Earnshaw'n lause

Earnshaw'n  teoreema on sähköstaattista kenttää koskeva teoreema, jonka englantilainen fyysikko Earnshaw muotoili 1800-luvulla vuonna 1842 [1] .

Se on seurausta Gaussin lauseesta .

Earnshaw'n lause on puhtaasti klassinen (ei-kvantti) lause , eikä sillä ole kvanttianalogia .

Sanamuoto

Mikä tahansa pistevarausten tasapainokonfiguraatio on epävakaa, jos niihin ei vaikuta muita voimia kuin Coulombin veto- ja hylkimisvoimat.

• Ymmärretään, että pistevaraukset ovat "läpäisemättömiä", eli ne eivät voi olla samassa paikassa avaruudessa (eli ymmärretään, että tässä tapauksessa, ennen kuin pistevaraukset ottavat tällaisen aseman, ei-Coulomb-luonteisia voimia alkaa vaikuttaa niiden välillä esimerkiksi pintojen kimmovoimat - jos tarkastellaan pistevarausta rajallisena pienen rajallisena kappaleen mittakaavassa [2] ); toisin sanoen ilmeiset tasapainotilanteet, joissa positiiviset ja negatiiviset varaukset ovat samassa avaruusasemassa, jätetään lauseen ehdon huomioimatta. Tämä voidaan motivoida vaihtoehtoisella tavalla "läpäisemättömyydelle" sillä, että tällaiset tapaukset ovat triviaaleja eivätkä siksi kiinnostavia, ja myös fyysisesti kyseenalaisia ​​(tarkoittaa varausten ääretöntä vuorovaikutusenergiaa sellaisessa asennossa).
• "Ulkoiset" sähköstaattiset kentät (kiinteistä lähteistä luotuja) voidaan lisätä lauseen muotoiluun.
• Lause itsessään ei väitä, että tasapaino olisi ollenkaan mahdollista. Ei ole kuitenkaan vaikeaa löytää esimerkkejä, jotka osoittavat, että pistevarausten epävakaita kiinteitä konfiguraatioita voi olla. Tässä epävakauden ymmärretään tarkoittavan, että mikä tahansa pieni poikkeama kiinteästä konfiguraatiosta johtaa epävakauden lisääntymiseen ja järjestelmäkonfiguraation romahtamiseen.

Todiste

Todistuksesta on olemassa kaksi versiota, jotka ovat täysin ekvivalentteja sähköstatiikan puitteissa ja perustuvat periaatteessa samaan fysikaaliseen (matemaattiseen) ajatukseen, ilmaistuna hieman eri termein .

Ensimmäinen toteutetaan kentänvoimakkuuden kannalta ja perustuu Gaussin lauseeseen , toinen on potentiaalin kannalta ja perustuu Laplacen (tai Poissonin ) yhtälöön .

Ensimmäisen menetelmän etuna on, että se ei sovellu vain potentiaalikentille , eli se ei vaadi, että kentänvoimakkuus ilmaistaan ​​täysin skalaaripotentiaalin kautta . Tässä tapauksessa riittää, että se noudattaa Gaussin lakia [3] .

Todistus potentiaalin suhteen on hieman yksinkertaisempi ja geometrisesti selkeämpi.

Todiste kentänvoimakkuuden suhteen

Harkitse positiivista pistevarausta. Siihen vaikuttava voima on suunnattu sähköstaattisen kentän vektoria pitkin. Vakaalle tasapainolle missä tahansa avaruuden pisteessä on välttämätöntä, että (pienellä) poikkeamalla siitä palautuva voima alkaa vaikuttaa siihen. Toisin sanoen sähköstaattisessa tapauksessa, jotta tällainen piste olisi olemassa, on välttämätöntä, että tämän pisteen pienessä ympäristössä kaikkien muiden varausten luoma kenttävektori on suunnattu sitä kohti (sen suuntaan). Toisin sanoen kenttäviivojen on suppeneva sellaiseen pisteeseen, jos se on olemassa. Tämä tarkoittaa ( Gaussin lauseesta johtuen ), että sen täytyy sisältää myös negatiivinen varaus. Mutta tällainen tasapainovariantti ei täytä lauseen ehtoa (esimerkiksi jos pidämme pistevarauksia hyvin pieninä kiinteinä palloina, niin ennen kuvatun tasapainoaseman saavuttamista ne törmäävät pintoihin, eli todellisessa tasapainossa siellä ovat luonteeltaan ei-sähköstaattisia voimia, jos tarkastelemme niitä matemaattisina pisteinä, tämä ratkaisu sisältää äärettömän vuorovaikutusenergian, mikä ei ole fyysisesti hyväksyttävää, ja jos tarkastellaan sitä hieman eri näkökulmasta, tämä on soveltuvuuden ulkopuolella. klassisen sähköstatiikan).

