Vihreän toiminto

Vihreän funktio on funktio, jota käytetään ratkaisemaan lineaarisia epähomogeenisiä differentiaaliyhtälöitä reunaehtoineen (epähomogeeninen raja -arvoongelma ). Nimetty englantilaisen matemaatikon George Greenin mukaan, joka kehitti teorian ensimmäisen kerran 1830-luvulla.

Greenin funktiot ovat hyödyllisiä sähköstatiikassa - Poissonin yhtälön ratkaisemiseen ; kondensoituneen aineen teoriassa niiden avulla voidaan ratkaista diffuusioyhtälö (ja sen kanssa yhtenevä lämpöyhtälö); kvanttimekaniikassa vihreän Hamiltonin funktio on yksi avainfunktioista ja liittyy tilojen tiheyteen. Näillä alueilla käytetyt Greenin funktiot ovat hyvin samankaltaisia, koska diffuusioyhtälöt ja Schrödingerin yhtälö ovat jossain mielessä samanlaisia. Kaikki matemaattisen ja teoreettisen fysiikan osa-alueet, jossa Greenin funktiot ovat erittäin hyödyllisiä, ehkä sitä on vaikea edes luetella. Ne auttavat löytämään kiinteitä ja ei-kiinteitä ratkaisuja, myös erilaisissa reunaehdoissa.

Hiukkasfysiikassa ja tilastofysiikassa Greenin funktioita käytetään levittäjinä Feynman - kaavioissa (ja ilmaisua "Greenin funktio" käytetään usein yleisesti korrelaatiofunktiosta kvanttikenttäteoriassa ) . Vihreän funktiota käytetään laajalti sirontateorian sovelluksissa kiinteän olomuodon fysiikkaan ( röntgendiffraktio , metallimateriaalien elektronisten spektrien laskelmat).

Määritelmä ja käyttö

Greenin lineaarisen differentiaalioperaattorin funktio, joka vaikuttaa yleistettyihin funktioihin euklidisen avaruuden osajoukossa pisteessä, on mikä tahansa yhtälön ratkaisu $G(x,s)$ $L=L(x)$ $\mathbb {R} ^{n}$ $s$

L~G(x,s)=\delta(xs)

missä on Diracin deltafunktio . Tätä Greenin funktion ominaisuutta voidaan käyttää muodon differentiaaliyhtälön ratkaisemiseen $\ \delta$

L~u(x)=f(x)

Vihreän funktio on käänteisoperaattori :lle , joten sitä merkitään usein symbolisesti nimellä . $L$ $L^{{-1}}$

Jos operaattorin ydin on ei-triviaali, Greenin funktio ei ole ainutlaatuinen. Käytännössä symmetriaperiaatteen, reunaehtojen tai muiden lisäehtojen käyttö mahdollistaa kuitenkin tietyn Greenin funktion määrittämisen. Yleisesti ottaen Vihreän funktio ei ole tavallinen, vaan yleistetty funktio , eli se voi pudota tavallisten funktioiden luokasta, esimerkiksi sillä voi olla deltafunktion muotoisia piirteitä tai sen johdannaisia. $L$

Vihreän funktio on myös hyödyllinen työkalu aaltoyhtälön, diffuusioyhtälön ja kvanttimekaanisten yhtälöiden ratkaisemiseen, joissa Hamilton-operaattorin Greenin funktiolla on ratkaiseva rooli ja se liittyy tilojen tiheyteen . Fysiikassa vihreän funktio määritellään yleensä päinvastaisella merkillä:

L~G(x,s)=-\delta (xs)

joka ei muuta sen ominaisuuksia merkittävästi.

Jos operaattori on translaation suhteen invariantti eli jos sillä on vakiokertoimet suhteessa , Greenin funktio voidaan valita konvoluutiooperaattoriksi $L$ $x$

G(x,s)=G(xs)

Tässä tapauksessa se osuu lineaaristen stationääristen järjestelmien teorian impulssisiirtofunktion kanssa .

