Monimutkainen toiminto

Monimutkainen funktio on monimutkaisen muuttujan funktioteorian pääasiallinen tutkimuskohde , kompleksisen argumentin kompleksiarvoinen funktio: . $f\colon \mathbb {C} \to \mathbb {C}$

Reaalimuuttujan kompleksiarvoisen funktion lisäksi se voidaan esittää seuraavasti:

f(z)=u(z)+iv(z)

jossa ja ovat monimutkaisen argumentin reaaliarvoisia funktioita, joita kutsutaan vastaavasti funktion reaali- ja imaginaariosiksi . Toisin kuin todellisissa funktioissa, laajennuskomponenttien välillä on syvempi yhteys, esimerkiksi jotta funktio olisi differentioituva kompleksisen muuttujan funktiona, Cauchy-Riemannnin ehdot on täytettävä : $u(z)$ $v(z)$ $f(z)$ $f(z)$

{\frac {\partial u}{\partial x}}={\frac {\partial v}{\partial y}}

;

{\frac {\partial u}{\partial y))=-{\frac {\partial v}{\partial x))

Esimerkkejä monimutkaisen muuttujan analyyttisistä funktioista ovat: tehofunktio , eksponentiaalinen , gammafunktio , Riemannin zetafunktio , selkärangan funktio ja monet muut sekä niiden käänteisfunktiot ja mikä tahansa niiden yhdistelmä. Kompleksiluvun reaaliosa , imaginaariosa , kompleksikonjugaatio , moduuli ja argumentti eivät kuitenkaan ole kompleksimuuttujan analyyttisiä funktioita, koska ne eivät täytä Cauchy-Riemannin ehtoja. ${\mathrm {Re}}\,z$ ${\mathrm {Im}}\,z$ ${\barz}$ $r=|z|$ $\varphi (z)$

Kirjallisuus

Shabat BV Johdatus monimutkaiseen analyysiin. - M .: Nauka , 1969 . — 577 s.
Titchmarsh E. Funktioteoria: Per. englannista. - 2. painos, tarkistettu. - M .: Nauka , 1980 . — 464 s.
Privalov II Johdatus monimutkaisen muuttujan funktioteoriaan: Käsikirja korkeakouluille. - M. - L .: Valtion Kustantaja, 1927 . — 316 s.
Evgrafov M. A. Analyyttiset toiminnot. - 2. painos, tarkistettu. ja ylimääräistä - M .: Nauka , 1968 . — 472 s.
Sveshnikov A. G., Tikhonov A. N. Monimutkaisen muuttujan funktioiden teoria. - M .: Nauka, 1974. - 320 s.