Gaussin lauseen näkökulmasta palautusvoiman esiintyminen (joka puolelta tiettyyn pisteeseen suunnattu) tarkoittaa, että ulkoisten voimien intensiteetin vektori luo negatiivisen virtauksen väitetyn pisteen ympärillä olevan pienen pinnan läpi. tasapaino. Mutta Gaussin lause sanoo, että ulkoisten voimien virtaus pinnan läpi on nolla, jos tämän pinnan sisällä ei ole varausta [4] . Saamme ristiriidan.

Negatiivisen varauksen tapauksessa huomio on täysin analoginen.

Todiste potentiaalin suhteen

Tarkastellaan yhtä pistevarauksista muiden kentässä ja osoitetaan, että jos se on tasapainossa, se on vain epävakaassa. (Kutsumme tätä maksua erilliseksi).

Oletetaan, että vapautunut varaus on tasapainossa (päinvastainen tapaus ei ole kiinnostava).

Muiden valitsemamme varauksen läheisyydessä olevien varausten luoma potentiaali noudattaa Laplacen yhtälöä (ellei jokin näistä muista varauksista ole samassa asemassa valitun varauksen paikan kanssa, mikä on poissuljettu lauseen [5] muotoilulla. ), koska tämä on sähköstaattinen kenttä, ja tällä alueella avaruudesta puuttuu lähteensä (muut varaukset).

Laplacen yhtälö:

seurauksena on lausunto:

• tai yksi toinen potentiaalin derivaatta suhteessa joihinkin koordinaatteihin - tai (eli yksi kolmesta vasemman puolen termistä) on pienempi kuin nolla,
• tai kaikki kolme johdannaista ovat nolla.

Ensimmäisessä tapauksessa on selvää, että potentiaalilla ei ole minimiä tietyssä pisteessä, mikä tarkoittaa, että kyseessä olevan varauksen potentiaalienergialla ei ole sitä tässä pisteessä, eli sen tasapaino on epävakaa.

Toinen tapaus jakautuu kahteen vaihtoehtoon:

1. Jos kaikki kolme potentiaalin toista derivaattaa ovat nollia, ei vain pisteessä, vaan myös sen äärellisessä ympäristössä (ja itse pisteen ensimmäiset derivaatat ovat yhtä suuret kuin nolla tasapainooletuksen mukaan), niin potentiaali tämä naapuruus on vakio ja meillä on ilmeisesti kyseessä välinpitämätön tasapaino, eli se ei ole stabiili tasapaino. Voidaan osoittaa, että äärellisen määrän pistelähteitä tapauksessa tämä variantti ei toteudu ollenkaan. [6]

2. Jos kaikki kolme potentiaalin toista derivaasta ovat yhtä suuret kuin nolla vain yhdessä pisteessä (ns. litistyspiste ), niin voidaan osoittaa, että [7] :

• tarkasteltu piste ei vieläkään ole ääripiste;
• tätä tapausta itsessään ei voida toteuttaa millekään valitulle varaukselle, esimerkiksi se ei realisoitu äärivarauksille, joille potentiaalin toiset derivaatat ovat aina nollasta poikkeavat [8] .

Yllä oleva todiste on siis varsin täydellinen ensimmäiselle tapaukselle (tapaus yleisessä asemassa) ja hahmottelee vain joissakin erikoistapauksissa esiin nousevia kysymyksiä ja vastauksia niihin.

Helpoin tapa vastata näihin kysymyksiin on käyttää Gaussin lauseeseen perustuvaa lähestymistapaa.