Huomautus

Joskus, kun epähomogeeninen yhtälö sisältää vakiokertoimen oikealla puolella, eli sillä on muoto $Lf=\kappa h$ $g(x,s)$

Lf_{1}(x)=\kappa \,\delta (xs)

Tässä tapauksessa alkuperäisen epähomogeenisen yhtälön ratkaisu, jossa on mielivaltainen funktio oikealla puolella, kirjoitetaan seuraavasti $Lf=\kappa h$ $h$

f(x)=\int {\kappa \,h(s)\,g(x,s)\,ds}

↑ On selvää, että tässä osiossa kuvattu ero Vihreän funktion määritelmässä yllä olevassa artikkelissa annettuun ei koske asian ydintä, vaan ainoastaan suositeltua merkintämuotoa.

Greenin Sturm-Liouville-operaattorin funktio (yksiulotteinen tapaus)

Ongelman selvitys

Olkoon Sturm - Liouville -operaattori, muodon lineaarinen differentiaalioperaattori: $L$

L={d \yli dx}\left[p(x){d \over dx}\right]-q(x)

ja olkoon rajaehtooperaattori: $D$

Du={\begin{pmatrix}\alpha _{1}u^{\prime }(0)+\beta _{1}u(0)\\\alpha _{2}u^{\prime }(l)+\beta _{2}u(l).\end{pmatrix}}

Greenin lause

Antaa olla jatkuva funktio välissä . Oletetaan myös, että tehtävä $f(x)$ $[0,\;l]$

{\begin{matrix}Lu=f,\\Du=0\end{matrix}}

on säännöllinen, eli homogeeniseen ongelmaan on vain triviaali ratkaisu.

Sitten on ainutlaatuinen ratkaisu, joka tyydyttää järjestelmän $u(x)$

{\begin{matrix}Lu=f,\\Du=0,\end{matrix}}

jonka ilmaisu antaa

u(x)=\int \limits _{0}^{l}f(s)g(x,\;s)\,ds

missä on vihreän funktio, joka täyttää seuraavat vaatimukset (ne ovat myös Vihreän funktion ominaisuuksia): $g(x,\;s)$

$g(x,\;s)$ jatkuva sisään ja . $x$ $s$
, . _ $x\neq s$ $Lg(x,\;s)=0$
, . _ $s\neq 0,\;l$ $Dg(x,\;s)=0$
Johdannainen hyppy: . $g^{\alkuluku }(s_{{+0)),\;s)-g^{\prime }(s_{{-0)),\;s)=1/p(s)$
Symmetrinen: . $g(x,\;s)=g(s,\;x)$

Vihreän funktion löytäminen

Sarjana operaattorin ominaisfunktioiden kautta

Jos differentiaalioperaattorin ominaisvektorien ( ominaisfunktioiden ) joukko $\Psi _{n}$ $L\$

(eli joukko sellaisia funktioita , joista jokaiselle on numero , joka ) $\Psi _{n}(x)$ $\lambda _{n}\neq 0$ ${\displaystyle L\Psi _{n}=\lambda _{n}\Psi _{n))$

on valmis, niin voidaan rakentaa Greenin funktio käyttämällä ominaisvektoreita ja ominaisarvoja . $\Psi _{n}$ $\lambda_n$

Toimintojärjestelmän täydellisyys tarkoittaa suhteen toteutumista $\Psi _{n}(x)$

\delta (xx^{\prime })=\sum _{n=0}^{\infty }\Psi _{n}(x){\overline {\Psi }}_{n}(x) ^{\prime })

Sen voi osoittaa

{\displaystyle G(x,\;x^{\prime })=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {\Psi _{n}(x){\overline {\Psi } }_{n}(x^{\prime })}{\lambda _{n))))

Todellakin, toimimalla tähän summaan operaattorina, saamme deltafunktion (johtuen täydellisyyssuhteesta). $L$

(Yliviiva, , tarkoittaa monimutkaista konjugaatiota ; jos ovat reaalifunktioita , se voidaan jättää pois). ${\overline {\Psi ))$ $\Psi _{n}$

Parabolisille yhtälöille

Lämpöyhtälö , Schrödingerin yhtälö ja diffuusioyhtälöt voidaan esittää osittaisena differentiaaliyhtälönä :

$H\psi (x,\beta )=-{\frac {\partial \psi (x,\beta )}{\partial \beta ))$

(yksi)

missä on Hermitian-operaattori , ovat tilakoordinaatit $H$ $x={\mathcal {f}}x_{{1}},x_{{2}},...,x_{{n}}{\mathcal {g}}$

lämpöyhtälölle $\Delta T={\frac {c}{k}}{\frac {\partial T}{\partial t}}$

$T$ - lämpötila ,. $\beta ={\frac {k}{c}}t$

Schrödingerin yhtälölle $H\psi =-{\frac {\hbar }{i}}{\frac {\partial \psi }{\partial t}}$

