Stokesin lause

Stokesin lause on yksi differentiaaligeometrian ja differentiaalimuotojen integroinnin matemaattisen analyysin päälauseista , joka yleistää useita analyysin lauseita . Nimetty J. G. Stokesin mukaan .

Sanamuoto

Olkoon positiivisesti orientoitu rajattu -ulotteinen osamonisto ( ) ja luokan asteen differentiaalimuoto suuntautuvalle ulottuvuusjoukolle . Sitten, jos osamoniston raja on positiivisesti suunnattu, niin $M$ $n$ $s$ $\sigma$ $1\leqslant p\leqslant n$ $\omega$ $p-1$ $C^1$ $\osittainen \sigma$

\int \limits _{\sigma }d\omega =\int \limits _({\partial \sigma }}\omega,

jossa tarkoittaa muodon ulkoista differentiaalia . $d\omega$ $\omega$

Lause ulottuu saman ulottuvuuden alalajikkeiden lineaarisiin yhdistelmiin - niin sanottuihin ketjuihin . Tässä tapauksessa Stokesin kaava toteuttaa kaksinaisuuden de Rham-kohomologian ja monivaiheisen syklin homologian välillä . $M$

Erikoistapaukset

Newton-Leibnizin kaava

Olkoon annettu käyrä ( yksiulotteinen ketju ), joka on suunnattu pisteestä pisteeseen mielivaltaisen ulottuvuuden monissa. Luokan nollaasteen muoto on differentioituva funktio . Sitten Stokesin kaava kirjoitetaan muodossa $l$ $a$ $b$ $\omega$ $C^1$ $f$

\int \limits _{l}df=\int \limits _{l}f'\,dx=\int \limits _{a}^{b}f'\,dx=f(b)-f(a ).

Greenin lause

Joskus kutsutaan Green-Rieman-lauseeksi. Antaa olla kone , Ja olla joitakin sen positiivisesti suuntautunut rajoittuu verkkotunnuksen paloittain-sileä Jordanin raja. Olkoon ensimmäisen asteen muoto koordinaatteina kirjoitettuna lauseke Sitten tämän muodon integraalille alueen positiivisesti (vastapäivään) suuntautuvaa rajaa pitkin , $M$ $D$ $x$ ${\näyttötyyli y,}$ $L\,dx+M\,dy.$ $D$

\ \int \limits _{\partial D}\left(L\,dx+M\,dy\right)=\iint \limits _{D}\left({\frac {\partial M}{ \partial x}}-{\frac {\partial L}{\partial y}}\right)\,dx\,dy.

Johtaminen Stokesin lauseesta

Määrittelemällä differentiaalimuodon löydämme sen ulkoisen differentiaalin : $\omega =L\,dx+M\,dy$

d\omega =\left({\dfrac {\partial L}{\partial x))\,dx+{\dfrac {\partial L}{\partial y))\,dy\right)\wedge dx+\left( {\dfrac {\partial M}{\partial x}}\,dx+{\dfrac {\partial M}{\partial y}}\,dy\right)\wedge dy.

Ottaen huomioon tämän ja : $dx\kiila dx=0$ $dy\kiila dy=0$

d\omega ={\underset {-{\frac {\partial L}{\partial y))\,dx\,\wedge \,dy}{\underbrace {{\dfrac {\partial L}{\partial y }}\,dy\wedge dx}}}+{\dfrac {\partial M}{\partial x}}\,dx\wedge dy=\left({\dfrac {\partial M}{\partial x}} -{\dfrac {\partial L}{\partial y}}\right)\,dx\wedge dy.

Tästä eteenpäin Stokes-lauseen avulla:

\int \limits _{{\partial D}}L\,dx+M\,dy=\iint \limits _{D}\left({\frac {\partial M}{\partial x}}-{\ frac {\partial L}{\partial y}}\right)\,dx\,dy.

■

Riippumaton todiste Greenin kaavasta on hänen pääpaperistaan.

