Gaussin lause

Kokeneet kirjoittajat eivät ole vielä tarkistaneet sivun nykyistä versiota, ja se voi poiketa merkittävästi 2. helmikuuta 2021 tarkistetusta versiosta . tarkastukset vaativat 4 muokkausta .

Gaussin lause (Gaussin laki ) on yksi sähködynamiikan peruslaeista ja se sisältyy Maxwellin yhtälöjärjestelmään . Ilmaisee yhteyden (eli tasa-arvon vakiokertoimeen asti) mielivaltaisen muotoisen suljetun pinnan läpi kulkevan sähkökentän voimakkuuden virtauksen ja tämän pinnan rajoittaman tilavuuden sisällä olevien varausten algebrallisen summan välillä. Käytetään yksinään sähköstaattisten kenttien laskemiseen.

Samanlainen lause, myös yksi Maxwellin yhtälöistä, on olemassa myös magneettikentällä ( katso alla ).

Lisäksi Gaussin lause pätee kaikkiin kenttiin, joissa superpositioperiaate ja Coulombin laki tai sen analogi ovat molemmat tosia (esimerkiksi Newtonin painovoimalle). Samalla sitä pidetään Coulombin lakia perustavanlaatuisempana, koska se mahdollistaa erityisesti Coulombin lain etäisyyden [1] johtamisen "ensimmäisistä periaatteista" eikä oleta sitä (tai ei löytää se empiirisesti).

Tätä voidaan pitää Gaussin lauseen (Gaussin lain) perustavanlaatuisena merkityksenä teoreettisessa fysiikassa.

Gaussin teoreemalla on analogeja (yleisyksiä) monimutkaisemmille kenttäteorioille kuin sähködynamiikkaan.

Gaussin lause sähkökentän voimakkuudesta tyhjiössä

Yleinen muotoilu : Sähkökentän voimakkuusvektorin virtaus minkä tahansa mielivaltaisesti valitun suljetun pinnan läpi on verrannollinen tämän pinnan sisällä olevaan sähkövaraukseen .

GHS	SI
$\Phi _{{\mathbf {E}}}=4\pi Q,$	$\Phi _{{\mathbf {E}}}={\frac {Q}{\varepsilon _{0}}},$

missä

$\Phi _{{\mathbf {E}}}\equiv \oint \limits _{S}{\mathbf {E}}\cdot {\mathrm {d}}{\mathbf {S}}$ on sähkökentän voimakkuusvektorin virtaus suljetun pinnan läpi . $S$
$K$ on pintaa rajoittavan tilavuuden sisältämä kokonaisvaraus . $S$
$\varepsilon_{0}$ on sähkövakio .

Tämä lauseke on Gaussin lause integraalimuodossa.

Huomautus : Jännitysvektorin virtaus pinnan läpi ei riipu varauksen jakautumisesta (varausten järjestyksestä) pinnan sisällä.

Differentiaalimuodossa Gaussin lause ilmaistaan seuraavasti:

GHS	SI
${\mathrm {div}}\,{\mathbf {E}}\equiv \nabla \cdot {\mathbf {E}}=4\pi \rho ,$	${\mathrm {div}}\,{\mathbf {E}}\equiv \nabla \cdot {\mathbf {E}}={\frac {\rho }{\varepsilon _{0}}}.$

Tässä on tilavuusvarauksen tiheys (väliaineen läsnä ollessa vapaiden ja sidottujen varausten kokonaistiheys) ja se on nabla-operaattori . $\rho$ $\nabla$

Gaussin lause voidaan todistaa sähköstaattiseksi teoreemaksi Coulombin laista ja superpositioperiaatteesta ( ks. alla ). Kaava on kuitenkin totta myös sähködynamiikassa, vaikka siinä se ei useimmiten toimi todistettuna lauseena, vaan olettaa olevana yhtälönä (tässä mielessä ja kontekstissa on loogisempaa kutsua sitä Gaussin laiksi [2] ).

Kaarevassa aika-avaruudessa sähkömagneettisen kentän virtaus suljetun pinnan läpi ilmaistaan muodossa , missä on valon nopeus ; tarkoittaa sähkömagneettisen kentän tensorin aikakomponentteja ; on metrisen tensorin determinantti ; on varausta ympäröivän kaksiulotteisen pinnan ortonormaali elementti ; indeksit ja eivät vastaa toisiaan. [3] $\Phi _{\mathbf {E} }=c\oint \limits _{S}F^{\kappa 0}{\sqrt {-g}}\mathrm {d} S_{\kappa }$ $c$ $F^{\kappa 0}$ $g$ ${\displaystyle \mathrm {d} S_{\kappa }=\mathrm {d} S^{ij}=\mathrm {d} x^{i}\mathrm {d} x^{j))$ $K$ ${\näyttötyyli i,j,\kappa =1,2,3}$

Gaussin lause sähköinduktiolle (sähköinen siirtymä)

Dielektrisessä väliaineessa olevalle kentälle Gaussin sähköstaattinen lause voidaan kirjoittaa toisella tavalla (vaihtoehtoisella tavalla) - sähköisen siirtymävektorin virtauksen kautta (sähköinen induktio). Tässä tapauksessa lauseen muotoilu on seuraava: sähköisen siirtymävektorin virtaus suljetun pinnan läpi on verrannollinen tämän pinnan sisällä olevaan vapaaseen sähkövaraukseen:

GHS	SI
$\Phi _{{\mathbf {D}}}\equiv \oint \limits _{S}{\mathbf {D}}\,{\mathrm {d}}{\mathbf {S}}=4\pi Q ,$	$\Phi _{{\mathbf {D}}}\equiv \oint \limits _{S}{\mathbf {D}}\,{\mathrm {d}}{\mathbf {S}}=Q,$

Tärkeä kommentti

Tämän yhtälön oikealla puolella oleva Q ei ole sama kuin artikkelin alussa [4] annetussa perusmuodossa. Jälkimmäistä kutsutaan usein "tyhjiön formulaatioksi", mutta tämä nimi on puhtaasti tavanomainen, se soveltuu yhtä hyvin dielektrisen väliaineen tapaukseen, vain Q :lla on tässä tarpeen ymmärtää pinnan sisällä olevan vapaan varauksen summa. ja eristeen polarisaatio (indusoitu, sidottu) varaus, eli yhtälössä E joutuisi kirjoittamaan toinen kirjain oikealle puolelle: $\Phi _{{\mathbf {E}}}\equiv \oint \limits _{S}{\mathbf {E}}\,{\mathrm {d}}{\mathbf {S}}=4\pi Q ,$

Q_{\Sigma }=Q+Q_{b},

missä

$Q_{b}=\oint \limits _{S}{\mathbf {P}}\,{\mathrm {d}}{\mathbf {S}}$ - sidottu varaus pinnan sisällä [5] ,
${\mathbf {P}}$ on dielektrinen polarisaatiovektori .