$\psi$ on aaltofunktio , . $\beta ={\frac {\hbar i}{2m}}t$

diffuusioyhtälölle $\nabla ^{{2}}\psi ={\frac {1}{\lambda }}{\frac {\partial \psi }{\partial t}}$

$\psi$ on aineen pitoisuus, . $\beta =\lambda t$

Operaattorin ominaisfunktiot muodostavat täydellisen ortonormaalin järjestelmän ja täyttävät yhtälön $\varphi _{{m}}$ $H$

H\varphi _{{m}}=\lambda _{{m}}\varphi _{{m}}

Oletetaan, että yhtälön (1) ratkaisu voidaan esittää seuraavasti:

$\psi (x,\beta )=\sum _{{m=0}}^{{\infty }}A_{{m}}(\beta )\varphi _{{m}}(x)$

(2)

Korvaamalla yhtälöön (1) ratkaisun ehdotettu muoto, saamme:

H\psi =\sum _{{m=0}}^{{\infty }}A_{{m}}(\beta )H\varphi _{{m}}(x)=-\sum _{{ m=0}}^{{\infty }}\varphi _{{m}}(x){\frac {\partial }{\partial \beta }}A_{{m}}(\beta )

Tällä tavalla:

\sum _{{m=0}}^{{\infty }}[\lambda _{{m}}A_{{m}}(\beta )+{\frac {\partial }{\partial \beta } }A_{{m}}(\beta )]\varphi _{{m}}(x)=0

Tämän yhtälön tulee päteä kaikille m. Saamme yhtälön:

-\lambda _{{m}}A_{{m}}(\beta )={\frac {\partial A_{{m}}(\beta )}{\partial \beta }}

missä

A_{{m}}(\beta )=A_{{m}}(0)e^{{-\lambda _{{m}}\beta }}

Siksi alkuperäisen yhtälön (1) ratkaisu voidaan esittää seuraavasti:

\psi (x,\beta )=\sum _{{m=0}}^{{\infty }}A_{{m}}(0)e^{{-\lambda _{{m}}\beta }}\varphi _{{m}}(x)

Ottaen huomioon sarjan (2) tasaisesti suppenevan, voimme havaita, että:

A_{{m}}(\beta )=\int \varphi _{{m}}^{{*}}(x)\psi (x,\beta )d\tau

missä on äänenvoimakkuuselementti. $d\tau =dx_{{1}}dx_{{2}}...dx_{{n}}$

Tästä kaavasta seuraa:

A_{{m}}(0)=\int \varphi _{{m}}^{{*}}(x)\psi (x,0)d\tau

Joten, jos alkutila on annettu, niin

\psi (x,\beta )=\sum _{{m=0}}^({\infty }}\int \psi (x',0)\varphi _{{m}}^{{*}} (x')\varphi _{{m}}(x)e^{{-\lambda _{{m}}\beta }}d\tau '

Tämä yhtälö voidaan kirjoittaa kätevämmässä muodossa:

\psi (x,\beta )=\int \langle x|G(\beta )|x'\rangle \psi (x',0)d\tau '

missä:

\langle x|G(\beta )|x'\rangle =\sum _{{m=0}}^({\infty }}\varphi _{{m}}^{{*}}(x') \varphi _{{m}}(x)e^{{-\lambda _{{m}}\beta }}

Tätä lauseketta kutsutaan Greenin funktioksi yhtälölle (1).

Greenin funktio laplaisille

Greenin funktio laplaiselle voidaan johtaa Greenin lauseesta .

