Korteweg-de Vriesin yhtälö

Kokeneet kirjoittajat eivät ole vielä tarkistaneet sivun nykyistä versiota, ja se voi poiketa merkittävästi 24. tammikuuta 2022 tarkistetusta versiosta . tarkastukset vaativat 6 muokkausta .

Korteweg-de Vriesin yhtälö ( KdV-yhtälö ; myös kirjoitettuna de Vries , de Vries , de Vries , De Vries ; eng. Korteweg –de Vries -yhtälö ) on epälineaarinen kolmannen asteen osittaisdifferentiaaliyhtälö , jolla on tärkeä rooli epälineaaristen aaltojen teoria , pääasiassa hydrodynaamista alkuperää. Sen hankki ensimmäisenä Joseph Boussinesq vuonna 1877 [1] , mutta yksityiskohtaisen analyysin tekivät jo Diederik Korteweg ja Gustav de Vries vuonna 1895 [2] .

Yhtälö näyttää tältä:

{\frac {\partial u}{\partial t))+6u{\frac {\partial u}{\partial x))+{\frac {\partial ^{3}u}{\partial x^{3 }}}=0

Päätökset

Korteweg-de Vriesin yhtälölle on löydetty suuri määrä tarkkoja ratkaisuja, jotka ovat stationaarisia epälineaarisia aaltoja. Erityisesti tässä yhtälössä on solitonityyppisiä ratkaisuja seuraavassa muodossa:

u\left(x,t\right)={\frac {2\kappa ^{2}}{\cosh ^{2}\left[\kappa \left(x-4\kappa ^{2} t-x_{0}\oikea)\oikea]}}

missä on vapaa parametri, joka määrittää solitonin korkeuden ja leveyden sekä sen nopeuden; on myös mielivaltainen vakio, riippuen x -akselin origon valinnasta . Solitoneille erityisen tärkeää on se tosiasia, että mikä tahansa alkuperäinen häiriö, joka pienenee eksponentiaalisesti äärettömään, kehittyy ajan myötä äärelliseksi joukoksi solitoneja, jotka erotetaan avaruudessa. Näiden ratkaisujen tarkka haku voidaan suorittaa säännöllisesti käänteissirontamenetelmällä . $\kappa$ $x_{0}$

Korteweg-de Vries -yhtälön jaksollisilla ratkaisuilla on elliptisten integraalien kuvaamia cnoidaaltoja :

x-ct-x_{0}=\int \left(2E+cu^{2}-2u^{3}\right)^{-{\frac {1}{2))}du

missä c , E ovat aaltoparametrit, jotka määrittävät sen amplitudin ja jakson .

Myös Korteweg-de Vries -yhtälö sallii itse samankaltaiset ratkaisut , jotka voidaan yleensä saada käyttämällä Bäcklund-muunnoksia ja jotka ilmaistaan Painlevén yhtälön ratkaisuina .

Liikeintegraalit ja Lax-esitys

Korteweg-de Vriesin yhtälöllä on suuri merkitys integroitavien järjestelmien teorialle yhtenä yksinkertaisimmista esimerkeistä tarkasti ratkaistavasta epälineaarisesta differentiaaliyhtälöstä. Integroitavuus varmistetaan, kun yhtälössä on ääretön määrä liikeintegraaleja , joiden muoto on

I_{n}=\int _{-\infty }^{+\infty }P_{2n-1}(u,\,\partial _{x}u,\,\partial _{x}^ {2}u,\,\ldots )\,{\text{d}}x\,

missä ovat n:nnen asteen polynomit tuntemattomassa funktiossa ja sen spatiaaliset derivaatat, jotka on annettu rekursiivisesti seuraavasti: $P_{n}$

{\begin{aligned}P_{1}&=u,\\P_{n}&=-{\frac {dP_{n-1}}{dx}}+\sum _{i=1} ^{n-2}\,P_{i}\,P_{n-1-i},\quad n\geq 2.\end{aligned}}

Ne voidaan saada käyttämällä Lax-esitystä

{\frac {dL}{dt}}=[P,L]

operaattoriparin kautta

{\begin{aligned}L&=-\partial _{x}^{2}+u,\\P&=-4\partial _{x}^{3}+6u\partial _{x}+ 3u_{x}.\end{aligned}}

Lisäksi voidaan osoittaa, että Korteweg-de Vriesin yhtälöllä on bi-Hamiltonin rakenne.

