Quaternion Analysis

Kvaternionianalyysi on matematiikan haara, joka tutkii kvaternionimuuttujan säännöllisiä kvaternionarvoisia funktioita . Kvaternionalgebran ei - kommutatiivisuuden vuoksi säännöllisten kvaternionifunktioiden määrittelyyn on olemassa erilaisia ei-ekvivalentteja lähestymistapoja. Tässä artikkelissa tarkastellaan pääasiassa Fueterin lähestymistapaa [1] .

Tavallisen funktion määritelmä

Harkitse operaattoria

{\bar \partial }={\frac {\partial }{\partial {\bar q))}={\frac {\partial }{\partial t))+{\vec i}{\frac {\partial }{\partial x))+{\vec j}{\frac {\partial }{\partial y))+{\vec k}{\frac {\partial }{\partial z))

Kvaternionmuuttujan funktiota kutsutaan säännölliseksi if $f\colon \mathbb {H} \to \mathbb {H}$

{\bar \partial }f=0

Harmoniset funktiot

Anna sitten ja . On helppo tarkistaa, että operaattorilla on lomake ${\bar \partial }f=0$ $\partial {\bar \partial }f=0$ $\partial {\bar \partial }$

\partial {\bar \partial }={\frac {\partial ^{2}}{\partial t^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2} ))+{\frac {\partial ^{2}}{\partial y^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}}{\partial z^{2}}}=\Delta _ {neljä}

ja on sama kuin Laplace-operaattori vuonna . Siten kaikki säännöllisen kvaternionfunktion komponentit ovat harmonisia toimintoja . Päinvastoin voidaan osoittaa, että mille tahansa harmoniselle funktiolle on olemassa säännöllinen kvaterniofunktio siten, että . Monet säännöllisten kvaterniofunktioiden ominaisuudet seuraavat välittömästi harmonisten funktioiden ominaisuuksista, erityisesti maksimiperiaate . $\mathbb {R} ^{4}$ $\mathbb {R} ^{4}$ $\tau \colon \mathbb {R} ^{4}\to \mathbb {R}$ $f$ $\tau =\operaattorinimi {Scal}\,f$

Jotkut sovellukset

Quaternioneja käytetään aktiivisesti kolmiulotteisen grafiikan laskemiseen tietokonepeleissä

Kartoitusten eriyttäminen

Antaa olla funktio, joka on määritelty kvaternionien rungossa. Voimme määritellä vasemman derivaatan käsitteen pisteessä sellaisena lukuna, että $y=f(x)$ $y'_{l}$ $x=a$

f(x)-f(a)=y'_{l}(xa)+o(xa)

missä on infinitesimaaliluku , so. $vai niin)$ $h$

\lim _{h\to 0}{\frac {|o(h)|}{|h|}}=0

Funktioiden joukko, joilla on vasen derivaatta, on rajoitettu. Esimerkiksi toiminnot kuten

y = axb

y=x^2

ei ole vasenta johdannaista.

Harkitsemme näiden funktioiden lisäystä tarkemmin.

a(x+h)b-axb=ahb

(x+h)^{2}-x^{2}=xh+hx+h^{2}

On helppo varmistaa, että ilmaisut

ahb

{\näyttötyyli xh+hx}

ovat kvaternionin lineaarisia funktioita . Tämä havainto on perustana seuraavalle määritelmälle [2] . $h$

jatkuva näyttö

f:\mathbb {H} \rightarrow \mathbb {H}

kutsutaan differentioituvaksi joukossa, jos jokaisessa pisteessä kuvauksen muutos voidaan esittää muodossa $U\subset \mathbb {H}$ $x\in U$ $f$

f(x+h)-f(x)={\frac {df(x)}{dx}}\circ h+o(h)

missä

{\frac {df(x)}{dx}}:\mathbb {H} \rightarrow \mathbb {H}

kvaternionalgebran lineaarinen kartta ja jatkuva kartta siten, että $\mathbb {H}$ $o:\mathbb {H} \rightarrow \mathbb {H}$

\lim _{a\rightarrow 0}{\frac {|o(a)|}{|a|}}=0

Lineaarinen näyttö

{\frac {df(x)}{dx))

kutsutaan kartoituksen derivaatiksi . $f$

Johdannainen voidaan esittää muodossa [3]

{\frac {df(x)}{dx}}={\frac {d_{s0}f(x)}{dx}}\otimes {\frac {d_{s1}f(x)}{ dx}}

Vastaavasti kartoitusdifferentiaalilla on muoto $f$

df={\frac {df(x)}{dx}}\circ dx=\left({\frac {d_{s0}f(x)}{dx}}\otimes {\frac {d_{ s1}f(x)}{dx}}\right)\circ dx={\frac {d_{s0}f(x)}{dx}}dx{\frac {d_{s1}f(x)}{ dx}}

Tässä oletetaan summaamista indeksin mukaan . Termien määrä riippuu funktion valinnasta . Ilmaisut $s$ $f$

{\frac {d_{s0}df(x)}{dx)),{\frac {d_{s1}f(x)}{dx))

kutsutaan derivaatan komponenteiksi.