Olemme käyttäneet tässä oikealla puolella samaa kirjainta yksinkertaisesti siksi, että tällainen merkintä on yleisin, ja koska yhtälön molempia muotoja käytetään harvoin yhdessä, joten sekaannusta ei ole.

Tyhjiön tapauksessa (dielektrisen väliaineen puuttuminen) molemmat yhtälöt ovat yksinkertaisesti samat, koska silloin Q b \u003d 0, kun taas D \ u003d E ( SI -yksikköjärjestelmässä - ovat verrannollisia.

Differentiaalimuodossa:

GHS	SI
${\mathrm {div}}\,{\mathbf {D}}\equiv \nabla \cdot {\mathbf {D}}=4\pi \rho ,$	${\mathrm {div}}\,{\mathbf {D}}\equiv \nabla \cdot {\mathbf {D}}=\rho .$

Tärkeä kommentti

On tärkeää ymmärtää, että Q ja ρ tässä kappaleessa tarkoittavat muita suureita kuin edellisessä: vapaiden varausten suuruutta ja vapaiden varausten tiheyttä , eli varauksia, lukuun ottamatta niitä, jotka indusoituvat dielektrisen väliaineen polarisaation aikana ( kun taas edellisessä kappaleessa kokonaisvaraus ja kokonaistiheysvaraus (katso lisätietoja tämän kappaleen kommentista hieman korkeampi). Nämä arvot ovat samat vain tyhjiön tapauksessa (dielektrisen väliaineen puuttuminen), kun tämän kappaleen yhtälöistä tulee olennaisesti edellisen kappaleen yhtälöt.

Gaussin lause magneettiselle induktiolle

Magneettisen induktiovektorin vuo minkä tahansa suljetun pinnan läpi on nolla:

\Phi _{{\mathbf {B}}}\equiv \oint \limits _{S}{\mathbf {B}}\cdot {\mathrm {d}}{\mathbf {S}}=0,

tai differentiaalimuodossa

\nabla \cdot {\mathbf {B}}=0.

Tämä vastaa sitä tosiasiaa, että luonnossa ei ole "magneettisia varauksia" ( monopoleja ), jotka aiheuttaisivat magneettikentän, aivan kuten sähkövaraukset luovat sähkökentän [6] . Toisin sanoen Gaussin lause magneettiselle induktiolle osoittaa, että magneettikenttä on (täysin) pyörre .

Gaussin lause Newtonin painovoimasta

Newtonin painovoimakentän (vapaan pudotuksen kiihtyvyys) vahvuuden osalta Gaussin lause on käytännössä sama kuin sähköstaattinen lause, lukuun ottamatta vakioita (ne ovat kuitenkin riippuvaisia yksikköjärjestelmän mielivaltaisesta valinnasta) ja mikä tärkeintä, merkki [7] :

\Phi _{{\mathbf {g}}}\equiv \oint \limits _{S}{\mathbf {g}}\cdot {\mathrm {d}}{\mathbf {S}}=-4\pi gm,

\nabla \cdot {\mathbf {g}}=-4\pi G\rho ,

missä g on gravitaatiokentän voimakkuus, M on gravitaatiovaraus (eli massa) pinnan S sisällä , ρ on massatiheys, G on Newtonin vakio .

Tulkinnat

Voimalinjojen suhteen

Gaussin lause voidaan tulkita kentän kenttäviivoina [8] seuraavasti:

Kentän virtaus pinnan läpi on [9] pintaan läpäisevien voimalinjojen lukumäärä. Tässä tapauksessa suunta otetaan huomioon - pintaan vastakkaiseen suuntaan tunkeutuvat voimalinjat otetaan huomioon miinusmerkillä.
Kenttäviivat alkavat tai päättyvät vain varauksiin (alkavat positiivisiin varauksiin, päättyvät negatiivisiin), tai ne voivat silti mennä äärettömyyteen. Varauksesta lähtevien voimalinjojen lukumäärä (alkuen siitä) on yhtä suuri kuin [10] tämän varauksen arvo (tämä on varauksen määritelmä tässä mallissa). Negatiivisille varauksille kaikki on sama, vain varaus on yhtä suuri kuin miinus siihen tulevien rivien lukumäärä (päättyy siihen).
Näiden kahden säännöksen perusteella Gaussin lause vaikuttaa ilmeiseltä muotoilussa: suljetusta pinnasta lähtevien juovien lukumäärä on yhtä suuri kuin sen sisällä olevien varausten kokonaismäärä - eli sen sisällä esiintyneiden juovien lukumäärä . Tietenkin merkit huomioidaan, erityisesti pinnan sisällä positiivisella varauksella alkava viiva voi päättyä negatiiviseen varaukseen myös sen sisällä (jos sellainen on), niin se ei vaikuta virtaukseen tämän pinnan läpi , koska tai jopa ennen kuin se ei saavuta, tai poistuu ja sitten tulee takaisin (tai yleisesti ottaen ylittää pinnan parillisen määrän kertoja tasaisesti eteen- ja vastakkaisiin suuntiin), mikä summattuna ottaen huomioon, ei anna nollaosuutta virtaukseen. Sama voidaan sanoa viivoista, jotka alkavat ja päättyvät tietyn pinnan ulkopuolella - samasta syystä ne lisäävät myös nollaa sen läpi kulkevaan virtaukseen.

Kokoonpuristumattoman nesteen virtauksen kannalta

Gaussin lause pätee kokoonpuristumattoman nesteen nopeuskenttään. Tämä tosiasia antaa meille mahdollisuuden käyttää kokoonpuristumattoman nesteen virtausta analogiana (muodollisena mallina), mikä mahdollistaa sen merkityksen selkeyttämisen ja sen matemaattisen sisällön visualisoinnin. [yksitoista]

Jopa sähködynamiikassa (ja erityisesti Gaussin lauseen muotoilussa) käytetty vektorianalyysin terminologia muodostui lähes kokonaan tämän analogian vaikutuksesta. Riittää, kun tuodaan esiin sellaiset termit, kuten kentän lähde (suhteessa varaukseen) tai virtaus pinnan läpi, jotka vastaavat täysin ja täsmällisesti tarkasteltavassa analogiassa käsitteiden kanssa:

nesteen lähde (nesteen esiintymispaikan merkityksessä ja sen esiintymisen määrällinen mitta - tilavuus, joka esiintyy aikayksikköä kohti),
virtaus (pinnan läpi kulkevan nesteen määrässä aikayksikköä kohti).

