Integrointimenetelmät

Mielivaltaisten funktioiden tarkan antiderivaatan (tai integraalin ) löytäminen on monimutkaisempi toimenpide kuin "differentiointi", eli derivaatan löytäminen . Usein on mahdotonta ilmaista integraalia alkeisfunktioissa .

Suora integrointi

Suora integrointi on menetelmä, jossa integraali pelkistetään integraalin (tai lausekkeen) identtisillä muunnoksilla ja integraalin ominaisuuksia soveltaen yhdeksi tai useammaksi elementaarifunktion integraaliksi .

Muuttujan korvausmenetelmä (korvausmenetelmä)

Korvausintegrointimenetelmässä otetaan käyttöön uusi integrointimuuttuja. Tässä tapauksessa annettu integraali pelkistetään alkeisfunktion integraaliksi tai pelkistetään siihen.

Ei ole olemassa yleisiä menetelmiä substituutioiden valitsemiseksi - kyky määrittää substituutio oikein hankitaan käytännössä.

Vaaditaan integraalin laskeminen Tehdään substituutio jossa on funktio, jolla on jatkuva derivaatta . $\int F(x)dx.$ $x=\varphi (t),$ $\varphi (t)$

Sitten ja epämääräisen integraaliintegrointikaavan invarianssiominaisuuden perusteella saamme integrointikaavan substituutiolla: $dx=\varphi '(t)\cdot dt$

\int F(x)dx=\int F(\varphi (t))\cdot \varphi '(t)dt.

Tätä menetelmää kutsutaan myös eromerkkimenetelmäksi ja se kirjoitetaan seuraavasti: näkymätoiminto on integroitu seuraavasti: $v(u(x))$

\int v(u(x))dx=\int v(u(x)){\frac {d(u(x))}{d(u(x))/dx))=\int v(u(x)){\frac {d(u(x))}{u'_{x))}.

Esimerkki: Etsi $\int x{\sqrt {x-3}}\,dx$

Ratkaisu: Anna sitten . ${\sqrt {x-3}}=t$ $x-3=t^{2},x=3+t^{2},dx=2tdt$

$\int x{\sqrt {x-3}}\,dx=\int (t^{2}+3)t\cdot 2tdt=2\int (t^{4}+3t^{2} )dt=2\int t^{4}dt+6\int t^{2}dt={\frac {2}{5}}t^{5}+{\frac {6}{3}}t ^{3}+C={\frac {2}{5}}{\sqrt {x-3}}^{5}+2{\sqrt {x-3}}^{3}+C$

Yleisesti ottaen radikaaleja sisältävien integraalien laskemiseen käytetään usein erilaisia substituutioita. Toinen esimerkki on Abel -korvaus

$t={d({\sqrt {x^{2}+px+q))) \over dx},$

käytetään muodon integraalien laskemiseen

$\int {dx \over (x^{2}+px+q)^{m \over 2)),$

missä m on luonnollinen luku [1] . Joskus käytetään Euler-korvauksia . Katso myös differentiaalinen binomiintegrointi alla .

Joidenkin trigonometristen funktioiden integrointi

Vaaditaan lausekkeen integrointia , jossa R on kahden muuttujan rationaalinen funktio . Tällainen integraali on kätevää laskea korvausmenetelmällä: $R(\sin x,\cos x)$

jos , niin substituutiota [2] sovelletaan ; $R(-\sin x,\cos x)=-R(\sin x,\cos x)$ $t=\cos x$
jos , niin substituutiota [2] sovelletaan ; $R(\sin x,-\cos x)=-R(\sin x,\cos x)$ $t=\sinx$
jos , niin substituutiota [3] sovelletaan . $R(-\sin x,-\cos x)=R(\sin x,\cos x)$ $t=\operaattorin nimi {tg} x$

Tämän säännön erikoistapaus:

$\int \sin ^{m}x\cdot \cos ^{n}x\cdot dx$

Vaihtotavan valinta tehdään seuraavasti:

jos m on pariton ja positiivinen, on helpompi tehdä substituutio ; $\cos x=t$
jos n on pariton ja positiivinen, on helpompi tehdä substituutio ; ${\näyttötyyli \sin x=t}$
jos sekä n että m ovat parillisia, on helpompi tehdä substituutio . ${\näyttötyyli \operaattorin nimi {tg} x=t}$

Esimerkki: . $I=\int \sin ^{2}x\cdot \cos x\cdot dx$

Ratkaisu: Anna ; sitten ja , jossa C on mikä tahansa vakio. ${\näyttötyyli \sin x=t}$ $\cos x\cdot dx=dt$ $I=\int t^{2}dt={\frac {t^{3}}{3}}+C={\frac {\sin ^{3}x}{3}}+C$

Differentiaalibinomiaalin integrointi

Differentiaalibinomiaalin integraalin laskeminen

I=\int x^{m}(a+bx^{n})^{p}\;dx,

missä a , b ovat reaalilukuja , a m , n , p ovat rationaalilukuja , korvausmenetelmää käytetään myös seuraavissa kolmessa tapauksessa:

$s$ on kokonaisluku. Substituutiota käytetään , se on murto-osien ja ; $x=t^{k}$ $k$ $m$ $n$
${\frac {m+1}{n))$ on kokonaisluku. Korvaamista käytetään , on murtoluvun nimittäjä . $a+bx^{n}=t^{s}$ $s$ $s$
$p+{\frac {m+1}{n}}$ on kokonaisluku. Korvaamista käytetään , on murtoluvun nimittäjä . $ax^{{-n}}+b=t^{s}$ $s$ $s$

Muissa tapauksissa, kuten P. L. Chebyshev osoitti vuonna 1853 , tätä integraalia ei ilmaista alkeisfunktioissa [4] .

Integrointi osittain

Integrointi osittain - soveltamalla seuraavaa integrointikaavaa:

\int u\cdot dv=u\cdot v-\int v\cdot du.

Tai:

\int u\cdot v'\cdot dx=u\cdot v-\int v\cdot u'\cdot dx.

Erityisesti soveltamalla tätä kaavaa n kertaa löydämme integraalin

\int P_{{n+1}}(x)e^{x}\,dx,

missä on th asteen polynomi. $P_{{n+1}}(x)$ $(n+1)$

Esimerkki: Etsi integraali . $\int x\cdot \ln x\,dx$

Ratkaisu: Tämän integraalin löytämiseksi käytämme osittain integrointimenetelmää, tätä varten oletetaan, että ja , sitten osien integroinnin kaavan mukaan saamme ${\displaystyle u=\ln x\Rightarrow \displaystyle {du={\frac {dx}{x))))$ $dv=xdx\Rightarrow \int dv=\int xdx\Rightarrow v={\frac {x^{2}}{2}}$ $\int x\cdot \ln xdx={\frac {x^{2}\ln x}{2}}-{\frac {1}{2}}\int x^{2}\cdot { \frac {dx}{x}}={\frac {x^{2}\ln x}{2}}-{\frac {x^{2}}{4}}+C$

Rationaalisten murtolukujen integrointi

Minkä tahansa rationaalisen murtoluvun epämääräinen integraali millä tahansa välillä, jolla murtoluvun nimittäjä ei katoa, on olemassa ja ilmaistaan alkeisfunktioina, nimittäin se on rationaalisten murtolukujen, arktangenttien ja rationaalisten logaritmien superpositioiden algebrallinen summa.

Itse menetelmä koostuu rationaalisen murto-osan hajottamisesta yksinkertaisten murtolukujen summaksi.