Yleistykset

• On triviaalia huomata, että lause ei päde vain sähköstaattisille voimille, vaan myös kaikkien Coulombin lain [9] mukaisesti pienenevien voimien kentille (esimerkiksi Newtonin gravitaatiovoimille [10] ).
• Lause pätee myös magnetostatiikkaan kiinteiden dipolien ja virtojen tapauksessa (indusoituneiden magneettisten momenttien läsnä ollessa se voidaan rikkoa - katso alla oleva esimerkki). Avain todistukseen tässä on Gaussin lause magneettikentästä . Periaatteessa magnetostaattisuuden todistus voidaan pelkistää sähköstaattiseen tapaukseen käyttämällä Ampèren magneettilevylauseita , mutta tällöin on käytettävä lauseen sähköstaattista formulaatiota ei pistehiukkasille, vaan laajennetuille kiintoaineille (katso seuraava kappale).
• Lause pitää paikkansa (tässä tapauksessa muotoilua tulisi hieman muokata [11] ) pistevarausten jäykille järjestelmille ja kiinteille [12] varautuneille kiinteille (ehdottomasti kiinteille) kappaleille (läpäisemättömiä toisilleen - joissakin aivoissa samanlaisia ​​kuin ne, jotka on ilmoitettu formulaatiossa pistevarauksille - eli ainakin kiinteiden aineiden varautuneet alueet). Todistuksen ideana on ottaa huomioon jäykän kappaleen pieniä translaatiosiirtymiä (ilman kiertoja). Tällöin jäykän varausjärjestelmän potentiaalienergia [13] on yksinkertaisesti kunkin varauksen summa kerrottuna sen läheisyydessä olevalla potentiaalilla, otettuna joka kerta kappaleen kokonaissiirtymän vuoksi:

Koska kunkin pisteen läheisyydessä oleva potentiaali täyttää Laplacen yhtälön (ymmärretään, että toisen kappaleen varaukset puuttuvat äärettömän läheltä annetun varauksen läpäisemättömyyden vuoksi), niin niiden lineaarinen yhdistelmä (summa kertoimilla) myös täyttää sen, eli se  täyttää myös Laplacen yhtälön [14] , mikä tarkoittaa, että sillä ei voi olla minimiä.

• Ilmeisesti lause pätee myös elastisten, Hooken lain merkityksessä , varauksen yhteyksien tapauksessa.
• Lause pätee indusoituneiden dipolimomenttien tapauksessa (sähköstaattisessa ja magnetostatiikassa) edellyttäen , että indusoituneiden dipolien polarisaatiokerroin on positiivinen.
• Lause ei pidä paikkaansa negatiivisen polarisoituvuuden omaavan ulkoisen kentän indusoimien dipolien tapauksessa. Sellainen tapaus ei ilmeisesti toteudu luonnollisesti sähköisille dipoleille (tapausta dipolimomentin keinotekoisesta ohjauksesta ei tässä tarkoiteta, sitä tarkastellaan alla).

Indusoiduille magneettisille dipoleille negatiivisen polarisoituvuuden tapaus esiintyy kuitenkin melko usein, esimerkiksi diamagneettisissa tai suprajohtavissa kappaleissa, joille siksi Earnshawin lauseen yleistys ei päde , eli niille stabiili tasapaino on täysin mahdollista ( W. Braunbeck , 1939 ) [15] .

• On aivan selvää, että Earnshaw'n lause ei sovellu toisiaan läpäisevien kiinteiden aineiden tapauksessa. Esimerkiksi kahden tasaisesti varautuneen (saman merkin varaukset, samat tai erisuuruiset) pallon (halkaisijaltaan samat tai erilaiset, mukaan lukien yhden pallon sijaan voit ottaa pistevarauksen) vuorovaikutuksessa. on vakaa tasapaino asennossa, jossa niiden keskukset osuvat yhteen. Totta, tällaisen teoreettisen mallin käytännön arvo toisiaan läpäisevinä kiinteinä aineina ei ole kovin selvä.

Soveltamisrajat

Lauseen perusteoreettiset sovellettavuuden rajat

Earnshaw'n lause sinänsä (ja kuten tässä artikkelissa on kuvattu) on puhtaasti klassinen (ei kvantti) lause. Tämä määrittää sen sovellettavuusalueen pääperusrajan.

Lisäksi, vaikka joissakin erityistapauksissa on mahdollista muotoilla sille tietty kvanttianalogi, yleistäen ja monissa erityisissä keskeisissä ja perustavanlaatuisissa tapauksissa tällainen yleistäminen on mahdotonta (ellei tietysti lause, jossa on vastakkainen lause). lausetta pidetään yleistyksenä).

Lyhyesti sanottuna pointti on, että kvanttitapauksessa (eli kun on mahdotonta rajoittua klassiseen approksimaatioon) yleisesti ottaen ei ole keskinäistä läpäisemättömyyttä (esimerkiksi elektroni ja protoni voivat hyvinkin miehittää samassa paikassa, kulkevat toistensa läpi ja tässä tapauksessa jopa "jättävät huomioimatta" toisiaan, sähkömagneettista [16] vuorovaikutusta lukuun ottamatta. Lisäksi itse klassisen pistehiukkasen käsite kvanttitapauksessa - eli esim. jos tarkastelemme protonin tasapainoa elektronin kanssa, niin atomin halkaisijan suuruusluokkaa olevalla spatiaalisella asteikolla pistehiukkasen käsite katoaa [17] .