Kelvin-Stokesin kaava

Usein kutsutaan yksinkertaisesti Stokes-kaavaksi. Olkoon paloittain sileä pinta ( ) kolmiulotteisessa euklidisessa avaruudessa ( ), olkoon differentioituva vektorikenttä . Tällöin vektorikentän kierto suljettua ääriviivaa pitkin on yhtä suuri kuin kentän roottorin (pyörteen) virtaus ääriviivan rajoittaman pinnan läpi : $\Sigma$ $p = 2$ $n = 3$ $\mathbf {F}$ $\osittainen \Sigma$ $\Sigma$

\int \limits _{\Sigma }\mathrm {rot} \,\mathbf {F} \cdot d\mathbf {\Sigma } =\int \limits _{\partial \Sigma }\mathbf {F} \cdot d\mathbf {r} ,

tai koordinaattimerkinnällä:

\iint \limits _{{\Sigma }}\left({\frac {\partial R}{\partial y}}-{\frac {\partial Q}{\partial z}}\right)\,dy\ ,dz+\left({\frac {\partial P}{\partial z}}-{\frac {\partial R}{\partial x}}\right)\,dz\,dx+\left({\frac { \partial Q}{\partial x}}-{\frac {\partial P}{\partial y}}\right)\,dx\,dy=\int \limits _({\partial \Sigma }}P\ ,dx+Q\,dy+R\,dz.

Usein suljetun silmukan integraali kirjoitetaan oikealle puolelle.

Johtaminen Stokesin lauseesta

Harkitse differentiaalimuotoa . Sitten käyttämällä differentiaalimuodon differentiaalista ominaisuutta : $\omega =P\,dx+Q\,dy+R\,dz$ $d(\omega _{F}^{1})=\omega _{({\mathrm {rot}}\,F}}^{2}$

d\omega =\left({\frac {\partial R}{\partial y))-{\frac {\partial Q}{\partial z))\right)\,dy\wedge dz+\left({\ frac {\partial P}{\partial z}}-{\frac {\partial R}{\partial x}}\right)\,dz\wedge dx+\left({\frac {\partial Q}{\partial x}}-{\frac {\partial P}{\partial y}}\right)\,dx\wedge dy.

Tästä eteenpäin Stokes-lauseen avulla:

\iint \limits _{\Sigma }\left({\frac {\partial R}{\partial y))-{\frac {\partial Q}{\partial z))\right)\,dy\,dz+ \left({\frac {\partial P}{\partial z}}-{\frac {\partial R}{\partial x}}\right)\,dz\,dx+\left({\frac {\partial Q}{\partial x}}-{\frac {\partial P}{\partial y}}\right)\,dx\,dy=\int \limits _({\partial \Sigma }}P\,dx +Q\,dy+R\,dz.

■

Todistus Greenin kaavalla

Anna . Sitten $\mathbf {r} =\mathbf {r} (u(t),v(t))$

$\int _{\partial \Sigma }(\mathbf {a} ,d\mathbf {r} )=\int _{\alpha }^{\beta }((\mathbf {a} (\mathbf { r} (u(t),v(t)))),r_{u}(u(t),v(t))u'(t)+r_{v}(u(t),v(t) ))v'(t))dt=\int _{\Omega }(a,r_{u})du+(a,r_{v})dv.$

Tästä saamme Greenin kaavaa käyttäen $\int _{\partial \Sigma }(\mathbf {a} ,d\mathbf {r} )=\iint _{\Omega }\left[{\frac {\partial }{\partial u)) {(\mathbf {a} ,\mathbf {r} _{v})}-{\frac {\partial }{\partial v)){(\mathbf {a} ,\mathbf {r} _{u} )}\right]dudv={}$