Kokoonpuristumattoman nesteen virtauksen suhteen Gaussin lause on muotoiltu seuraavasti: Suljetusta pinnasta lähtevä nestevirta on yhtä suuri kuin tämän pinnan sisällä olevien lähteiden summa . Tai muodollisemmin: Nesteen nopeusvektorin virtaus suljetun pinnan läpi on yhtä suuri kuin tämän pinnan sisällä olevien lähteiden summa . (Pohjimmiltaan tämä on kokoonpuristumattoman nesteen jatkuvuusyhtälön kiinteä versio , joka ilmaisee nesteen massan säilymisen, kun otetaan huomioon sen tiheyden vakioisuus).

Tässä muodollisessa analogiassa kentänvoimakkuus korvataan nesteen virtausnopeudella ja varaus korvataan nestelähteellä (negatiivinen varaus korvataan "negatiivisella lähteellä" - "vuoto").

Gaussin lause varauksen määritelmänä

Gaussin lausetta [12] voidaan pitää (magnitudi)varauksen määritelmänä.

Pistevaraukselle on siis selvää, että kentänvoimakkuuden virtaus minkä tahansa pinnan läpi on yhtä suuri kuin virtaus tämän varausta ympäröivän pienen (äärettömän pienen) pallon läpi. Sitten jälkimmäinen (ehkä vakiotekijään asti, mielivaltaisesta yksikkövalinnastamme riippuen) voidaan valita tämän varauksen suuruuden määritelmäksi.

Varauksen lähellä (äärettömän lähellä sitä) sen oma kenttä vaikuttaa selvästikin valtavasti virtaukseen äärettömän pienen pallon läpi (koska kenttä kasvaa loputtomasti etäisyyden pienentyessä). Tämä tarkoittaa, että loput kentät (muiden maksujen synnyttämät) voidaan jättää huomiotta. Sitten voidaan nähdä, että tämä määritelmä on yhtäpitävä tavallisen määritelmän kanssa (Coulombin lain kautta).

Modernissa fysiikassa oletetaan yleensä, että määritelmä Gaussin lain kautta on perustavanlaatuisempi (sekä itse Gaussin laki verrattuna Coulombin lakiin - katso alla).

Gaussin lause ja Coulombin laki

Gaussin lause ja Coulombin laki liittyvät läheisesti toisiinsa sekä muodollisesti että fyysisesti. Yksinkertaistettuna väitetään, että Gaussin lause on Coulombin lain integraalinen muotoilu, tai päinvastoin, että Coulombin laki on seuraus Gaussin lauseesta (lain).

Itse asiassa Gaussin lakia ei voida johtaa pelkästään Coulombin laista, koska Coulombin laki antaa vain pistevarauksen kentän. Gaussin lauseen todistamiseksi tarvitaan Coulombin lain lisäksi myös superpositioperiaate [13] .

Coulombin lakia ei voida johtaa pelkästään Gaussin laista, koska Gaussin laki ei sisällä tietoa sähkökentän symmetriasta [14] . Coulombin lain todistamiseksi tarvitaan Gaussin lain lisäksi myös lisälausunto (esimerkiksi kentän pallosymmetriasta tai kentän kiharan yhtäläisyydestä nollaan).

Kumpaa niistä pidetään postulaattina ja mikä on seurausta, riippuu siitä, minkä sähködynamiikan (tai sähköstaattisen, jos siihen rajoitamme) aksiomatisoinnin valitsemme; muodollisesti yksi tai toinen vaihtoehto on käytännössä sama [15] , ja sähköstaattisen tekniikan tapauksessa tämä on täysin totta. Siten jommankumman valinta teorian rakentamisen perustaksi on mielivaltainen valintamme.

Gaussin aksiomatisoinnilla on kuitenkin se etu, että Gaussin laki ei sisällä mielivaltaisia parametreja (kuten Coulombin lain etäisyysaste −2), etäisyysaste Coulombin laissa syntyy automaattisesti avaruuden ulottuvuudesta.

Varoitus on kuitenkin tehtävä. Jos on naiivia olettaa, että Coulombin laki ja Gaussin lause ovat samanarvoisia, voidaan väittää seuraavasti: Coulombin laki seuraa Gaussin lauseesta, Maxwellin yhtälöt sähköstaattisen tapauksen tapauksessa Coulombin laista, ts. Maxwellin toinen yhtälö (noin nollasähkökentän kiertymä) seuraa Gaussin lausetta ja on redundantti. Itse asiassa, kun johdetaan Coulombin laki Gaussin lauseesta (katso alla), käytämme lisäksi pistevarauksen kentän pallosymmetriaa, ja meidän on myös otettava käyttöön superpositioperiaate, kun taas Maxwellin yhtälöt ovat itseriittäviä.

Historiallisesti Coulombin laki löydettiin empiirisesti ensimmäisenä. Tässä (historiallisessa) mielessä Gaussin lause on seuraus siitä. Tämän yhteydessä sitä kutsutaan lauseeksi, koska se esiintyi alun perin lauseena.

Suoraan alla on esitetty, kuinka Coulombin laki ja Gaussin laki voidaan saada sähköstaattisen [16] puitteissa toisistaan.

Coulombin laki Gaussin lain seurauksena

Lähdemme Gaussin lauseesta kirjoittamalla se SI- yksiköissä [17] , "Järnitysvektorin virtaus pinnan läpi on verrannollinen tämän pinnan sisältämään varaukseen": $\Phi _{{E,S}}$ $E$ $S$

\Phi _{{E,S}}={\frac {Q}{\varepsilon _{0}}}.

Coulombin lain johtamiseksi tarkastelemme yksittäistä pistevarausta suljetun pinnan S sisällä , joten Q tässä on tämän varauksen suuruus.