Greenin lauseen saamiseksi aloitetaan Gaussin laista :

\int \limits _{V}\nabla \cdot {\hat A}\ dV=\int \limits _{S}{\hat A}\cdot d{\hat \sigma }

Hyväksymme ja korvaamme Gaussin lain. Lasketaan ja sovelletaan operaattorin ketjusääntöä : $A=\varphi \nabla \psi -\psi \nabla \varphi$ $\nabla \cdot {\hat A}$ $\nabla$

\nabla \cdot {\hat A}=\nabla \cdot (\varphi \nabla \psi -\psi \nabla \varphi )=

=(\nabla \varphi )\cdot (\nabla \psi )+\varphi \nabla ^{2}\psi -(\nabla \varphi )\cdot (\nabla \psi )-\psi \nabla ^{2} \varphi =\varphi \nabla ^{2}\psi -\psi \nabla ^{2}\varphi

Kun tulos korvataan Gaussin lauseella, saadaan Greenin lause:

\int \limits _{V}(\varphi \nabla ^{2}\psi -\psi \nabla ^{2}\varphi )\ dV=\int \limits _{S}(\varphi \nabla \psi - \psi \nabla \varphi )\cdot d{\hat \sigma}

Olettaen, että lineaarinen differentiaalioperaattorimme on Laplacian , ja että meillä on sille Greenin funktio . Vihreän funktion määritelmä voidaan tässä tapauksessa kirjoittaa seuraavasti: $L$ $\nabla ^{2}$ $G$

LG(x,\;x^{\prime })=\nabla ^{2}G(x,\;x^{\prime })=\delta (xx^{\prime })

Laitamme Greenin lauseen. Sitten saamme: $\psi=G$

\int \limits _{V}(\varphi (x^{\prime })\delta (xx^{\prime })-G(x,\;x^{\prime })\nabla ^{2}\ varphi (x^{\prime }))\ d^{3}x^{\prime }=

=\int \limits _{S}(\varphi (x^{\prime })\nabla ^{\prime }G(x,\;x^{\prime })-G(x,\;x^{ \prime })\nabla ^{\prime }\varphi (x^{\prime }))\cdot d{\hat \sigma }^{\prime }

Lausekkeen avulla voimme ratkaista Laplacen yhtälön ( ) ja Poissonin yhtälön ( ) Neumannin tai Dirichletin rajaehdoin. Toisin sanoen, voimme löytää ratkaisun kaikkialta tietyn alueen sisällä, jos (1) arvo annetaan tämän alueen rajalla ( Dirichlet -rajaehdot ) tai (2) normaali derivaatta annetaan tämän alueen rajalla ( Neumannin rajaehdot). $\nabla ^{2}\varphi (x)=0$ $\nabla ^{2}\varphi (x)=-4\pi \rho (x)$ $\varphi(x)$ $\varphi(x)$ $\varphi(x)$

Olkaamme kiinnostuneita ratkaisusta toimialueen sisällä. Tässä tapauksessa integraali yksinkertaistuu delta-funktion pääominaisuuden vuoksi , ja meillä on: $\varphi(x)$ $\int \limits _{V}\varphi (x^{\prime })\delta (xx^{\prime })\ d^{3}x^{\prime }$ $\varphi(x)$

\varphi (x)=\int \limits _{V}G(x,\;x^{\prime })\rho (x^{\prime })\ d^{3}x^{\prime }+ \int \limits _{S}(\varphi (x^{\prime })\nabla ^{\prime }G(x,\;x^{\prime })-G(x,\;x^{\ alkuluku })\nabla ^{\prime }\varphi (x^{\prime }))\cdot d{\hat \sigma }^{\prime }

Tämä kaava ilmaisee harmonisten funktioiden hyvin tunnetun ominaisuuden , joka koostuu siitä, että jos normaalin derivaatan arvo alueen rajalla tunnetaan, niin kaikki funktion arvot missä tahansa tämän alueen sisäpisteessä ovat myös tunnettu.

Sähköstatiikassa se ymmärretään sähköstaattiseksi potentiaaliksi , sähkövarauksen tiheydeksi ja normaaliderivaatta sähkökentän normaaliksi komponentiksi. $\varphi(x)$ $\rho (x)$ $\nabla \varphi (x^{\prime })\cdot d{\hat \sigma }^{\prime }$

Kun ratkaistaan Dirichlet- raja-arvotehtävää , valitaan Greenin funktio muodossa . Tämä toiminto katoaa, kun tai on käyttöliittymässä; ja päinvastoin, Neumannin raja-arvotehtävää ratkaistaessa tulee valita Greenin funktio siten, että sen normaali derivaatta katoaa pinnalle. Siten vain toinen kahdesta termistä jää integraaliin pinnan yli. $G(x,\;x^{\alkuluku })$ $x$ $x^\prime$

Rajaehtojen puuttuessa vihreän funktio laplaiselle on muotoa:

G({\hat x},\;{\hat x}^{\prime })={\frac {1}{\left|{\hat x}-{\hat x}^{\prime }\right |}}

Ottaen rajapinnan äärettömän suureksi ja korvaamalla Greenin funktion tähän lausekkeeseen, tulemme samanlaiseen lausekkeeseen sähköpotentiaalille sähkövaraustiheyden suhteen .

