Kaareva integraali

Kokeneet kirjoittajat eivät ole vielä tarkistaneet sivun nykyistä versiota, ja se voi poiketa merkittävästi 7.7.2022 tarkistetusta versiosta . vahvistus vaatii 1 muokkauksen .

Kaareva integraali on käyrää pitkin laskettu integraali .

Erotetaan ensimmäisen tyyppinen käyräviivainen integraali , jossa skalaarifunktio kerrotaan äärettömän pienellä käyräalueen pituudella, ja toisen tyyppinen , jossa vektorifunktio kerrotaan skalaarisesti äärettömän pienellä vektorilla, joka sijaitsee pitkin käyrä, jolla on suunta .

Määritelmä

Alkuehdot

Käyrä

Olkoon tasainen ( jatkuvasti differentioituva ) käyrä ilman yksittäisiä pisteitä ja itseleikkauksia (yksi itseleikkaus on sallittu - suljetun käyrän tapauksessa), annettu parametrisesti : $l$

l\colon ~\mathbf {r} (t),

missä r on sädevektori , jonka loppu kuvaa käyrää ja parametri t ohjataan jostain alkuarvosta a loppuarvoon b . Toisen tyyppisen integraalin kohdalla parametrin liikkumissuunta määrää itse käyrän suunnan . Ei ole väliä mikä on suurempi - b vai a . [yksi] $l.$

Integroitu toiminto

Olkoon skalaari- tai vektorifunktio, josta integraali käyrää pitkin tai $l\colon$ $f(\mathbf {r} )$ $\mathbf {f} (\mathbf {r} ).$

Erittely

Parametrisoinnin segmentin osiointi

Olkoon segmentin (tai ) osio annettu, eli joukko , jossa: $[a,b]$ ${\näyttötyyli [b,a]}$ $\{t_{k}\}_{k=0}^{n}=\{t_{0},~...,t_{n}\},$
- $a=t_{0}<\ldots <t_{n}=b,$ jos $a<b;$
- tai jos $a={{t}_{0}}>\ldots >{{t}_{n}}=b,$ $a>b.$

Tämän osion hienous on luku , joka ilmaisee suurimman mahdollisen etäisyyden tämän osion kaikkien viereisten arvojen välillä. $\max _{k={\overline {1,n))}\{|t_{k}-t_{k-1}|\},$

Esitetään joukko väliosiopisteitä – pisteitä , joista jokainen on ja ( ) välissä . $\xi _{k},$ ${\näyttötyyli t_{k-1))$ $t_k$ $k=\overline {1,n}$

Käyrän murtaminen

Määritetään käyrän osio , joka vastaa parametrisointisegmentin osiota. $\{\mathbf {r} (t_{k})\}_{k=0}^{n},$ $\{t_{k}\}_{k=0}^{n}$

For merkitsee käyrän osaa parametrin arvosta arvoon jossa ${\näyttötyyli l_{k))$ $\mathbf {r} (t)$ ${\näyttötyyli t=t_{k-1))$ $t=t_{k},$ $k={\overline {1,n)).$

Määritellään joukko käyrän jakamisen välipisteitä – pisteitä , joista jokainen on kohdassa ( ). $\mathbf {r} (\xi _{k}),$ ${\näyttötyyli l_{k))$ $k=\overline {1,n}$

Integraalisummat

Alla integraalisummien määrittämiseen käytetään välipisteitä, osiointia ja käyrän osia . Tarkastellaan kahta integraalisummaa : $\mathbf {r} (\xi _{k}),$ $\{t_{k}\}_{k=0}^{n}$ ${\näyttötyyli l_{k))$ $l.$

ensimmäisen tyypin integraalin kokonaissumma: $\sum \limits _{k=1}^{n}f{\big (}\mathbf {r} (\xi _{k}){\big )}\cdot |l_{k}|,$ missä | lk | _ — osan pituus l k ;

integraalisumma toisen tyypin integraalille: $\sum \limits _{k=1}^{n}\mathbf {f} {\big (}\mathbf {r} (\xi _{k}){\big )}\cdot {\big (}\mathbf {r} (t_{k})-\mathbf {r} (t_{k-1}){\big )},$

jossa vektorifunktio f on skalaari kerrottuna inkrementillä r ( t k ) − r ( t k −1 ).