Laskemme saman vuon suoraan integroimalla pinnan yli. Oletetaan, että väite pistevarauksen kentän pallosymmetriasta varauksen paikan suhteen on totta (kokemus osoittaa, että se on täsmälleen totta vain levossa olevalle varaukselle). Tästä päätämme, että sähkökenttä suuntautuu suoraan varauksesta ja sen arvo on sama kaikille samalla etäisyydellä varauksesta sijaitsevista pisteistä. Tästä seuraa, että kokonaisvuo on helpoimmin laskettavissa, jos valitsemme pinnaksi S pallon, jonka keskipisteenä on varaus . Todellakin, kentänvoimakkuus E on silloin ortogonaalinen suhteessa dS :ään kaikkialla , ja vektorin E itseisarvo (merkitsimme sitä E ) on sama kaikkialla tällä pallolla, ja se voidaan ottaa pois integraalimerkistä. Niin:

\Phi _{{E,S}}=\oint \limits _{S}{\mathbf E}\cdot {\mathbf {dS}}=\oint \limits _{S}EdS=E\oint \limits _ {S}dS=ES.

Meillä on:

{\begin{cases}\Phi _{{E,S}}={\frac {Q}{\varepsilon _{0}}}\\\Phi _{{E,S}}=ES\end{cases }}

Täältä:

ES={\frac {Q}{\varepsilon _{0}}}.

On vielä korvattava pallon pinta-ala ja ratkaistava yhtälö E :lle . $S=4\pi r^{2}$

Sitten saamme:

E={\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}}{\frac {Q}{r^{2}}},

eli Coulombin laki.

Gaussin lause Coulombin lain seurauksena

Perustodiste

Alkuperäinen todistus on rakennettu kahteen vaiheeseen: todistetaan lause yhden pistevarauksen tapaukselle geometrisia näkökohtia käyttäen ja sitten sovelletaan superpositioperiaatetta, jonka seurauksena lause osoittautuu todistetuksi mielivaltaiselle määrälle pistevarauksia ( ja näin ollen yleisessä tapauksessa).

Lähdemme Coulombin laista:

{\mathbf E}({\mathbf r})={\frac {q}{r^{2}}}{\mathbf e}_{r}

missä on yksikkövektori sädevektorin suunnassa, joka on vedetty varauksesta (johon sijoitimme origon) pisteeseen, jossa kentänvoimakkuus mitataan , r on vektorin r moduuli eli etäisyys varauksesta tähän pisteeseen asti. (Tässä osiossa käytämme vain CGS -järjestelmää , eli Coulombin vakio on yhtä suuri kuin yksi. Vaihtaaksesi SI -järjestelmään, lisää vain kerroin. Samoin siirtyminen mihin tahansa muuhun yksikköjärjestelmään eroaa vain Coulombin vakio.) ${\mathbf e}_{r}$ $\mathbf {r}$ ${\mathbf E}({\mathbf r})$

Yhden pisteen lataukseen pinnan sisällä

Merkitään S -kirjaimella pintaa, jonka läpi virtaus E on laskettava . Oletetaan, että varauksemme q on tämän pinnan sisällä.

Ympäröidään varaus toisella pinnalla - pallolla S 0 , jonka keskipiste on varauksessa ja jonka säde R 0 on niin pieni, että se on kokonaan pinnan S sisällä . Lasketaan virtaus S 0 :n läpi :

\Phi _{{S_{0}}=4\pi R_{0}^{2}E.

Valitsemme pienen (äärettömän pienen, ei vain suuruuden mukaan, vaan myös "kompakti", eli niin, että se voidaan peittää pyöreällä kartiolla, jolla on myös pieni avaruuskulma), avaruuskulman , jonka kärki on veloittaa. $\omega$

Osoitetaan, että tällä avaruuskulmalla leikatun pinnan S alueen läpi kulkeva virtaus on yhtä suuri kuin sen pallosta S 0 leikkaaman alueen läpi kulkeva virtaus . Tätä varten näytämme sen $\Phi _{{S,\omega }}\$ $\omega$ $\Phi _{{S_{0},\omega }}$ $S_{{0,\omega }}$

1. - pinnasta S avaruuskulmalla leikatun alueen läpi kulkeva virtaus on yhtä suuri kuin virtaus avaruuskulmalla leikatun alueen läpi mistä tahansa tasosta, joka on kohtisuorassa sisällä oleviin säteisiin nähden , joka äärettömän pienessä avaruuskulmassa , ovat lähes yhdensuuntaisia, poikkeavat suunnaltaan äärettömän vähän, mikä tarkoittaa, että alue on samanaikaisesti kohtisuorassa (tarkemmin sanottuna lähes kohtisuorassa) niihin kaikkiin samanaikaisesti.

\Phi _{{S,\omega }}\ =\Phi _{{S_({\perp ,\omega }}}}\

S_{\omega }

\omega

S{\perp ,\omega },

\omega

\omega

2. - avaruuskulman sisällä virtaus säteitä vastaan kohtisuorassa olevan alueen läpi on yhtä suuri kuin pallon alueen läpi kulkeva virtaus .

\Phi _{{S\perp ,\omega }}=\Phi _{{S_{0},\omega }}.

\omega

S_{0}

Ensimmäisen todistaa havainto , että virtaus pienen alueen läpi dS voidaan esittää muodossa Ja meidän tapauksessamme tämä tarkoittaa tasa-arvoa ja . $d\Phi ={\mathbf E}\cdot {\mathbf {dS))$ $d\Phi =E(dS)_{\perp }$ $(dS)_{\perp }$ $\Phi _{{S\perp ,\omega }}$ $\Phi _{{S,\omega }}$

Toinen voidaan nähdä samankaltaisuuden ja Coulombin lain perusteella (merkitsemällä r etäisyyttä varauksesta leikkauspisteeseen c S , näemme, että alueiden ja suhde on yhtä suuri kuin , kun taas , eli luvun käänteisluku, kuten jonka seurauksena heidän tuotteensa ovat samat, ja nämä ovat virrat ja , joiden yhtäläisyys oli todistettava. $\omega$ $S{\perp ,\omega }$ $S_{{0,\omega }}$ $r^{2}/R_{0}^{2}$ $E(r)/E(R_{0})=R_{0}^{2}/r^{2}$ $\Phi _{{S\perp ,\omega }}$ $\Phi _{{S_{0},\omega }}$

