Greenin lause

Kokeneet kirjoittajat eivät ole vielä tarkistaneet sivun nykyistä versiota, ja se voi poiketa merkittävästi 11. marraskuuta 2019 tarkistetusta versiosta . tarkastukset vaativat 3 muokkausta .

Greenin teoreema muodostaa yhteyden suljetun ääriviivan yli olevan kaarevan integraalin ja tämän ääriviivan rajaaman yksinkertaisesti yhdistetyn alueen yli olevan kaksoisintegraalin välille. Itse asiassa tämä lause on yleisemmän Stokesin lauseen erikoistapaus . Lause on nimetty englantilaisen matemaatikon George Greenin mukaan . $C$ $D$

Sanamuoto

Antaa olla positiivisesti suunnattu paloittain-sileä suljettu käyrä tasossa, ja antaa olla käyrän rajoittama alue . Jos funktiot , on määritelty toimialueella ja niillä on jatkuvat osittaiset derivaatat , niin $C$ $D$ $C$ $P = P(x,y)$ $Q = Q(x,y)$ $D$ $\frac{\partial P}{\partial y}$ $\frac{\partial Q}{\partial x}$

\oint\limits_{C} P \,dx + Q \,dy = \iint\limits_{D} \left( \frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y} \oikea) \,dx\,dy

Integraalisymboliin piirretään usein ympyrä, joka korostaa, että käyrä on suljettu. $C$

Todiste yksinkertaiselle alueelle

Olkoon alue kaareva puolisuunnikas (suuntaan säännöllinen alue ): $D$ $OY$

D = \{ (x,y)|a \le x \le b, y_1(x) \le y \le y_2(x) \}

Aseta aluetta rajoittavan käyrän suunta myötäpäivään. $C$ $D$

Sitten:

\iint\limits_{D} \frac{\partial P}{\partial y} \,dx\,dy = \int\limits_{a}^{b}dx \int\limits_{y_1(x)}^{ y_2(x)} \frac{\partial P}{\partial y} \,dy = \int\limits_{a}^{b} (P(x,y_2(x)) - P(x,y_1(x) ))) \,dx =

= \int\limits_{a}^{b} P(x,y_2(x)) \,dx - \int\limits_{a}^{b} P(x,y_1(x)) \,dx \quad (yksi)

Huomaa, että molemmat saadut integraalit voidaan korvata kaarevilla integraaleilla:

\int\limits_{C_1} P(x,y) \,dx = -\int\limits_{-C_1} P(x,y) \,dx = -\int\limits_{a}^{b} P( x,y_1(x)) \,dx \quad(2)

\int\limits_{C_3} P(x,y) \,dx = \int\limits_{a}^{b} P(x,y_2(x)) \,dx \quad (3)

Integraali pitkin otetaan miinusmerkillä, koska ääriviivan suunnan mukaan tämän osan ohitussuunta on kohteesta - . $C_{1}$ $C$ $b$ $a$

Käyräviivaiset integraalit yli ja ovat yhtä kuin nolla, koska : $C_{2}$ $C_{4}$ $x = \operaattorinimi{vakio}$

\int\limits_{C_2} P(x,y) \,dx = 0 \quad (4)

\int\limits_{C_4} P(x,y) \,dx = 0 \quad (5)

Korvaamme integraalit kohdassa (1) kohtien (2) ja (3) mukaisesti ja lisäämme myös (4) ja (5), jotka ovat yhtä kuin nolla eivätkä siksi vaikuta lausekkeen arvoon:

\iint\limits_{D} \frac{\partial P}{\partial y} \,dx\,dy = \int\limits_{C_1} P(x,y) \,dx + \int\limits_{C_3} P(x,y) \,dx + \int\limits_{C_2} P(x,y) \,dx + \int\limits_{C_4} P(x,y) \,dx

Koska myötäpäivään ohitus tason oikealla suunnalla on negatiivinen suunta, niin oikean puolen integraalien summa on kaareva integraali suljettua käyrää pitkin negatiiviseen suuntaan: $C$

\iint\limits_{D} \frac{\partial P}{\partial y} \,dx\,dy = -\int\limits_{C} P(x,y) \,dx \quad (6)

Kaava todistetaan samalla tavalla:

\iint\limits_{D} \frac{\partial Q}{\partial x} \,dx\,dy = \int\limits_{C} Q(x,y) \,dy \quad (7)

jos otamme alueeksi alueen oikean suunnan . $D$ $HÄRKÄ$

Lisäämällä (6) ja (7) saamme:

\int\limits_{C} P \,dx + Q \,dy = \iint\limits_{D} \left( \frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y} \oikea) \,dx\,dy

Greenin kaavat

Jos sähköstaattisissa ongelmissa oli aina kyse diskreetistä tai jatkuvasta varausjakaumasta ilman rajapintoja, niin skalaaripotentiaalin yleinen ratkaisu

\Phi (x)=\int {\frac {\rho (x')}{|xx'|}}d^{3}x

olisi kätevin ja suorin muoto tällaisten ongelmien ratkaisemiseen, eikä Laplacen yhtälöä tai Poissonin yhtälöä tarvita . Todellisuudessa kuitenkin useissa, ellei useimmissa, sähköstaattisissa ongelmissa on kyse avaruuden äärellisistä alueista (sisältävät tai eivät sisällä varauksen ), joiden rajapinnoille on määritelty tietyt rajaehdot ("raja") . Nämä rajaehdot voidaan korvata jollain asianmukaisesti valitulla varausjakaumalla tarkasteltavan alueen ulkopuolella (erityisesti äärettömyydessä), mutta yllä oleva relaatio ei tässä tapauksessa enää sovellu potentiaalin laskemiseen, lukuun ottamatta joitain erikoistapauksia (esim. kuvamenetelmä).