Muutama ensimmäinen liikkeen integraali:

paino $\int u\,{\text{d}}x,$
pulssi $\int u^{2}\,{\text{d}}x,$
energiaa $\int \left[2u^{3}-\left(\partial _{x}u\right)^{2}\right]\,{\text{d}}x.$

Yleistykset

Hajoamisen yhteydessä Korteweg-de Vriesin yhtälö muuttuu Burgers-Korteweg-de Vries -yhtälöksi , jonka muoto on

{\frac {\partial u}{\partial t))+6u{\frac {\partial u}{\partial x))+{\frac {\partial ^{3}u}{\partial x^{3 ))}=\nu {\frac {\partial ^{2}u}{\partial x^{2))}

jossa parametri kuvaa häviön määrää. $\nu$

Kaksiulotteisessa geometriassa Korteweg-de Vriesin yhtälön yleistys on ns. Kadomtsev-Petviashvili yhtälö , jonka muoto on:

{\frac {\partial }{\partial x))\left({\frac {\partial u}{\partial t))+6u{\frac {\partial u}{\partial x))+{\frac {\partial ^{3}u}{\partial x^{3}}}\right)=\pm {\frac {\partial ^{2}u}{\partial y^{2}}}

Muistiinpanot

↑ Boussinesq J. Essai sur la theorie des eaux courantes (ranska) . - 1877. - S. 360. - 680 s.
↑ DJ Korteweg , G. de Vries . Suorakulmaisessa kanavassa etenevien pitkien aaltojen muodonmuutoksesta ja uudentyyppisistä pitkistä paikallaan olevista aalloista // Filosofinen aikakauslehti . - 1895. - Voi. 39 . - s. 422-443 .

Kirjallisuus

Dubrovin B. A., Krichever I. M., Novikov S. P. Integroitavat järjestelmät. I. - Dynaamiset järjestelmät - 4, Itogi Nauki ja Tekhniki. - M .: VINITI, 1985. - T. 4. - S. 179-284. - (Nykyajan matematiikan ongelmat. Perussuunnat).
Zakharov V. E., Manakov S. V., Novikov S. P., Pitaevskii L. P. Solitonien teoria: käänteinen ongelmamenetelmä. - 1980. - 319 s.
Korteweg-de Vriesin yhtälö - Encyclopedia of Physics -artikkeli
J. Whitham. 13.11. Korteweg-de Vriesin ja Boussinesqin yhtälö // Lineaariset ja epälineaariset aallot . - Mir, 1977. - S. 443-448. — 622 s.
Newell A. Solitons matematiikassa ja fysiikassa. - 1989. - 326 s.

Matemaattinen fysiikka

Yhtälöiden tyypit

Yhtälötyypit

Reunaehdot

Matemaattisen fysiikan yhtälöt

Diffuusio ja konvektio	Lämpöyhtälö Diffuusioyhtälö Mason-Weaverin yhtälö
Hydrodynamiikka	Siirtoyhtälö Navier-Stokes yhtälöt Eulerin yhtälö Gromeka-Lamb yhtälö Pyörreyhtälö Burgers yhtälö Matalan veden yhtälöt Korteweg-de Vriesin yhtälö
Sähkömagnetismi	Maxwellin yhtälöt Helmholtzin yhtälö Landau-Lifshitzin yhtälö Seulottu Poisson-yhtälö
Kvanttimekaniikka	Schrödingerin yhtälö Heisenbergin yhtälö Rarita-Schwinger yhtälö Hartreen yhtälö Diracin yhtälö Klein-Gordonin yhtälö
Yleiset mallit	Jatkuvuusyhtälö aaltoyhtälö Fokker-Planck yhtälö Poissonin yhtälö

Ratkaisumenetelmät

Differentiaaliyhtälöiden ratkaisumenetelmät

Ruudukkomenetelmät

Elementtimenetelmät	Elementtimenetelmä Galerkinin menetelmä Epäjatkuva Galerkin-menetelmä Moniasteinen äärellisten elementtien menetelmä Multigrid-menetelmä
Muut menetelmät	Äärillisen eron menetelmä Rajallisen tilavuuden menetelmä Godunovin menetelmä Rajaelementtimenetelmä

Ei-ruudukkomenetelmät

Yhtälötutkimus

liittyvät aiheet