Jos se leikkaa S :n toistuvasti (mikä on mahdollista, jos jälkimmäinen on riittävän monimutkainen), kaikki nämä argumentit, lyhyesti sanottuna, toistetaan niin monta kertaa kuin on leikkauspisteitä ja tasa-arvo virtauksen absoluuttisessa arvossa kunkin pinnan S elementin läpi. on todistettu . Ja kun otetaan huomioon merkit lisäyksen aikana (ne ilmeisesti vuorottelevat; yhteensä risteysten lukumäärän tulisi olla pariton), lopullinen vastaus osoittautuu samaksi kuin yksittäisen risteyksen tapauksessa. $\omega$

Ja koska näiden virtojen yhtäläisyys täyttyy mille tahansa pienelle eli jokaiselle vastaavalle elementille S ja S 0 , joiden välille muodostuu yksi yhteen vastaavuus, ja tällä tavalla on mahdollista jakaa koko pallo S 0 ilman jäännöstä sellaisiksi elementeiksi, silloin yhtäläisyys pätee myös kokonaisten pintojen läpi kulkeville virroille (jotka ovat yksinkertaisesti pintojen S ja S 0 kuvattujen elementtien läpi kulkevien virtausten summia ). (Koska pinta S on suljettu, jokaisella pallon elementillä on vastaava elementti S :ssä - tai pariton määrä elementtejä, kuten edellä on kuvattu, joita voidaan yhdistää, koska niiden kaikkien läpi kulkeva virtaus otetaan huomioon). $\omega$

Olemme siis osoittaneet, että yhdellä varauksella q suljetun pinnan S sisällä virtaus sen läpi

\Phi _{S}=\Phi _{{S_{0}}}=4\pi R_{0}^{2}E.

Yhden pisteen latauksella pinnan ulkopuolella

Melko samanlainen päättely, joka on suoritettu tapaukselle, jossa q on pinnan S rajoittaman alueen ulkopuolella , ottaen huomioon etumerkin laskettaessa virtausta kunkin kohdan läpi, johtaa nollavirtaukseen. (pieni avaruuskulma ylittää nyt S :n parillisen määrän kertoja, vuot ovat absoluuttisesti yhtä suuret, mutta etumerkissä vastakkaiset) [18] .

Alkeisvirtojen summaus suoritetaan samalla tavalla kuin kohdassa 1, samoin kuin niiden laskenta.

Joten yhdellä latauksella suljetun pinnan ulkopuolella virtaus sen läpi on nolla .

Mille tahansa määrälle maksuja

Viimeinen vaihe on yksinkertainen. Se koostuu superpositioperiaatteen soveltamisesta.

Jos jokaiselle pistevaraukselle sen luoma kenttä (kun muita varauksia ei ole) luo pinnan läpi virtauksen, joka täyttää Gaussin lauseen (eli jokaiselle pinnan sisällä olevalle varaukselle ja 0 jokaiselle pinnan ulkopuolelle), sitten virtaus kokonaiskentästä ${\mathbf E}_{i}$ $\Phi _{i}=4\pi q_{i}$

\Phi =\int \limits _{S}(\mathbf {E} _{1}+\mathbf {E} _{2}+\mathbf {E} _{3}+\pisteet )\cdot \mathbf {dS} =\int \limits _{S}\mathbf {E} _{1}\cdot \mathbf {dS} +\int \limits _{S}\mathbf {E} _{2}\cdot \mathbf {dS} +\int \limits _{S}\mathbf {E} _{3}\cdot \mathbf {dS} +\dots =\Phi _{1}+\Phi _{2}+\Phi _{3}+\pisteet

on yhtä suuri kuin kunkin varauksen synnyttämien virtausten summa muiden poissa ollessa, on yksinkertaisesti yhtä suuri kuin

\Sigma \Phi _{i}=4\pi \Sigma q_{i},

jossa summa on vain pinnan sisällä olevien varausten yli (jokainen ulkopuolisista varauksista on 0).

Lause on todistettu.

Todistus Gauss-Ostrogradsky-kaavan avulla

Tämä todiste on muodollisempi.

1. Jatkamme jälleen Coulombin laista (tässä osiossa käytämme CGS -järjestelmää ja varmuuden vuoksi puhumme lausekentästä E , ei D ):

{\mathbf E}({\mathbf r})={\frac {q}{r^{2}}}{\frac {{\mathbf r}}{r}}.

2. Coulombin kenttä täyttää Gaussin lain differentiaalimuodon:

\nabla \cdot {\mathbf E}=4\pi \rho .

Tämä voidaan varmistaa [19] korvaamalla kaava (1) suoraan [20] kaavalla (2).

3. Superpositioperiaatteen perusteella uskomme, että monien varausten synnyttämä kenttä täyttää myös tämän differentiaaliyhtälön (huomaa samalla ohimennen, että tämä yhtälö on lineaarinen, joten superpositioperiaatetta voidaan soveltaa).

4. Käyttämällä Gauss-Ostrogradsky-kaavaa saamme välittömästi:

4\pi Q=\int \limits _{V}4\pi \rho dV=\int \limits _{V}\nabla \cdot {\mathbf E}dV=\oint \limits _{{\partial V} }{\mathbf E}\cdot {\mathbf {dS}}=\Phi _{E}

Lause on todistettu.

Gaussin lauseen soveltaminen

Koska Gaussin lause on yhdessä sähkökentän nollakierron yhtälön, sähköstaattisen peruskenttäyhtälön kanssa, yhdessä vektorin sähkökentän skalaaripotentiaalin ilmaisun kanssa johtaa Poissonin yhtälöön - pää- ja ainoa klassisen teorian differentiaaliyhtälö sähköstaattiselle potentiaalille .

Elektrodynamiikassa Gaussin lause (Gaussin laki) pysyy myös (täysin samassa muodossa) yhtenä pääyhtälöistä - yhtenä neljästä Maxwellin yhtälöstä .

Joissakin tilanteissa Gaussin lauseella voidaan suoraan ja helposti laskea sähköstaattinen kenttä suoraan. Nämä ovat tilanteita, joissa ongelman symmetria mahdollistaa sähkökentän voimakkuudelle sellaisia lisäehtoja, jotka yhdessä Gaussin lauseen kanssa riittävät suoraan alkeislaskelmaan (ilman kahta tavallista yleismenetelmää - osittaisen differentiaalin ratkaisemista Coulombin kenttien yhtälö tai frontaalinen integrointi alkeispistevarauksille) .

Tällä tavalla, Gaussin lausetta käyttäen, itse Coulombin laki voidaan johtaa ( katso edellä ).