\varphi (x)=\int \limits _{V}{\frac {\rho (x^{\prime })}{\left|{\hat x}-{\hat x}^{\prime }\ oikea|}}\ d^{3}x^{\alkuluku }

Esimerkki

(Tämä esimerkki toimii havainnollistavana kappaleen Greenin Sturm-Liouville-operaattorin funktiota (yksiulotteinen tapaus) , ja tässä kuvatut pohdinnat havainnollistavat lauseen kohtia vastaavasta kappaleesta, jonka kohtiin on viittauksia alla oleva teksti).

Tehtävä annettu

{\begin{matrix}Lu\end{matrix}}=u^{{\prime \prime }}+u=f(x)

;

u(0)=0,\quad u\left({\frac {\pi }{2))\right)=0

Etsi Vihreän funktio.

Ensimmäinen askel: Vihreän funktion on tässä tapauksessa määritelmän mukaan oltava ratkaisu yhtälöön $g(x,s)$

$g^{{\prime \prime }}+g=\delta (xs)$

(3)

jossa kaksi vetoa merkitsevät toista derivaatta suhteessa . $x$

Sillä , jossa -funktio on nolla, tämä yhtälö pelkistetään homogeeniseksi (mainitun lauseen kohta 2): $x\neq s$ $\delta$

g^{{\prime \prime }}+g=0

eli kaikille pisteille paitsi , Vihreän funktio on tällaisen homogeenisen yhtälön ratkaisu. $s$

Tällaisen yhtälön yleinen ratkaisu

g=A\cos x+B\sin x

missä ja ovat vakioita (eivät riipu ). $A$ $B$ $x$

Siten sillä on oltava täsmälleen tämä muoto kaikkialla, paitsi pisteessä , lisäksi sen vasemmalla ja oikealla puolella kertoimilla ja voi (ja tulee) olemaan eri arvot. $g(x,s)$ $s$ $A$ $B$

Asetamme Greenin funktiolle reunaehdot, jotka ovat yhtäpitäviä alkuperäisen ongelman reunaehtojen kanssa (alkuhuomautuksessa mainitun lauseen kohta 3). Vihreän funktio tällä tavalla asetetuilla reunaehdoilla on kätevä, koska tällaisten Greenin funktioiden summaamalla tai integroimalla rakennetut ratkaisut täyttävät automaattisesti nämä reunaehdot.

Vasemmasta reunaehdosta: - Vihreän funktiolle asetettuna näemme, että yleisen ratkaisukertoimen on oltava nolla, eli $u(0)=0$ $x<s$ $A$ $x<s$

g(x,\;s)=B\cdot \sin x

Samalla tavalla oikeasta reunaehdosta: - saamme kertoimen, joka on yhtä suuri kuin nolla , eli $u\left({\frac {\pi }{2}}\right)=0$ $B$ $x>s$

g(x,\;s)=A\cdot \cos x

Tämän seurauksena, kun otetaan huomioon, että kertoimet ja yleisesti ottaen voivat riippua , voimme kirjoittaa: $A$ $B$ $s$

g(x,\;s)=\left\{{\begin{matriisi}B(s)\sin x,\;\;x<s\\A(s)\cos x,\;\;s< x\end{matrix}}\right.

Toinen vaihe:

Meidän on määriteltävä ja . $A(s)$ ${\näyttötyyli B(t)}$

Integroimalla kahdesti yhtälön (3) vasen ja oikea puoli oikeanpuoleisen delta-funktion kanssa, näemme, että Greenin funktion on oltava jatkuva (mainitun lauseen piste 1), ja siten ehto ratkaisun ja :n yhteensovittamiselle : $x<s$ $x>s$

B(s)\sin s=A(s)\cos s

Integroimalla saman yhtälön vasemman ja oikean osan välillä saamme ehdon ensimmäisen derivaatan hyppylle (lauseen kohta 4) ja käyttämällä sitä, saamme: $x=s-\varepsilon$ $x=s+\varepsilon$

$g'(s_{{+0}},s)-g'(s_{{-0}},s)=-A(s)\cdot \sin sB(s)\cdot \cos s=1$ .