Kaareva integraali

Jos integraalisummissa n on rajattomasti kasvatettu niin, että hienous pyrkii nollaan, niin rajassa saadaan funktion ( ) kaareva integraali käyrää pitkin. Jos tämä raja todella on olemassa, niin sanotaan, että funktio ( ) on integroitavissa käyrää pitkin . Sitten ensimmäisen ja toisen tyypin integraalit ovat : $f$ $\mathbf {f}$ $l.$ $f$ $\mathbf {f}$ $l.$

\int _{l}{f(\mathbf {r} )|\mathbf {dr} |},\quad \int _{l}\mathbf {f(r)\cdot dr} ,

missä dr on differentiaalivektori käyrällä. Toisen tyyppisen integraalin tapauksessa käyrän suunta on tärkeä: itse differentiaalin dr suunta riippuu tästä .

Jos käyrä on suljettu (alku osuu yhteen lopun kanssa), kuvakkeen sijaan on tapana kirjoittaa $l$ $\textstyle \int$ $\textstyle \oint .$

Ensimmäisen tyyppinen käyräviivainen integraali

Ominaisuudet

Lineaarisuus: $\int _{l}(\alpha f(\mathbf {r} )+\beta g(\mathbf {r} ))\cdot \mathbf {|dr|} =\alpha \int _{l} f\mathbf {|dr|} +\beta \int _{l}g\mathbf {|dr|} .$
Additiivisuus: jos ja leikkaavat yhdessä pisteessä, niin $l_{1}$ $l_{2}$ $\int _{l_{1}\cup l_{2}}f\mathbf {|dr|} =\int _{l_{1}}f\mathbf {|dr|} +\int _{l_ {2}}f\mathbf {|dr|} .$
Monotonisuus: jos päällä , niin $f\leqslant g$ $l$ $\int _{l}f\mathbf {|dr|} \leqslant \int _{l}g\mathbf {|dr|} .$
Keskiarvon lause: jos funktio on jatkuva , integraali voi valita pisteen siten, että $f$ $l$ $\textstyle \int _{l}f\mathbf {|dr|}$ $\xi \in l,$ $\int _{l}f\mathbf {(r)|dr|} =\int _{l}f(\xi )\mathbf {|dr|} ,$ tai mikä on sama, $\int _{l}f\mathbf {(r)|dr|} =f(\xi )\cdot |l|.$
Integrointikäyrän ohituksen suunnan muuttaminen ei vaikuta integraalin etumerkkiin: $\int _{AB}f\cdot |\mathbf {dr} |=\int _{BA}f\cdot |{-}\mathbf {dr} |=\int _{BA}f\cdot | \mathbf {dr} |.$
Ensimmäisen tyyppinen kaareva integraali ei riipu käyrän parametrisoinnista.

Laskenta

Antaa olla tasainen, korjattava (äärellisen pituinen) käyrä annettu parametrisesti (kuten määritelmässä ). Olkoon funktio määritelty ja integroitavissa käyrää pitkin Sitten yleisessä tapauksessa $l$ $f(\mathbf {r} )$ $l.$