${}=\iint _{\Omega }\left({\frac {\partial \mathbf {a} }{\partial x}}x_{u}+{\frac {\partial \mathbf {a} }{\partial y}}y_{u}+{\frac {\partial \mathbf {a} }{\partial z}}z_{u},\mathbf {r} _{v}\right)dudv-\ iint _{\Omega }\left({\frac {\partial \mathbf {a} }{\partial x}}x_{v}+{\frac {\partial \mathbf {a} }{\partial y}} y_{v}+{\frac {\partial \mathbf {a} }{\partial z}}z_{v},\mathbf {r} _{u}\right)dudv$ ${}=\iint _{\Omega }[(\mathbf {r} _{v},(\mathbf {r} _{u},\nabla ),\mathbf {a} )-(\mathbf {r} _{u},(\mathbf {r} _{v},\nabla ),\mathbf {a} )]dudv,$ joka pyörteen määritelmän mukaan on vaadittu määrä:

$\iint _{\Omega }[(\mathbf {r} _{v},(\mathbf {r_{u}} ,\nabla ),\mathbf {a} )-(\mathbf {r_{u }} ,(\mathbf {r_{v}} ,\nabla ),\mathbf {a} )]dudv=\iint _{\Omega }({r_{u}},{r_{v}},\operaattorin nimi {rot} \;\mathbf {a} )dudv=\iint _{\Sigma }(\operaattorinimi {rot} \;\mathbf {a} ,\mathbf {n} )dS.$ ■

Ostrogradsky-Gaussin kaava

Olkoon nyt paloittain sileä hyperpinta ( ), joka rajoittaa jotakin aluetta -ulotteisessa avaruudessa . Tällöin alueen ylittävä kenttädivergenssin integraali on yhtä suuri kuin kenttävirtaus alueen rajan läpi : $\osittainen V$ $p = n-1$ $V$ $n$ $\osittainen V$

\int \limits _{V}{\mathrm {div}}\,{\mathbf {F}}\,dV=\int \limits _{{\partial V}}{\mathbf {F}}\cdot d {\mathbf {\Sigma }}.

Kolmiulotteisessa avaruudessa , jossa on koordinaatit, tämä vastaa kirjoittamista: $(n=3)$ $\{x,y,z\}$

\ \int \limits _{\partial V}\mathbf {F} \cdot d\mathbf {\Sigma } =\int \limits _{V}\left({\frac {\partial P}{\ osittainen x))+{\frac {\partial Q}{\partial y))+{\frac {\partial R}{\partial z))\right)\,dV

tai

\iint \limits _{{\partial V}}P\,dy\,dz+Q\,dz\,dx+R\,dx\,dy=\iiint \limits _{V}\left({\frac {\partial P}{\partial x))+{\frac {\partial Q}{\partial y))+{\frac {\partial R}{\partial z))\right)\,dx\,dy \,dz.

Johtaminen Stokesin lauseesta

Harkitse differentiaalimuotoa . Sitten käyttämällä differentiaalimuodon differentiaalista ominaisuutta : $\omega =P\,dy\wedge dz+Q\,dz\wedge dx+R\,dx\wedge dy$ $d(\omega _{F}^{2})=\omega _{({\mathrm {div}}\,F}}^{3}$

d\omega =\left({\frac {\partial P}{\partial x))+{\frac {\partial Q}{\partial y))+{\frac {\partial R}{\partial z} }\oikea)\,dx\wedge dy\wedge dz.

Tästä eteenpäin Stokes-lauseen avulla:

\iint \limits _{{\partial V}}P\,dy\,dz+Q\,dz\,dx+R\,dx\,dy=\iiint \limits _{V}\left({\frac {\partial P}{\partial x))+{\frac {\partial Q}{\partial y))+{\frac {\partial R}{\partial z))\right)\,dx\,dy \,dz.

■

Kirjallisuus

Fikhtengolts G. M. Differentiaali- ja integraalilaskennan kurssi - T. 3
Arnold V. I. Klassisen mekaniikan matemaattiset menetelmät (djvu) (ei käytettävissä oleva linkki) (ei käytettävissä oleva linkki 18-05-2013 [3449 päivää] - historia )
Cartan A. Differentiaalilaskenta. erilaiset muodot. - M.: Mir, 1971.

Stokesin lause

Sanamuoto

Erikoistapaukset

Newton-Leibnizin kaava

Greenin lause

Kelvin-Stokesin kaava

Ostrogradsky-Gaussin kaava

Kirjallisuus

Katso myös