Mikä tahansa oikea rationaalinen murtoluku , jonka nimittäjä on otettu huomioon ${\tfrac {P(x)}{Q(x)))$

Q(x)=\prod _{{i=1}}^{{n}}(x-x_{i})^{{k_{i}}}\cdot \prod _{{j=1}} ^{{m}}(x^{2}+p_{j}x+q_{j})^{{s_{j}}}

voidaan esittää (ja yksiselitteisesti) seuraavana yksinkertaisten murtolukujen summana:

{\frac {P(x)}{Q(x)}}=\sum _{{i=1}}^{{n}}{\sum _{{j=1}}^{{k_{n ))}{{\frac {A_{{ij}}}{(x-x_{i})^{j}}}}}+\sum _{{l=1}}^{{m}}{ \sum _{{t=1}}^{{s_{m}}}{{\frac {\alpha _{{lt}}+\beta _{{lt}}x}{(x^{2} +p_{l}x+q_{l})^{t}}}}}

missä on joitain todellisia kertoimia, jotka yleensä lasketaan määrittelemättömien kertoimien menetelmällä . $A_{{ij}},\alpha _{{lt}},\beta _{{lt}}$

Esimerkki : $\int {\frac {2x+3}{x^{2}-9}}\,dx.$

Ratkaisu: Laajennamme integrandin yksinkertaisiksi murtoluvuiksi:

${\frac {2x+3}{x^{2}-9}}={\frac {2x+3}{(x-3)(x+3)))={\frac {\alpha }{( x-3)))+{\frac {\beta }{(x+3)))$

Ryhmittelemme termit ja rinnastamme termien kertoimet samoilla valtuuksilla:

$\alpha (x+3)+\beta (x-3)=2x+3$

$(\alpha +\beta )x+3\alpha -3\beta =2x+3$

Näin ollen ${\begin{cases}\alpha +\beta =2\\3\alpha -3\beta =3\\\end{cases)),{\begin{cases}\alpha ={\frac {3}{2 }}\\\beta ={\frac {1}{2}}\\\end{cases}}$

Sitten

{\frac {2x+3}{x^{2}-9}}={\frac {{\frac {3}{2}}}{x-3}}+{\frac {{\frac {1 }{2}}}{x+3}}

Nyt on helppo laskea alkuperäinen integraali $\int {\frac {2x+3}{x^{2}-9}}\,dx={\frac {3}{2}}\int {\frac {dx}{x-3}}+{ \frac {1}{2}}\int {\frac {dx}{x+3}}={\frac {3}{2}}\ln |x-3|+{\frac {1}{2 }}\ln |x+3|+C={\frac {1}{2}}\ln |(x-3)^{3}(x+3)|+C$

Perustoimintojen integrointi

Elementaarifunktion antiderivaatan löytämiseksi alkeisfunktiona (tai sen määrittämiseksi, ettei antiderivaata ole alkeisfunktio), kehitettiin Risch-algoritmi. Se on täysin tai osittain toteutettu monissa tietokonealgebrajärjestelmissä .

Katso myös

Muistiinpanot

↑ Vinogradova I. A., Olehnik S. N., Sadovnichiy V. A. Matemaattisen analyysin tehtävät ja harjoitukset. Kirja 1. - 2. painos. - M . : Korkeakoulu , 2000. - S. 213.
↑ 1 2 Katso perustelu kirjasta: I. M. Uvarenkov, M. Z. Maller. Matemaattisen analyysin kurssi. - M . : Koulutus , 1966. - T. 1. - S. 459-460.
↑ Katso perustelu kirjasta: V. A. Ilyin, E. G. Poznyak. Matemaattisen analyysin perusteet. - 2. painos - M . : Nauka , 1967. - P. 219. - (Korkeamman matematiikan ja matemaattisen fysiikan kurssi).
↑ P. Tchebicef. Sur l'intégration des différentielles irrationnelles (ranska) // Journal de mathématiques pures et appliquées :lehti. - 1853. - Voi. XVIII . - s. 87-111 .

Linkit

Wolfram Integrator - integraalien laskeminen verkossa Mathematican avulla
Matemaattinen avustaja verkossa - online-symboliset laskelmat
Online-integraalilaskin

Integraalilaskenta

Main

Riemannin integraalin yleistykset

Integraalit
muunnokset

Numeerinen
integrointi

mittateoria

liittyvät aiheet

Listat integraaleista