Käyttämällä Cramerin sääntöä tai yksinkertaisesti arvaamalla näiden kahden yhtälön järjestelmän ratkaisu, saamme sen

$A(s)=-\sin s;\quad B(s)=-\cos s$ .

Nämä lausekkeet täyttävät lauseen kohdan 5 ehdon.

Sitten ongelman vihreän funktio:

g(x,\;s)=\left\{{\begin{matrix}-1\cdot \cos s\cdot \sin x,\;\;x<s\\-1\cdot \sin s\cdot \cos x,\;\;s<x\end{matrix}}\right.

joka voidaan kirjoittaa nimellä

g(x,\;s)={\frac 12}\left(\sin \left|xs\right|-\sin(x+s)\right).

Taulukko Greenin funktioilla

Tässä taulukossa luetellaan Greenin funktiot yleisesti esiintyville differentiaalioperaattoreille, joissa , , on Heaviside-funktio , on Besselin funktio , on ensimmäisen tyypin muunneltu Besselin funktio ja on toisen tyypin muunneltu Besselin funktio . [2] Missä aika ( t ) näkyy ensimmäisessä sarakkeessa ja syy-Greenin funktiot näytetään . ${\displaystyle \textstyle r={\sqrt {x^{2}+y^{2}+z^{2))))$ ${\displaystyle \textstyle \rho ={\sqrt {x^{2}+y^{2))))$ $\textstyle \Theta (t)$ $\textstyle J_{\nu }(z)$ $\textstyle I_{\nu }(z)$ $\textstyle K_{\nu }(z)$ $G^{A}$