Johdannainen täyttää yhtäläisyydet

{\frac {d(f(x)+g(x))}{dx))={\frac {df(x)}{dx))+{\frac {dg(x)}{dx }}

{\frac {df(x)g(x)}{dx}}={\frac {df(x)}{dx}}\ g(x)+f(x)\ {\frac {dg (x)}{dx}}

{\frac {df(x)g(x)}{dx}}\circ h=\left({\frac {df(x)}{dx}}\circ h\right)\ g(x )+f(x)\left({\frac {dg(x)}{dx}}\circ h\right)

{\frac {daf(x)b}{dx}}=a\ {\frac {df(x)}{dx}}\ b

{\frac {daf(x)b}{dx}}\circ h=a\left({\frac {df(x)}{dx}}\circ h\right)b

Jos , niin johdannaisella on muoto $y = axb$

{\frac {daxb}{dx}}=a\otimes b,dy={\frac {daxb}{dx}}\circ dx=a\,dx\,b

{\frac {d_{10}axb}{dx}}=a,{\frac {d_{11}axb}{dx}}=b

Jos , niin johdannaisella on muoto $y=x^2$

{\frac {dx^{2}}{dx}}=x\otimes 1+1\otimes x,dy={\frac {dx^{2}}{dx}}\circ dx=x\ ,dx+dx\,x

ja johdannaisen komponenteilla on muoto

{\frac {d_{10}x^{2}}{dx}}=x,{\frac {d_{11}x^{2}}{dx}}=1

{\frac {d_{20}x^{2}}{dx}}=1,{\frac {d_{21}x^{2}}{dx}}=x

Jos , niin johdannaisella on muoto $y=x^{-1}$

{\frac {dx^{-1}}{dx}}=-x^{-1}\otimes x^{-1},dy={\frac {dx^{-1}}{dx }}\circ dx=-x^{-1}dx\,x^{-1}

ja johdannaisen komponenteilla on muoto

{\frac {d_{10}x^{-1}}{dx}}=-x^{-1},{\frac {d_{11}x^{-1}}{dx}} =x^{-1}

Muistiinpanot

↑ Fueter, R. Über die analytische Darstellung der regulären Funktionen einer Quaternionenvariablen // Commentarii Mathematici Helvetici. - Nro 1. - Birkhäuser Basel, 1936. - P. 371-378.
↑ Aleks Kleyn , eprint arXiv:1601.03259 Arkistoitu 25. tammikuuta 2018 Wayback Machinessa Introduction into Calculus over Banach algebra, 2016
↑ Lauseke ei ole murtoluku ja sitä tulee käsitellä yhtenä merkinä. Tätä merkintää ehdotetaan yhteensopivuuden vuoksi johdannaismerkinnän kanssa. Lausekkeen arvo annettuna on kvaternion. ${\frac {d_{sp}f(x)}{dx))$ ${\frac {d_{sp}f(x)}{dx))$ $x$

Kirjallisuus

DB Sweetser , Doing Physics with Quaternions Arkistoitu 7. tammikuuta 2009 Wayback Machinessa
A. Sudbery , Quaternionic Analysis, Matematiikan laitos, Yorkin yliopisto, 1977.
V. I. Arnold , Geometry of Spherical curves and kvaternionalgebra , Uspekhi Mat. Nauk, 1995, 50:1(301), 3-68

Katso myös

Monimutkainen analyysi

Matematiikan alat

Portaali "Tiede"

Matematiikan perusteet joukko teoria matemaattinen logiikka logiikan algebra

Lukuteoria ( aritmetiikka )

Algebra
Algebra	Yhtälön ratkaisu
Lineaarialgebra	Vektorilaskenta matriiseja Tensorilaskenta Multilineaarinen algebra
Yleisalgebra	Kommutatiivinen algebra Edustusteoria Differentiaalialgebra Homologinen algebra Yleisalgebra Luokkateoria

Analyysi
Klassinen analyysi	Differentiaalilaskenta Integraalilaskenta
Funktion teoria	Harmoninen analyysi Quaternion Analysis Monimutkainen analyysi mittateoria Reaalimuuttujan funktioiden teoria toiminnallinen analyysi Variaatiolaskelma
Differentiaali- ja integraaliyhtälöt	Dynaamiset järjestelmät ja ergodinen teoria Differentiaaliyhtälöt tavallinen osittaisissa johdannaisissa Integraaliyhtälöt
Vektorianalyysi Globaali analyysi Katastrofi teoria Mukautettu analyysi Sujuva äärettömän pieni analyysi

Geometria ja topologia
Geometria	Algebrallinen geometria Analyyttinen geometria Euklidinen geometria Ei-euklidinen geometria Planimetria Stereometria
Topologia	Yleinen topologia Algebrallinen topologia Differentiaaligeometria ja topologia

Diskreetti matematiikka
Kombinatoriikka graafiteoria

Sovellettu matematiikka
Matemaattinen fysiikka Matemaattinen kemia matemaattinen biologia Matemaattiset tilastot Matemaattinen mallinnus Algoritmien teoria Numeeriset menetelmät matemaattinen taloustiede talousmatematiikka Todennäköisyysteoria Toimintatutkimus Peliteoria

Portaali "Matematiikka"
Luokka "Matematiikka"