Rajaehtoihin liittyvien ongelmien pohtimiseksi on välttämätöntä laajentaa käyttämäämme matemaattista laitteistoa, nimittäin johtamaan ns. kaavat eli Greenin lauseet (1824). Ne saadaan suoraan divergenssilauseesta

\int\limits_V \operaattorinnimi{div}~A\,d^3x=\oint\limits_S A \cdot n\,da

joka pätee mille tahansa vektorikentälle A, joka on määritelty suljetun pinnan S rajoittamassa tilavuudessa V. Olkoon , jossa ja mielivaltaisia kahdesti jatkuvasti differentioituvia skalaarifunktioita. Sitten $A=\varphi \operaattorinimi{grad} ~\psi$ $\varphi$ $\psi$

\operaattorinimi{div} \, (\varphi \; \operaattorinnimi{grad} \, \psi)=\varphi \nabla^2 \psi + \operaattorinnimi{grad} ~\varphi \cdot \operaattorinnimi{grad} ~\psi \qquad (1)

\varphi\; \operaattorinnimi{grad} \, \psi \cdot n=\varphi \frac{\partial \psi}{\partial n} \qquad (2)

missä on normaalin derivaatta pinnalla S (ulospäin suuntautuvan normaalin suunnassa suhteessa tilavuuteen V). Korvaamalla (1) ja (2) divergenssilauseeseen pääsemme Greenin ensimmäiseen kaavaan $\frac{\partial}{\partial n}$

\int\limits_V (\varphi \; \nabla^2 \psi + \operaattorinimi{grad} \, \varphi \cdot \operaattorinimi{grad} \, \psi)\,d^3x = \oint\limits_S \varphi \ frac{\partial \psi}{\partial n} \,da \qquad (3)

Kirjoitetaan sama kaava vaihtamalla ja siihen ja vähennetään se arvosta (3). Sitten tuotteen ehdot kumoavat ja saamme toisen Greenin kaavan , jota kutsutaan muuten Greenin lauseeksi : $\varphi$ $\psi$ $\operaattorinnimi{grad} ~\varphi \cdot \operaattorinnimi{grad} ~\psi$

\int\limits_V (\varphi \nabla^2 \psi - \psi \nabla^2 \varphi)\,d^3x = \oint\limits_S \left[\varphi \frac{\partial \psi}{\partial n } - \psi \frac{\partial \varphi}{\partial n}\right] \,da

Fysiikassa ja matematiikassa Greenin lause antaa suhteen yksinkertaisen rajatun käyrän C kaarevan integraalin ja rajatun käyrän C tasaisella pinnalla D olevan kaksoisintegraalin välillä. Ja yleisessä muodossa se kirjoitetaan seuraavasti:

\int\limits_{C} L\, dx + M\, dy = \iint\limits_{D} \left(\frac{\partial M}{\partial x} - \frac{\partial L}{\partial y}\oikea)\, dA.

Fysiikassa Greenin lausetta käytetään pääasiassa kaksiulotteisten virtausintegraalien ratkaisemiseen , sillä oletuksella, että lähtevien virtojen summa missä tahansa pisteessä alueella on yhtä suuri kuin nettovirtaus summattuina koko rajapinnalta.

Kolmas Greenin kaava saadaan toisesta korvaamalla ja huomioimalla , että . If on kahdesti erotettavissa U:ssa. $\psi = \frac{1}{|\mathbf{x} - \mathbf{y}|}$ $\nabla^2 \psi = - 4 \pi \delta \left( \mathbf{x} - \mathbf{y} \right)$ ${{\mathbb{R}}^{3}}$ $\phi ,$

\oint\limits_{\partial U} \left[ {1 \over |\mathbf{x} - \mathbf{y}|} {\partial \phi \over \partial n} (\mathbf{y}) - \ phi(\mathbf{y}) {\partial \over \partial n_\mathbf{y)) {1 \over |\mathbf{x} - \mathbf{y}|}\right]\, dS_\mathbf{y } - \int\limits_U \left[ {1 \over |\mathbf{x} - \mathbf{y}|} \nabla^2 \phi(\mathbf{y})\right]\, dV_\mathbf{y } = k

$k=4\pi \phi (x),$ if (tässä int tarkoittaa joukon sisäosaa ), $x \in Int U$

$2\pi \phi (x),$ jos ja rajapinnan pisteessä on tangenttitaso . $x \in \osittais U$ $x$

Katso myös

Kirjallisuus

D. J. Jackson Klassinen sähködynamiikka (1965)
Tikhonov A. N. , Samarsky A. A. Matemaattisen fysiikan yhtälöt. - M .: Nauka, 1977. - 735 s.