Parametririippuvainen integraali

Kokeneet kirjoittajat eivät ole vielä tarkistaneet sivun nykyistä versiota, ja se voi poiketa merkittävästi 3. marraskuuta 2014 tarkistetusta versiosta . tarkastukset vaativat 5 muokkausta .

Parametrista riippuva integraali on matemaattinen lauseke , joka sisältää määrätyn integraalin ja riippuu yhdestä tai useammasta muuttujasta ("parametrit").

Parametririippuvainen ominaisintegraali

Olkoon kaksiulotteisessa euklidisessa avaruudessa toimialue , jolle on määritelty kahden muuttujan funktio . $\overline{G}=\left\{\left (x,y\oikea )|a \leq x \leq b, c \leq y \leq d \oikea\}$ $f(x,y)$

Anna edelleen ,. $\forall y\in \left[c;d\right]\, \exists I\left(y\right)=\int\limits_a^bf\left(x,y\right )\, dx$

Funktiota ja kutsutaan integraaliksi parametrista riippuen. $I(y)$

Integraalin ominaisuudet riippuen parametrista

Jatkuvuus

Olkoon funktio alueella jatkuva kahden muuttujan funktiona. Tällöin funktio on jatkuva segmentillä . $f(x,y)$ $\overline{G}$ $I\left(y\right)=\int\limits_a^bf\left(x,y\right )\, dx$ $[c;d]$

Todiste

Harkitse integraalin lisäystä parametrista riippuen. $\Delta I\left(y\right) = I\left(y+\Delta y\right)-I\left(y\right )=\int\limits_a^bf\left(x,y+\Delta y\oikea) \,dx-\int\limits_a^bf\left(x,y\oikea)\,dx=$

$=\int\limits_a^b \left(f\left(x,y+\Delta y\right)-f\left(x,y\right)\right)\,dx$ .

Cantorin lauseen mukaan kompaktissa joukossa jatkuva funktio on siinä tasaisesti jatkuva , ts. $\forall \epsilon >0 \, \exists \delta = \delta\left(\epsilon\oikea )>0\, \forall M_1(x_1,y_1),M_2(x_2,y_2)\in \overline{G}:$

$\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2}<\delta \, \left|f(M_1)-f(M_2)\right|<\epsilon$ .

Siksi for , mikä tarkoittaa funktion jatkuvuutta $\Delta I(y) < \epsilon(ba)$ $\Delta y < \delta$

Erotus integraalimerkin alla

Olkoot nyt funktion lisäksi jatkuvan toimialueella myös sen osittaisen derivaatan . $\overline{G}$ $f(x,y)$ $\frac {\partial f} {\partial y} \left (x,y\right )$

Sitten tai, joka on sama, $\frac {d} {dy} I(y) = \int\limits_a^b \frac {\partial f} {\partial y} \left(x,y\right) \, dx$ $\frac {d} {dy} \int\limits_a^bf(x,y)\,dx = \int\limits_a^b \frac {\partial f} {\partial y} \left(x,y\right) \, dx$

Todiste

$\frac {\Delta I(y)} {\Delta y} = \frac {1} {\Delta y} \int\limits_a^b (f(x,y+\Delta y) - f(x,y)) dx = \int\limits_a^b \frac {\partial f} {\partial y} (x,\eta ) dx = \int\limits_a^b \frac {\partial f} {\partial y} (x,y+ \Theta \Delta y)dx$ $(\eta \in [y;y+\Delta y], \Theta \in [0;1])$ Nämä muunnokset suoritettiin käyttäen Lagrangen keskiarvolausetta . Harkitse nyt ilmaisua . $\frac {\Delta I(y)} {\Delta y} - \int\limits_a^b \frac {\partial f} {\partial y} \left(x,y\right) \, dx = \int\ limits_a^b \left(\frac {\partial f} {\partial y} \left(x,y+\Theta \Delta y \right) - \frac {\partial f} {\partial y} \left(x, y\oikea) \oikea) \, dx$

Käyttämällä taas Cantorin lausetta , mutta funktiolle saamme sen lauseelle , mikä todistaa tämän lauseen $\frac {\partial f} {\partial y}$ $\frac {\Delta I(y)} {\Delta y} - \int\limits_a^b \frac {\partial f} {\partial y} \left(x,y\right) \, dx = o(1 )$ $\Delta(y) \-0$