Skalaaripotentiaali

Vektorikentän skalaaripotentiaali (useammin vain vektorikentän potentiaali ) on skalaarifunktio , joka on sellainen, että kentän määrittelyalueen kaikissa kohdissa $\mathbf {A}$ $\phi$

{\mathbf {A}}=\operaattorinimi {grad}\,\phi ,

missä tarkoittaa gradienttia . Fysiikassa potentiaalia kutsutaan yleensä suureksi, jonka etumerkki on vastakkainen (voiman potentiaali, sähkökentän potentiaali). $\operaattorinimi {grad}\phi$ $\phi$

Mahdolliset kentät

Kenttää kutsutaan potentiaaliksi , jos sillä on skalaaripotentiaali. Potentiaalikentän kaareva integraali kahden pisteen välillä on:

\phi ({\mathbf r})=\int \limits _{C}{\mathbf {A}}({\mathbf {r}})\cdot \,d{\mathbf {r}}=\int \ rajat _{a}^{b}{\mathbf {A}}({\mathbf {r}}(t))\cdot {\mathbf {{\piste r}}}(t)\,dt

ei riipu näitä pisteitä yhdistävästä integrointipolusta. Tämä vastaa sitä tosiasiaa, että minkä tahansa suljetun ääriviivan integraali on yhtä suuri kuin nolla: $C=\left\{{\mathbf {r}}(t)|t\in [a,b]\oikea\}$ $C$

\oint \limits _{C}{\mathbf {A}}({\mathbf {r}})\cdot \,{\mathbf {dr}}=0

Fysikaalisesti tämä tarkoittaa, että testikappaleen siirtämisen mekaaninen työ voimapotentiaalikentässä ei riipu liikkeen radasta , vaan ainoastaan liikeradan alku- ja loppupisteiden sijainnista.

Jatkuva vektorikenttä kolmiulotteisen avaruuden yksinkertaisesti yhdistetyllä alueella on potentiaalisesti silloin ja vain, jos se on irrotaatio :

{\mathbf {A}}=\operaattorinnimi {grad}\,\phi \Leftrightarrow \operaattorin nimi {rot}\,{\mathbf {A}}=0

Tämän lauseen yleistys mielivaltaisen äärellisulotteisen avaruuden tapaukseen on Poincarén lemma . Tällaisilla avaruuksilla on isomorfismi vektorikenttien ja 1-muotojen välillä, jolloin kysymys potentiaalin olemassaolosta on pelkistetty kysymykseen ulomman derivaatan kääntämisestä . Poincarén lemma sanoo, että mikä tahansa suljettu muoto äärellisulotteisen avaruuden yksinkertaisesti yhdistetyssä alueella on tarkka . $\mathbf {A}$ $\omega _{{{\mathbf {A}}}}$

Huomaa, että ei-yksinkertaisesti yhdistetyn tilan yleisessä tapauksessa suljettu ehto ei ole riittävä. On helppo tarkistaa, että kenttä on koneessa

{\mathbf {A}}=\left({\frac {-y}{x^{2}+y^{2}}},{\frac {x}{x^{2}+y^{2 }}}\oikea)

on irrotaatio millä tahansa yksinkertaisesti yhdistetyllä alueella, joka ei kuitenkaan sisällä pistettä $(0,0)$

\int \limits _{C}{\mathbf {A}}({\mathbf {r}})\cdot \,{\mathbf {dr}}=2\pi

mille tahansa ääriviivalle kiertämällä origon ympäri vastapäivään. $C$

Newtonin potentiaali

Mistä tahansa vektorikentästä on mahdollista erottaa sen potentiaalinen komponentti. Sitä vastaava potentiaali voidaan kirjoittaa eksplisiittisesti laajentamatta itse kenttää. Sen määrittää integraali, jota kutsutaan Newtonin potentiaaliksi : $\mathbb {R} ^{3}$

\phi ({\mathbf {r}}_{0})={\frac {1}{4\pi }}\int \limits _{({\mathbb {R}}^{3}}}{\ frac {\operaattorinimi {div}\,{\mathbf {A}}}{\left|{\mathbf {r}}-{\mathbf {r}}_{0}\right|}}dV

Tässä tapauksessa kentän hajaantumisen tulee pienentyä äärettömässä nopeammin kuin . Irrotaatiokentän tapauksessa tämä integraali antaa kentän skalaaripotentiaalin. ${\frac {1}{r^{2}}}$

Divergenssi voidaan tunnistaa varaustiheydellä . Etenkin kentälle $\operaattorin nimi {div}\,{\mathbf {A}}$ $\rho ({\mathbf {r}})$

{\mathbf {A}}=-{\frac {{\mathbf {r}}}{r^{3}}}

saamme origossa sijaitsevan pistemassan Newtonin gravitaatiopotentiaalin tavallisen kaavan:

\phi ({\mathbf {r}}_{0})=\int \limits _{({\mathbb {R}}^{3}}}{\frac {\delta ({\mathbf {r}} )}{\left|{\mathbf {r}}-{\mathbf {r}}_{0}\right|}}dV={\frac {1}{r}}

missä on kolmiulotteinen Diracin deltafunktio . $\delta ({\mathbf {r}})$

Skalaaripotentiaali

Mahdolliset kentät

Newtonin potentiaali

Katso myös