Kaikesta tästä seuraa tilanteen radikaali muutos mahdollisuudella varautuneiden hiukkasten stabiiliin tasapainoon kvanttitapauksessa.

Pohjimmiltaan voimme sanoa, että vetyatomi on protonin ja elektronin stabiili tasapaino, joka on vuorovaikutuksessa vain sähköstaattisesti [18] .

Sovellettu aspekti

Suunnittelussa Irnshawin lause liittyy tiettyihin rajoituksiin tietyn kappaleen vakaan eristämisen (tai ripustuksen) teknisen ongelman ratkaisemisessa käyttämällä kenttiä (sähköisiä, magneettisia, usein yhdessä luonnollisen painovoimakentän kanssa), eli ilman suoraa kosketusta kiinteät ja yleensä materiaalia pitävät rakenteet.

Nämä rajoitukset voidaan kuitenkin ohittaa.

Tärkeimmät tähän käytetyt menetelmät ovat:

1. Magneettikentän ja kehon, jolla on negatiivinen magneettinen suskeptibiliteetti (diamagneetti) tai suprajohteen käyttö - ihanteellinen diamagneetti. Tässä tapauksessa on mahdollista saavuttaa luonnollinen vakaus ilman lisäkenttien käyttöä (ja ilman energiakustannuksia). Riittää, kun valitaan oikein kenttälähteiden konfiguraatio ja diamagneettisen kappaleen muoto.
2. Ei-potentiaalisten lisävoimien käyttö. Esimerkki mielenkiintoisesta laitteesta on levitron , joka käyttää pyörivää yläosaa levitaatioon . Tässä tapauksessa ylämuotoinen magneetti on potentiaalikaivossa ja gyroskooppiefektiä käytetään kallistuksen epävakauden voittamiseksi.
3. Automaattisten ohjausjärjestelmien käyttö pidennettävän kehon pitokentän ja/tai sähköisten tai magneettisten parametrien (varaus, sähköinen tai magneettinen dipolimomentti jne.) pitämiseen.

Sovellus

Earnshaw'n teoreemalla oli historiallisesti tärkeä rooli atomin rakenteen teoriassa - oletukset atomista staattisten varausten järjestelmänä hylättiin sen perusteella, ja atomin planeettamalli otettiin käyttöön selittämään atomin stabiilisuutta. . Katso kuitenkin yllä .

Sillä on ollut arvoa tekniikassa ( ks. edellä ).

