Newtonin potentiaali

Newtonin potentiaali on funktio, joka on annettu ja määritelty yleisen funktion konvoluutioksi , jota kutsutaan potentiaaliteoriassa tiheydeksi , funktion kanssa | x | −1 : $\mathbb {R} ^{3}$

V={\frac {1}{|x|}}*\rho .

Potentiaali V täyttää Poissonin yhtälön : Δ V = −4πρ.

Bulkkipotentiaali

Jos ρ on integroitavissa oleva funktio jollakin alueella G ja ρ( x ) = 0, , niin Newtonin potentiaali, jota kutsutaan tilavuuspotentiaaliksi , voidaan ilmaista integraalilla $x\in \mathbb {R} ^{3}\setminus {\overline {G))$

V(x)=\iiiint \limits _{G}{\frac {\rho (y)}{|xy|}}dy

Potentiaalin tasaisuudesta voidaan sanoa seuraavaa. Jos ρ ∈ C ( G ), niin V ( x ) ∈ C 1 (ℝ 3 ) ja Δ V ( x ) = 0 x ∈ . $\mathbb {R} ^{3}\setminus {\overline {G}}$

Yksinkertainen kerrospotentiaali

Alueen G sijasta tarkastellaan nyt rajattua paloittain sileää pintaa , jossa normaali n , μ on jatkuva funktio S :llä . Yksinkertaisen kerroksen Newtonin potentiaalia kutsutaan konvoluutioksi

V^{(0)}={\frac {1}{|x|}}*\mu \delta _{S}

tai kiinteässä muodossa:

V^{(0)}(x)=\iint \limits _{S}{\frac {\mu (y)}{|xy|}}dS_{y},

Yksinkertaisen kerroksen potentiaali on harmoninen alueen S ulkopuolella , on jatkuva kaikkialla ℝ 3 :ssa ja pyrkii nollaan äärettömyyteen. Lisäksi, jos S on Ljapunov-pinta , siinä havaitaan yksinkertaisen kerrospotentiaalin normaalin derivaatan epäjatkuvuus:

{\frac {\partial V^{(0)}}{\partial \mathbf {n} }}{\Bigg |}_{+}=-2\pi \mu (S)+{\frac {\partial V^{(0)}}{\partial \mathbf {n} }}{\Bigg |}_{S},

{\frac {\partial V^{(0)}}{\partial \mathbf {n} }}{\Bigg |}_{-}=2\pi \mu (S)+{\frac { \partial V^{(0)}}{\partial \mathbf {n} }}{\Bigg |}_{S},

jossa indeksit "+" ja "-" tarkoittavat vastaavasti S :n ulompaa ja sisäistä derivaatta .

Vakiotiheyden μ ja Ljapunov-pinnan tapauksessa yksinkertaisen kerroksen potentiaali on:

V^{(0)}(x)={\begin{cases}4\pi \mu {\frac {R^{2}}{|x|}},\ |x|\geqslant R, \\4\pi \mu R,\ |x|<R.\end{cases}}

Kaksikerroksinen potentiaali

Täysin analogisesti yksinkertaisen kerroksen potentiaalin kanssa, otetaan käyttöön kaksoiskerroksen Newtonin potentiaali :

V^{(1)}(x)=-{\frac {1}{|x|}}*{\frac {\partial }{\partial \mathbf {n} }}(\nu \delta _{S})=\iint \limits _{S}\nu (y){\frac {\partial }{\partial \mathbf {n} _{y))}{\frac {1}{|xy| }}dS_{y}=\iint \limits _{S}\mu {\frac {\cos \varphi }{|xy|^{2}}}dS_{y},

missä φ on pisteen y pinnan S normaalin ja pisteestä x pisteeseen y suunnatun sädevektorin välinen kulma .

Kaksoiskerrospotentiaali on jatkuva pinnan S rajaaman alueen sulkeutumisessa , jatkuva tämän alueen ulkopuolella ja jatkuva itse pinnalla S , jos se on Ljapunov-pinta , mutta kulkeessaan pinnan S läpi se joutuu epäjatkuvuuden läpi. :

V_{+}^{(1)}(S)=2\pi \nu (S)+V^{(1)}(S),

V_{-}^{(1)}(S)=-2\pi \nu (S)+V^{(1)}(S).

Äärettömässä kaksoiskerroksen potentiaalilla on taipumus olla nolla.

Vakiotiheyden ν ja Ljapunov-pinnan tapauksessa kaksoiskerroksen potentiaali on:

V^{(1)}(x)={\begin{cases}0,\ x\in \mathbb {R} ^{3}\setminus {\overline {G)),\\-2\ pi \nu ,\ x\in S,\\-4\pi \nu ,\ x\in G.\end{cases}}

Newtonin potentiaalien fyysinen merkitys

Koska potentiaali V täyttää Poissonin yhtälön , se voidaan luoda massoilla tai varauksilla , jotka jakautuvat avaruuteen tiheydellä ρ. Erityisesti jatkuva massojen tai varausten jakautuminen luo tilavuuspotentiaalin; jos massat tai varaukset keskittyvät pintaan, ne luovat yksinkertaisen kerroksen potentiaalin; jos dipolit keskittyvät pintaan , tämä on kaksoiskerroksen potentiaali.

Katso myös

Kirjallisuus

Vladimirov V. S. , Zharinov V. V. Matemaattisen fysiikan yhtälöt. — M.: Fizmatlit, 2004. — ISBN 5-9221-0310-5 .

Linkit

[bse.sci-lib.com/article091961.html Potentiaalia suuressa Neuvostoliiton tietosanakirjassa]