Differentiaalioperaattori L	Vihreän funktio G	Sovellusesimerkki
${\displaystyle \partial _{t}^{n+1))$	${\frac {t^{n}}{n!}}\Theta (t)$
$\partial _{t}+\gamma$	${\displaystyle \Theta (t)\mathrm {e} ^{-\gamma t))$
$\left(\partial _{t}+\gamma \right)^{2}$	${\displaystyle \Theta (t)t\mathrm {e} ^{-\gamma t))$
${\displaystyle \partial _{t}^{2}+2\gamma \partial _{t}+\omega _{0}^{2))$	$\Theta (t)\mathrm {e} ^{-\gamma t}~{\frac {\sin(\omega t)}{\omega }}$ , ${\displaystyle \omega ={\sqrt {\omega _{0}^{2}-\gamma ^{2))))$	Harmoninen oskillaattori
$\Delta _{\text{2D}}=\osittais _{x}^{2}+\osittinen _{y}^{2}$	${\frac {1}{2\pi }}\ln \rho$ , ${\displaystyle \rho ={\sqrt {x^{2}+y^{2))))$	Poissonin yhtälö
$\Delta _{\text{3D}}=\osittinen _{x}^{2}+\osittainen _{y}^{2}+\osittainen _{z}^{2}$	${\frac {-1}{4\pi r))$ , ${\displaystyle r={\sqrt {x^{2}+y^{2}+z^{2))))$	Poissonin yhtälö
$\Delta _{\text{3D}}+k^{2}$	${\frac {-\mathrm {e} ^{-ikr}}{4\pi r}}=i{\sqrt {\frac {k}{32\pi r}}}$ $H_{1/2}^{(2)}(kr)$ $=i{\frac {k}{4\pi }}\,$	kiinteä 3D Schrödingerin yhtälö vapaalle hiukkaselle
${\displaystyle \Delta -k^{2))$ avaruudessa mitoineen $n$	$-(2\pi )^{-n/2}\left({\frac {k}{r}}\oikea)^{n/2-1}K_{n/2-1}(kr )$	Mahdollinen Yukawa , levittäjä
${\displaystyle \partial _{t}^{2}-c^{2}\partial _{x}^{2))$	${\frac {1}{2c}}\Theta (t-\|x/c\|)$	1D -aaltoyhtälö
$\partial _{t}^{2}-c^{2}\Delta _{\text{2D))$	${\frac {1}{2\pi c{\sqrt {c^{2}t^{2}-\rho ^{2))))}\Theta (t-\rho /c)$	2D -aaltoyhtälö
$\square ={\frac {1}{c^{2}}}\partial _{t}^{2}-\Delta _{\text{3D}}$	${\frac {\delta (t-{\frac {r}{c)))}{4\pi r))$	3D -aaltoyhtälö
${\displaystyle \partial _{t}-k\partial _{x}^{2))$	$\Theta (t)\left({\frac {1}{4\pi kt}}\oikea)^{1/2}\mathrm {e} ^{-x^{2}/4kt}$	1D diffuusioyhtälö
$\partial _{t}-k\Delta _{\text{2D))$	$\Theta (t)\left({\frac {1}{4\pi kt}}\oikea)\mathrm {e} ^{-\rho ^{2}/4kt}$	2D diffuusioyhtälö
$\partial _{t}-k\Delta _{\text{3D))$	$\Theta (t)\left({\frac {1}{4\pi kt}}\oikea)^{3/2}\mathrm {e} ^{-r^{2}/4kt}$	3D diffuusioyhtälö
${\frac {1}{c^{2}}}\partial _{t}^{2}-\partial _{x}^{2}+\mu ^{2}$	${\frac {1}{2}}\left[\left(1-\sin {\mu ct}\right)(\delta (ct-x)+\delta (ct+x))+\ mu \Theta (ct-\|x\|)J_{0}\left(\mu u\right)\right],\,u={\sqrt {c^{2}t^{2}-x^{2 }}}$	1D Klein-Gordon yhtälö
${\frac {1}{c^{2}}}\partial _{t}^{2}-\Delta _{\text{2D}}+\mu ^{2}$	${\frac {1}{4\pi }}\left[(1+\cos {(\mu ct)}){\frac {\delta (ct-\rho )}{\rho }}+ \mu ^{2}\Theta (ct-\rho )\operaattorin nimi {sinc} {(\mu u)}\right],\,u={\sqrt {c^{2}t^{2}-\ rho ^{2}}}$	2D Klein-Gordon yhtälö
$\square +\mu ^{2}$	${\frac {1}{4\pi }}\left[{\frac {\delta \left(t-{\frac {r}{c}}\right)}{r}}+\mu c\Theta (ct-r){\frac {J_{1}\left(\mu u\right)}{u}}\right],\,u={\sqrt {c^{2}t^{ 2}-r^{2}}}$	3D Klein-Gordon yhtälö
${\displaystyle \partial _{t}^{2}+2\gamma \partial _{t}-c^{2}\partial _{x}^{2))$	${\frac {1}{2}}e^{-\gamma t}\left[\delta (ct-x)+\delta (ct+x)+\Theta (ct-\|x\|)\ vasen({\frac {\gamma }{c}}I_{0}\left({\frac {\gamma u}{c}}\right)+{\frac {\gamma t}{u}}I_{ 1}\left({\frac {\gamma u}{c}}\right)\right)\right],\,u={\sqrt {c^{2}t^{2}-x^{2 }}}$	lennätin yhtälö
$\partial _{t}^{2}+2\gamma \partial _{t}-c^{2}\Delta _{\text{2D))$	${\frac {e^{-\gamma t}}{4\pi }}\left[(1+e^{-\gamma t}+3\gamma t){\frac {\delta (ct -\rho )}{\rho }}+\Theta (ct-\rho )\left({\frac {\gamma \sinh \left({\frac {\gamma u}{c}}\oikea)}{ cu))+{\frac {3\gamma t\cosh \left({\frac {\gamma u}{c))\right)}{u^{2))}-{\frac {3ct\sinh \ vasen({\frac {\gamma u}{c}}\right)}{u^{3}}}\oikea)\oikea],\,u={\sqrt {c^{2}t^{2 }-\rho ^{2}}}$	2D relativistinen lämpöyhtälö
$\partial _{t}^{2}+2\gamma \partial _{t}-c^{2}\Delta _{\text{3D))$	${\frac {e^{-\gamma t}}{20\pi }}\left[\left(8-3e^{-\gamma t}+2\gamma t+4\gamma ^{2 }t^{2}\oikea){\frac {\delta (ct-r)}{r^{2))}+{\frac {\gamma ^{2)){c))\Theta (ct- r)\left({\frac {1}{cu}}I_{1}\left({\frac {\gamma u}{c}}\right)+{\frac {4t}{u^{2} }}I_{2}\left({\frac {\gamma u}{c}}\right)\right)\right],\,u={\sqrt {c^{2}t^{2}- r^{2}}}$	3D-relativistinen lämpöyhtälö