Muistiinpanot

1. ↑ Earnshaw, Samuel (1842). Niiden molekyylivoimien luonteesta, jotka säätelevät valoeetterin rakennetta. Trans. Camb. Phil. soc. 7: s. 97-112.
2. ↑ On huomattava, että jos tarkastellaan pistevarauksia kiinteiden, mutta toisiaan ehdottomasti läpäisevien kappaleiden rajatapauksena, tällainen tasapaino (osittaisella) neutraloinnilla osoittautuu mahdolliseksi, mutta tällainen pistevarauksen malli on hylätään, kun lause muotoillaan fyysisesti epärealistiseksi (ja joka tapauksessa se antaa äärettömät vuorovaikutusenergiat pisterajalle).
3. ↑ Esimerkiksi tällainen todistus pysyy voimassa, kun sähköstaattisiin kenttiin lisätään ulkopuolinen pyörresähkökenttä (joka voi esiintyä sähködynamiikassa, vaikka se ei muuttuisi tietyn ajan).
4. ↑ Emme tarkoita varausta, jonka tasapainoa tarkastelemme, vaan joitain muita varauksia, jotka luovat kentän, jossa tämän varauksen tasapainoa tarkastellaan.
5. ↑ Kaikkien varaumien käsittelyä varten katso sanamuoto kappale .
6. ↑ Kuitenkin yleistääkseen lauseen kiinteisiin aineisiin, joilla on jatkuva varausjakauma, välinpitämättömän tasapainon tapaus esiintyy melko usein (katso Yleistykset ). Jos kuitenkin tarkastellaan pistemaksujen järjestelmää, jossa ei ole päällekkäisiä sidoksia, olettamalla niitä ääretön määrä ja jopa jatkuva varausjakauma, niin osa varauksista voi olla välinpitämättömässä tasapainossa (esimerkiksi diskreetti pistevaraus onton varautuneen pallon keskipiste, mutta muiden varausten (äärimmäisten) tasapaino ei voi olla välinpitämätön (emme todista tätä tässä).
7. ↑ Molempien todisteita ei anneta tässä. Periaatteessa näiden hienovaraisten piirteiden huomioon ottaminen rikkoo jossain määrin lähestymistavan yksinkertaisuutta käyttämällä tiukan todisteen mahdollisuuksia. Vaikka "fyysisellä kurinalaisella tasolla" se on varmasti selkeää ja yksinkertaista.
8. ↑ Ainakin siinä lauseessa, jossa on äärellinen määrä erillisiä varauksia. Variantille, jossa oletetaan jatkuvan jakauman (ääretön määrä) varauksia, tätä väitettä tulisi tarkentaa edelleen.
9. ↑ Koska Earnshaw'n lauseen soveltaminen painovoimaan (jos antigravitaatiota ei oteta huomioon) ei kiinnosta - katso seuraava huomautus, niin tunnetuista perusvoimista ei yksinkertaisesti ole muita ehdokkaita sen soveltamiseen paitsi sähköisiä ja magneettisia. Sitä voidaan kuitenkin soveltaa kaikissa tapauksissa, joissa tällaiset voimat otetaan käyttöön puhtaasti teoreettisesti, sekä tapauksissa, joissa Coulombin kaltaisia ​​voimia esiintyy jossain fenomenologisessa teoriassa (esimerkiksi hydrodynamiikassa).
10. ↑ Esimerkki Newtonin painovoimasta, vaikka se on muodollisesti täysin oikea, ei ole kovin merkityksellinen. Tosiasia on, että ei vain Newtonin, vaan myös missä tahansa muussa painovoimateoriassa, jos se merkitsee vain vetovoimaa, se tosiasia, ettei ole olemassa muuta (staattista) tasapainoa kuin houkuttelevien esineiden törmäys, on täysin ilmeistä ilman Earnshaw'n lausetta.
11. ↑ Alkuperäisen lauseen tiukka epävakaus on korvattava ei-tiukalla, eli välinpitämättömän tasapainon tapauksesta tulee hyväksyttävä (eikä periaatteessa liian harvinainen).
12. ↑ Tässä tarkastellaan tapausta, jossa varaukset eivät ole välttämättömiä, pisteisiä tai jakautuneita, jäykästi kiinnittyneitä kiinteiden aineiden tilavuuteen tai pintaan (tai tavalla tai toisella yhdistetty jäykillä sidoksilla).
13. ↑ Voit myös harkita todistuksen muunnelmaa voimien ja kentänvoimakkuuden suhteen, kuten artikkelin päälauseen todistuksessa tehtiin, eikä potentiaalienergian ja potentiaalin suhteen, jotka olisivat täysin ekvivalentteja. Tässä lyhyyden ja yksinkertaisuuden vuoksi rajoitamme kuitenkin toiseen vaihtoehtoon.
14. ↑ Itse asiassa tässä vaiheessa jäykän kappaleen lause on pelkistetty pistevarausten lauseeksi.
15. ↑ Encyclopedia of Physics, artikkeli "Earnshaw'n teoreema".
16. ↑ Ja tasapainotutkimuksen yhteydessä keskustelemme - pääasiassa sähköstaattisesta.
17. ↑ Tai jos haluat, se muuttuu tuntemattomaksi. Jopa itse termi pistehiukkanen , sellaisena kuin sitä yleensä käytetään kvanttifysiikassa, tarkoittaa pohjimmiltaan täysin erilaista kuin klassisessa, ei yleisesti ottaen liene liian suurta liioittelua sanoa, että termin pistehiukkanen käyttö kvanttitapauksessa on puhtaasti mielivaltainen ja lähes vahingossa sopusoinnussa termin klassisen ymmärryksen kanssa.
18. ↑ Voidaan väittää (yhdessä kvanttiteorian syntymän ajan fyysikkojen kanssa), että tämä tasapaino ei ole täysin staattinen. Itse asiassa vetyatomin elektronilla on kineettinen energia ja liikemäärän neliö. Kvanttimekaniikassa elektroni ei yksinkertaisesti voi pysähtyä kokonaan, ainakin pysähtyäkseen sen täytyisi miehittää koko ääretön avaruus. Voidaan siis sanoa, että joko staattisen tasapainon käsite kvanttitapauksessa katoaa kokonaan (tulee käyttökelvottomaksi) tai on vielä sovittava, että vetyatomi perustilassa (virittymättömässä) on protonin ja elektronin tasapaino staattisena. kuten se on yleensä mahdollista kvanttitapauksessa.