Erityisiä esimerkkejä tällaisesta Gaussin lauseen soveltamisesta käsitellään jäljempänä.

He käyttävät seuraavia määriä ja merkintöjä:

Bulkkivaraustiheys

\rho ={\frac {dq}{dV}},

missä on (äärettömän pieni) tilavuuselementti, $dV$

Pintavaraustiheys

\sigma ={\frac {dq}{dS}},

missä on (äärettömän pieni) pintaelementti. $dS$

Lineaarinen varaustiheys

\lambda ={\frac {dq}{dl}},

missä on äärettömän pienen segmentin pituus. (Ensimmäistä käytetään varauksille, jotka jakautuvat jatkuvasti tilavuuteen, toista pintaan jakautuneille varauksille, kolmatta yksiulotteiselle viivalle (käyrä, suora viiva) jakautuneille varauksille. $dl$

Pallosymmetrisen varausjakauman kentänvoimakkuuden laskeminen

Tapa laskea Gaussin lauseella mille tahansa pallosymmetriselle varauksen jakautumiselle yleensä on edellä kuvattu pistevarauksen tapauksessa (katso kappale Coulombin laista ).

Huomaamme tässä vain pallosymmetristen ei-pistelähteiden osalta, että (kaikki tämä on seurausta siellä kuvatun menetelmän soveltamisesta):

Pallosymmetrinen varaus, jonka keskellä on samankeskinen pallomainen tyhjä (tai varaamaton alue), ei luo kenttää tämän tyhjiön sisään (kentänvoimakkuus siellä on nolla).
Yleensä kentän r etäisyydellä keskustasta muodostavat vain ne varaukset, jotka ovat syvemmällä keskustaan. Tämä kenttä voidaan laskea Coulombin lain mukaan: , vain tässä Q tulee ymmärtää pallomaisen alueen kokonaisvarauksena, jonka säde on r (mikä tarkoittaa, että riippuvuus r : stä eroaa lopulta Coulombin lain mukaan, koska Q kasvaa r :n kasvaessa , ainakin kunnes r ei ole suurempi kuin koko varautuneen alueen säde - jos vain se on puolestaan äärellinen). $E=KQ/r^{2}$
Kun r , joka on suurempi kuin varatun alueen säde (jos se on äärellinen), yleisin Coulombin laki täyttyy (kuten pistevaraukselle). Tämä selittää esimerkiksi sen, miksi tavallinen Coulombin laki toimii tasaisesti varautuneilla palloilla, palloilla, planeetoilla, joiden rakenne on lähellä pallosymmetristä jopa lähellä niiden pintaa (esimerkiksi miksi maan pinnan lähellä gravitaatiokenttä on tarpeeksi lähellä pistemassa, joka on keskittynyt maan keskelle).
Mielenkiintoisessa tasaisesti varautuneen pallon erikoistapauksessa sen sähkö- (tai gravitaatio)kenttä osoittautuu verrannolliseksi etäisyyteen pallon sisällä olevaan keskustaan. [21]

Äärettömän tason kentänvoimakkuuden laskeminen

Tarkastellaan kenttää, jonka luo ääretön tasaisesti varautunut taso, jolla on sama pintavaraustiheys kaikkialla . Kuvittele henkisesti sylinteri, jossa generaattorit ovat kohtisuorassa varautuneeseen tasoon nähden ja kantat ( kukin alue) sijaitsevat symmetrisesti suhteessa tasoon (katso kuva). $\sigma$ $\Delta S$

Symmetrian vuoksi:

Kaikki kentänvoimakkuusvektorit (mukaan lukien ja ) ovat kohtisuorassa varautuneeseen tasoon nähden: ongelman kiertosymmetrian vuoksi kentänvoimakkuusvektorin on todellakin muunnettava itsekseen minkä tahansa kiertosuuntaan tasoon nähden kohtisuoran akselin ympäri, ja tämä on mahdollista nollasta poikkeava vektori vain, jos se on kohtisuorassa tasoon nähden. Tästä seuraa (muun muassa), että kentänvoimakkuuden vuo sylinterin sivupinnan läpi on yhtä suuri kuin nolla (koska kenttä on suunnattu kaikkialle tangentiaalisesti tälle pinnalle). $E'$ $E''$
$E'=E''=E$ .

Jännitysvektorin virtaus on yhtä suuri (johtuen (1)) virtauksen kanssa vain sylinterin kantojen läpi, ja se, koska ja ovat kohtisuorassa näihin kantajiin nähden ja johtuen (2), on yksinkertaisesti . $E'$ $E''$ $2E\Delta S$

Soveltamalla Gaussin lausetta ja ottaen huomioon , saadaan ( SI -järjestelmässä ): $Q=\sigma\Delta S$

2E\Delta S={\frac {\sigma \Delta S}{\varepsilon _{0}}},

mistä

E={\frac {\sigma }{2\varepsilon _{0}}},

CGSE - järjestelmässä kaikki argumentit ovat täysin analogisia (vakiokertoimiin asti), ja vastaus kirjoitetaan seuraavasti $E=2\pi \sigma .$

Äärettömän hehkulangan kentänvoimakkuuden laskeminen

Tarkastellaan kenttää, jonka muodostaa ääretön suoraviivainen filamentti, jonka lineaarinen varaustiheys on yhtä suuri kuin . Olkoon vaadittava tämän kentän luoman intensiteetin määrittäminen etäisyyden päässä langasta. Otetaan Gaussin pinnaksi sylinteri, jonka akseli osuu yhteen kierteen, säteen ja korkeuden kanssa . Tällöin jännityksen virtaus tämän pinnan läpi Gaussin lauseen mukaan on seuraava (SI- yksiköissä ): $\lambda$ $R$ $R$ $\Delta l$

\Phi _{{\mathbf {E}}}={\frac {Q}{\varepsilon _{0}}}={\frac {\lambda \Delta l}{\varepsilon _{0}}}.

Symmetrian takia

kentänvoimakkuusvektori on suunnattu kohtisuoraan hehkulankaa vastaan, suoraan siitä poispäin (tai suoraan sitä kohti).
tämän vektorin moduuli on sama missä tahansa pisteessä sylinterin pinnalla.

Sitten tämän pinnan läpi kulkeva intensiteettivuo voidaan laskea seuraavasti:

\Phi _{{\mathbf {E}}}=\sum _{i}\Delta S_{i}E_{i}=E\sum _{i}\Delta S_{i}=ES=E2\pi R \Delta l.