Muita esimerkkejä

Olkoon joukko annetaan ja operaattori yhtä suuri . Tällöin Heaviside-funktio on vihreän funktio at . $\mathbb {R}$ $\L$ $\d/dx$ $\ H(x-x_{0})$ $\L$ $\ x_0$
Olkoon jakosarja tason ensimmäisen neljänneksen mukaan ja se on Laplace-operaattori. Oletetaan myös, että , Dirichlet-rajaehdot on asetettu, ja , Neumannin reunaehdot ovat asetettu. Sitten vihreän funktio saa muodon ${(x,\;y):\;x,\;y\geqslant 0}$ $\L$ $\x=0$ $\y=0$

G(x,\;y,\;x_{0},\;y_{0})={\frac {1}{2\pi }}\left[\ln {\sqrt {(x-x_{0) })^{2}+(y-y_{0})^{2}}}-\ln {\sqrt {(x+x_{0})^{2}+(y-y_{0})^ {2}}}\oikea]+

+{\frac {1}{2\pi }}\left[\ln {\sqrt {(x-x_{0})^{2}+(y+y_{0})^{2}}}- \ln {\sqrt {(x+x_{0})^{2}+(y+y_{0})^{2))}\oikea].

Katso myös

Muistiinpanot

↑ Li Tsung-dao Matemaattiset menetelmät fysiikassa. - M.: Mir, 1965. - s. 200
↑ Jotkut esimerkit on otettu julkaisusta Schulz, Hermann: Physik mit Bleistift. Frankfurt am Main: Deutsch, 2001. ISBN 3-8171-1661-6 (saksa)

Kirjallisuus

Eyges, Leonard, The Classical Electromagnetic Field , Dover Publications, New York, 1972. ISBN 0-486-63947-9 . (Lukussa 5 on hyvin selkeä kuvaus Greenin funktioiden käytöstä sähköstaattisten raja-arvoongelmien ratkaisemisessa.)
AD Polyanin ja VF Zaitsev, Handbook of Exact Solutions for Ordinary Differential Equations (2. painos) , Chapman & Hall/CRC Press, Boca Raton, 2003. ISBN 1-58488-297-2
AD Polyanin, Handbook of Linear Partial Differential Equations for Engineers and Scientists , Chapman & Hall/CRC Press, Boca Raton, 2002. ISBN 1-58488-299-9

Matemaattinen fysiikka

Yhtälöiden tyypit

Yhtälötyypit

Reunaehdot

Matemaattisen fysiikan yhtälöt

Diffuusio ja konvektio	Lämpöyhtälö Diffuusioyhtälö Mason-Weaverin yhtälö
Hydrodynamiikka	Siirtoyhtälö Navier-Stokes yhtälöt Eulerin yhtälö Gromeka-Lamb yhtälö Pyörreyhtälö Burgers yhtälö Matalan veden yhtälöt Korteweg-de Vriesin yhtälö
Sähkömagnetismi	Maxwellin yhtälöt Helmholtzin yhtälö Landau-Lifshitzin yhtälö Seulottu Poisson-yhtälö
Kvanttimekaniikka	Schrödingerin yhtälö Heisenbergin yhtälö Rarita-Schwinger yhtälö Hartreen yhtälö Diracin yhtälö Klein-Gordonin yhtälö
Yleiset mallit	Jatkuvuusyhtälö aaltoyhtälö Fokker-Planck yhtälö Poissonin yhtälö

Ratkaisumenetelmät

Differentiaaliyhtälöiden ratkaisumenetelmät

Ruudukkomenetelmät

Elementtimenetelmät	Elementtimenetelmä Galerkinin menetelmä Epäjatkuva Galerkin-menetelmä Moniasteinen äärellisten elementtien menetelmä Multigrid-menetelmä
Muut menetelmät	Äärillisen eron menetelmä Rajallisen tilavuuden menetelmä Godunovin menetelmä Rajaelementtimenetelmä

Ei-ruudukkomenetelmät

Yhtälötutkimus

liittyvät aiheet