiminnot. 4.2-2. Toiminnot erityisominaisuuksilla . ( a ), s.99. . Käyttöpäivä: 26. tammikuuta 2012. Arkistoitu alkuperäisestä 19. tammikuuta 2015. (määrätön)

Kirjallisuus

Toiminto. Matemaattinen tietosanakirja / Ch. toim. Yu. V. Prokhorov. - M .: "Suuri venäläinen tietosanakirja", 1995.
Klein F. Yleinen funktion käsite . Julkaisussa: Elementary Mathematics from a Higher Point of View. T. 1. M.-L., 1933.
I. A. Lavrov jaL. L. Maksimova Osa I. Joukkoteoria//Joukkoteorian, matemaattisen logiikan ja algoritmien teorian ongelmat. -3. painos. -M.: Fizmatlit, 1995. - S. 13-21. — 256 s. —ISBN 5-02-014844-X.
J. L. Kelly . Luku 0. Alkuvaiheet// Yleinen topologia. -2. painos. -M.: Nauka, 1981. - S. 19-27. — 423 s.
A. N. Kolmogorov . Mikä on funktio // "Kvantti" : tieteellinen-pop. Fys.-Math. -lehteä - M . : "Nauka" , 1970. - Nro 1 . - S. 27-36 . — ISSN 0130-2221 .
Vilenkin N. Miten funktion käsite syntyi ja kehittyi // "Kvant" : nauch.-pop. Fys.-Math. -lehteä - M . : "Nauka" , 1977. - Nro 7 . - S. 41-45 . — ISSN 0130-2221 .
JJ O'Connor, E. F. Robertson. Toiminnan käsite . MacTutor Matematiikan historia -arkisto . Matematiikan ja tilastotieteen laitos, St Andrewsin yliopisto, Skotlanti (lokakuu 2005). (määrätön)

Sanakirjat ja tietosanakirjat

Bibliografisissa luetteloissa
BNF : 11946892t GND : 4071510-3 J9U : 987007553160705171 LCCN : sh85052327 NDL : 00564960 NKC : ph114594