Vain sylinterin sivupinnan pinta-ala otetaan huomioon, koska virtaus sylinterin pohjien läpi on nolla (johtuen E :n suunnasta tangentiaalisesti niihin). Yhtälöimällä kaksi saatua lauseketta kohteelle , meillä on: $\Phi _{{{\mathbf E}}}$

{\frac {\lambda \Delta l}{\varepsilon _{0))}=E2\pi R\Delta l,

E={\frac {\lambda }{2\pi \varepsilon _{0}R}}.

( GHS -järjestelmässä vastaus on: ). $E=2\lambda /R$

Muut tehtävät

Kuvattua menetelmää voidaan soveltaa myös joidenkin muiden ongelmien ratkaisemiseen.

Ensinnäkin, aivan kuten tehtävän pallosymmetrialle on mahdollista laskea paitsi pistevarauksen kenttä, myös muut tällaisen symmetrian lähteet, niin se pätee myös sylinterimäisen symmetrian lähteille (laskettavissa helposti ei vain äärettömän kierteen, vaan myös äärettömän sylinterin kenttä - sekä ulkopuolella , että sen sisällä, putkia jne.), samoin kuin kaksiulotteisen translaatiosymmetrian lähteille (on mahdollista laskea paitsi kenttä ohuen tason, mutta myös esimerkiksi paksun tasaisen kerroksen kenttä).

Edelleen samanlaisia ongelmia voidaan ratkaista ei vain avaruuden ulottuvuudelle, joka on yhtä suuri kuin kolme, vaan myös suuremmalle tai pienemmälle (periaatteessa minkä tahansa) tilaulottuvuuden osalta. Tämä voi olla tärkeää teoreettisesti. Sellaisen lähestymistavan ilmeinen tulos on esimerkiksi väite, että Coulombin laissa n -ulotteisessa ei-kaarevassa avaruudessa r tulee potenssiin -(n-1), ja paikallisesti (pienelle r ) tämä pätee myös kaarevia tiloja.

Lisäksi Gaussin lause mahdollistaa joissain tapauksissa helposti laskea sähköstaattisen (tai vastaavan) kentän ei vain tasaisessa tilassa, vaan myös avaruudessa, jossa on kaarevuus. Esimerkkinä on ongelma Coulombin lain analogin löytämisessä kaksiulotteiselle avaruudelle, joka on pallon pinta (ratkaisu on helppo löytää ja eroaa selvästi tavallisesta Coulombin laista) [22] .

Gaussin lauseen seuraukset

Gaussin lauseen seuraus on Earnshaw'n lause .
Toinen Gaussin lauseen seuraus on se, että staattisessa tapauksessa ylimääräisten (eli kompensoimattomien) varausten tiheys johtimen sisällä on nolla. Ylimääräisiä varauksia voi ilmaantua johtimen pinnalle vain ohuena kerroksena (itse asiassa sen paksuus on noin yksi tai kaksi atomien välistä etäisyyttä) [23] . Tarkkaan ottaen tämä on totta, jos varauksiin ei vaikuta muita (ei-sähköstaattisia) voimia. Jos nämä voimat (yleensä niitä kutsutaan ulkoisiksi voimiksi) otetaan huomioon, jopa johtimien sisällä voi olla sähkökenttä. Esimerkiksi gravitaatiokentässä liuoksen raskaampien ionien pitoisuus on suurempi liuoksen pohjassa, kun taas kevyemmät pyrkivät nousemaan ( Arkhimedes-voiman vuoksi ). Tuloksena oleva erittäin pieni sähkökenttä estää tällaisen varausten gravitaatioerotuksen. Tämä vaikutus voi olla merkittävä kolloidisissa järjestelmissä , joissa yhdessä massiivisessa hiukkasessa on pieni varaus liuokseen verrattuna, ja muita hiukkasia, joilla on sama varausmerkki kuin kolloidisilla hiukkasilla, ei ole. Tämä seuraus on myös täysin väärä mikrokosmuksessa, jossa kvanttimekaaniset voimat vaikuttavat elektroneihin. Esimerkiksi puolijohteisissa aurinkokennoissa sähkökenttä erottaa elektronit ja "reiät", jotka ilmestyvät pareittain valon absorption aikana ( valodissosiaatio ). Peltier-ilmiö , johon termoparien toiminta perustuu, on elävä esimerkki sähköstaattisen kentän läsnäolosta johtimen sisällä (kahden eri metallin kosketusvyöhykkeellä) .