\int _{l}{f(\mathbf {r} )|\mathbf {dr} |}=\int _{a}^{b}f(\mathbf {r} )\cdot |\mathbf {\piste {r}} (t)dt|=\int _{b}^{a}f(\mathbf {r} )\cdot |\mathbf {\piste {r}} (t)dt|,

tai jos laajennetaan differentiaalin d t moduulia ,

\int _{l}{f(\mathbf {r} )|\mathbf {dr} |}={\begin{cases}\int \limits _{a}^{b}f(\mathbf { r} )\cdot |\mathbf {\piste {r}} (t)|dt=\int \limits _{b}^{a}f(\mathbf {r} )\cdot |\mathbf {\piste { r}} (t)|(-dt),&{\text{if}}~a<b,\\\int \limits _{a}^{b}f(\mathbf {r} )\cdot | \mathbf {\piste {r}} (t)|(-dt)=\int \limits _{b}^{a}f(\mathbf {r} )\cdot |\mathbf {\piste {r}} (t)|dt,&{\text{if}}~a>b.\end{cases}}

jossa piste tarkoittaa derivaatta suhteessa t .

Toisen tyyppinen käyräviivainen integraali

Ominaisuudet

1. Lineaarisuus:

\int _{l}(\alpha \mathbf {f} +\beta \mathbf {g} )\cdot \mathbf {dr} =\alpha \int _{l}\mathbf {f\cdot dr} +\beta \int _{l}\mathbf {g\cdot dr} .

2. Additiivisuus:

\int _{AB}\mathbf {f\cdot dr} +\int _{BC}\mathbf {f\cdot dr} =\int _{ABC}\mathbf {f\cdot dr} .

3. $\int _{BA}\mathbf {f\cdot dr} =\int _{AB}\mathbf {f} \cdot (-\mathbf {dr} )=-\int _{AB}\mathbf { f\cdot dr} .$

Kommentti. Toisen tyyppisille kaareville integraaleille monotonisuusominaisuus, moduuliestimaatti ja keskiarvon lause ei kelpaa.

Laskenta

Olkoon AB tasainen käyrä, joka on annettu parametrisesti (kuten määritelmässä ) ja jolla on suunta A :sta B :hen . Olkoon funktio määritelty ja integroitavissa käyrää pitkin $\mathbf {f}$ $l.$

\int _{AB}\mathbf {f(r)\cdot dr} =\int _{a}^{b}\mathbf {f(r)\cdot {\piste {r))} (t )dt,

ja kun muutat käyrän läpikulkua:

\int _{BA}\mathbf {f(r)\cdot dr} =\int _{b}^{a}\mathbf {f(r)\cdot {\piste {r))} (t )dt=-\int _{a}^{b}\mathbf {f(r)\cdot {\piste {r))} (t)dt.

Kaarevien integraalien suhde

Jos yksikkövektoriksi merkitään käyrän tangentti, jolla on sama suunta kuin itse käyrä on parametroitu, käyräviivaisten integraalien välinen suhde on seuraava: ${{\vec {\tau}}}$ $l,$

\mathbf {\color {Green}dr} ={\vec {\tau }}\mathbf {\color {Green}|dr|} .

Itse integraalien suhteen se näyttää tältä:

\int _{l}\mathbf {f\cdot \color {Green}dr} =\int _{l}\mathbf {(f\cdot {\vec {\tau }})\color {Green} |dr|} ,

jossa on tasainen, tasasuuntainen käyrä, jolla on suunta, ja vektorifunktio on integroitavissa siihen. $l$ $\mathbf {f}$

Kolmiulotteinen euklidinen avaruus

Kolmiulotteisessa euklidisessa avaruudessa suunnattua käyrää pitkin suunnatun vektorin koordinaattien differentiaalit ilmaistaan suuntakosineina käyttäen pistetulon määritelmää :

dx=\cos \angle ({\vec {i)),{\vec {\tau )))|\mathbf {dr} |;

dy=\cos \angle ({\vec {j)),{\vec {\tau )))|\mathbf {dr} |;

dz=\cos \angle ({\vec {k)),{\vec {\tau )))|\mathbf {dr} |.

Sitten laajentamalla skalaarituloa koordinaatteina kaarevien integraalien suhde voidaan ilmaista seuraavasti: $\textstyle \int _{l}\mathbf {f\cdot \color {Green}dr} =\int _{l}\mathbf {(f\cdot {\vec {\tau }})\color { Vihreä}|dr|}$