Hausdorffin mitta

Hausdorffin mitta on metriavaruuden Borel - algebralla $\sigma$ määritellyn mittaluokan kollektiivinen nimi . Rakennuttaja Felix Hausdorff . [yksi] ${\mathcal {B}}(X)$ $X$

Määritelmä

Tarkastellaan jotakin avoimien osajoukkojen luokkaa , joille määrittelemme ei-negatiivisen funktion ja ${\mathcal {U}}$ $X$ $l=\{l(A)\mid A\in {\mathcal {U}}\}$

\lambda (B,\;\varepsilon )=\inf \left\{\sum _{{i=1}}^{n}l(A_{i})\right\},

jossa infimum on otettu käyttöön kaikista Borelin äärellisistä tai laskettavissa olevista päällysteistä, joiden halkaisija on enintään , ts. $B\alajoukko X$ ${\mathcal {U}}$ $\varepsilon$

B\subset \bigcup _{{i=1}}^{n}A_{i}\in {\mathcal {U}}

\mathrm {halkaisija} \,A_{i}\leqslant \varepsilon ,\quad i=1,\;2,\;\ldots

Luokan ja funktion määrittelemää Hausdorffin mittaa kutsutaan rajaksi $\lambda$ ${\mathcal {U}}$ $l$

\lambda (B)=\lim _{{\varepsilon \to 0}}\lambda (B,\;\varepsilon ).

Esimerkkejä

Antaa olla kokoelma kaikki pallot , a , jossa . Tällöin vastaavaa mittaa kutsutaan Hausdorff-mittaksi . Sillä tällaista mittaa kutsutaan lineaariseksi Hausdorffin mittaksi ja tason Hausdorffin mittaksi . ${\mathcal {U}}$ $X$ $l(A)=({\mathrm {halkaisija}}\,A)^{\alpha }$ $\alpha >0$ $\lambda$ $\alpha$ $\alpha=1$ $\alpha=2$
Jos , on joukko sylintereitä, joiden pallomaiset kantat ja akselit ovat samansuuntaiset akselin suunnan kanssa ja on yhtä suuri kuin sylinterin aksiaalileikkauksen -ulotteinen tilavuus , niin vastaavaa Hausdorffin mittaa kutsutaan lieriömäiseksi mittaksi . $X=\mathbb{R} ^{{n+1}}$ ${\mathcal {U}}$ $x_{{n+1}}$ $la)$ $n$ $A\in {\mathcal {U}}$

Kirjallisuus

Dunford, N., Schwartz, J. Lineaariset operaattorit. Yleinen teoria. - per. englannista .. - M . : Pääkirjoitus URSS , 2004. - T. 1. - 896 s. - ISBN 5-354-00601-5 . .

Muistiinpanot

↑ Hausdorff, Felix (1918), Dimension und äusseres Mass , Mathematische Annalen T. 79 (1-2): 157–179 , DOI 10.1007/BF01457179 .

Integraalilaskenta

Main

Riemannin integraalin yleistykset

Integraalit
muunnokset

Numeerinen
integrointi

mittateoria

liittyvät aiheet

Listat integraaleista