Katso myös

Ostrogradskyn kaava

Muistiinpanot

↑ Ja sen avulla voit tehdä tämän ei vain kolmiulotteiselle avaruudelle, vaan myös mille tahansa avaruuden ulottuvuudelle, joka voidaan kohdata teoriassa.
↑ Vaikka käytännössä, varsinkin puhekielessä, näiden termien käytössä ei usein tehdä eroa.
↑ Fedosin, SG Sähkömagneettisen kentän integraaliyhtälöiden kovarianteista esityksistä // Progress In Electromagnetics Research C : Journal. - 2019. - Vol. 96 . - s. 109-122 . - doi : 10.2528/PIERC19062902 . - . - arXiv : 1911.11138 . // Sähkömagneettisen kentän integraaliyhtälöiden kovarianttiesitys Arkistoitu 22. toukokuuta 2021 Wayback Machinessa .
↑ Tässä lyhennyksen vuoksi annamme jälleen vain GHS :ssä .
↑ Sen läsnäolo selittyy kvalitatiivisesti sillä, että kun dielektrinen väliaine polarisoituu, sen muodostavat dipolit suuntautuvat siten, että osa niistä leikkaa pinnan ja sen sisällä ovat samanmerkkisten dipolien päät, jotka muodostavat ylimääräinen "sidottu" varaus Q b sen sisällä .
↑ Jos magneettisia monopoleja olisi olemassa (tai jos niitä todella on ja ne löydetään), annetut yhtälöt olisivat (tai niiden pitäisi olla): $\Phi _{{\mathbf {B}}}\equiv \oint \limits _{S}{\mathbf {B}}\cdot {\mathrm {d}}{\mathbf {S}}=Q_{m} ,$ $\nabla \cdot {\mathbf {B}}=\rho _{m},$ missä on magneettinen varaus (magneettisten monopolien varaus) ja magneettisen varaustiheys. Muun muassa mikään ei estä magneettisten varausten tarkastelemista puhtaasti muodollisesti, Amperen magneettilevylauseen hengessä , kun se on sopivaa jonkin ongelman ratkaisemiseen; tässä tapauksessa muodollisesti tuotujen magneettisten varausten synnyttämä vuo täyttää myös tässä esitetyt yhtälöt. Tässä tapauksessa myös Maxwellin yhtälö sähkömagneettisen induktion laista muuttuu. (Yhtälöiden muoto täysin rationalisoidussa yksikköjärjestelmässä on annettu; tietyn yksikköjärjestelmän valinnasta riippuen oikealle puolelle voi ilmestyä vakiotekijä, esimerkiksi tavallisessa Gaussin yksikköjärjestelmässä tavallinen tekijä sillä se näkyy siellä ). $Q_{m},\rho _{m}$ $4\pi$
↑ Miinusmerkki ilmestyy, koska sellainen on universaalin painovoiman lain merkki , joka on Coulombin lain analogi Newtonin painovoimateoriassa.
↑ Tällainen tulkinta juontaa historiallisesti ilmeisesti Faradaylle.
↑ Tai verrannollinen siihen vakiokertoimella (joka on sama, koska se riippuu vain mallin ehdollisesta määrittelystä).
↑ Tai suhteellisesti, riippuen käytetyistä mittayksiköistä ja mallin toteutuksen ehdollisesta käytännöstä.
↑ Historiallisesti tällä analogialla oli merkittävä merkitys Maxwellille ja sitä sovellettiin intensiivisesti myöhemmän sähködynamiikan kehityksen aikana.
↑ Niille teorioille ja aloille, kun se täyttyy, eli esimerkiksi sähködynamiikkaan.
↑ "...voimakas "integraalinen" lause-seuraus Coulombin laista ja superpositioperiaatteesta - Gaussin lause." A.V. Zoteev, A.A. Sklyankin. Luennot yleisen fysiikan kurssista. Mekaniikka. sähköä ja magnetismia. Opastus. - Moskovan valtionyliopiston kustantamo. M.V. Lomonosov, Moskovan valtionyliopiston sivukonttori Bakussa, 2014. - 242 s. Lainaus sivulta 99
↑ "Toisin sanoen Gaussin laki ei yksinään ole riittävä ehto Coulombin lain implisiittiselle pistelähdekentän symmetrialle" Purcell E. Berkeley Fysiikan kurssi (5 osassa). T.2: Sähkö ja magnetismi. Per. englannista. T.2. 1971. 448 s. Huomautus sivulla 42
↑ Sähködynamiikan aksiomatisointi, jossa Coulombin laki on ensisijainen, mahdollistaa johtopäätöksen Maxwellin yhtälöiden – mukaan lukien Gaussin lauseen – pätevyydestä varausten tasaisille liikkeille, mutta vaatii lisäpostulaatin näiden yhtälöiden laajentamisesta kiihdytettyjen liikkeiden tapauksessa, kun taas käänteinen siirtyminen Maxwellin yhtälöistä Coulombin lakiin ei vaadi lisäoletuksia. Tässä mielessä nämä kaksi aksiomatisaatiotyyppiä eivät ole aivan symmetrisiä (ja Coulombin laki esiintyy useiden lisäpostulaattien yhteydessä), mikä ei kuitenkaan tee näistä aksiomatisoinneista epäekvivalentteja.
↑ Tässä meidän on rajoituttava sähköstaattiseen kehykseen siitä syystä, että Coulombin laki sellaisenaan tapahtuu vain sen puitteissa.
↑ Tämä näyttää olevan metodologisesti sopivampi tämän kappaleen tälle kappaleelle kuin esimerkiksi rationalisoimattoman GHS :n käyttäminen .
↑ Tämän seurauksena palloa S 0 ei tässä tapauksessa edes tarvita.
↑ Voit arvata, että yhtälön pitäisi olla juuri tällainen, esimerkiksi analogiasta nesteen virtauksen kanssa. Totta, tällainen analogia todistaa välittömästi koko lauseen, mutta tämä todistus menettää ne matemaattiset yksityiskohdat, jotka haluaisimme jäljittää, joten rajoitamme käyttämään tätä analogiaa vain heuristisena vihjeenä (jos tämä kysymys ylipäätään kiinnostaa; muuten , yksinkertainen laskennallinen tarkistus, joka mainitaan päätekstissä).
↑ Esimerkiksi kirjoittamalla lauseke (1) Coulombin laille eksplisiittisesti suorakulmaisina koordinaateina, minkä jälkeen jää vain ottaa derivaatat x :n , y :n ja z :n suhteen ja laskea ne yhteen.
↑ Tämä kenttä voidaan haluttaessa mitata, jos pallossa on ohut kuoppa tai jos pallo on nestemäinen, niin se on helppo tunkeutua siihen. Siten sellaisen pallon sisällä olevaan kehoon vaikuttaa voima kuten harmonisessa oskillaattorissa , ja jos pallo on nestemäinen, eli se ei häiritse testikappaleen vapaata liikettä mihinkään suuntaan, niin meillä on kolme- ulottuvuus harmoninen oskillaattori.
↑ Saattaa tuntua, että viimeinen tehtävä on puhtaasti abstrakti, mutta itse asiassa se on helppo toteuttaa käytännössä: riittää, kun otetaan ohut pallomainen kerros johtavaa nestettä - esimerkiksi eristävän pallomaisen seinämän väliin - tai vain saippuakupla; sähkökenttä tällaisessa kerroksessa vastaa kuvattua tilannetta. On myös mahdollista tarkastella magneettikenttää ohuessa pallomaisessa tyhjässä kerroksessa, joka on suljettu samankeskisten suprajohtavien seinien väliin, ja tällainen järjestelmä toteuttaa kuvatun ongelman jopa magneettikentällä.
↑ I. E. Herodov. Sähkömagnetismi: peruslait. - 7. painos - M . : Binom. Knowledge Laboratory., 2009. - S. 46-47.

Kirjallisuus

Matveev A. N. Sähkö ja magnetismi: Oppikirja. - M .: Higher School, 1983. - 463 s., ill. ja myöhemmät versiot.
Sivukhin DV Yleinen fysiikan kurssi. — M .. - T. III. Sähkö. - §§ 5 - 8, 13, 53.

Sanakirjat ja tietosanakirjat	Suuri tanskalainen Britannica (verkossa)