Korrelaatiofunktio

Kokeneet kirjoittajat eivät ole vielä tarkistaneet sivun nykyistä versiota, ja se voi poiketa merkittävästi 24. syyskuuta 2021 tarkistetusta versiosta . tarkastukset vaativat 3 muokkausta .

Korrelaatiofunktio - ajan ja tilakoordinaattien funktio , joka määrittää korrelaation järjestelmissä, joissa on satunnaisia prosesseja.

Määritelmä

Kahden satunnaisfunktion ajasta riippuva korrelaatio ja se määritellään seuraavasti: $X(t)$ $Y(t)$

$C(t,t^{\prime })=\langle X(t)Y(t^{\prime })\rangle$

jossa kulmasulkeet osoittavat keskiarvon laskemista.

Jos korrelaatiofunktio lasketaan samalle prosessille, sitä kutsutaan autokorrelaatioksi :

$C_{auto}(t,t^{\prime })=\langle X(t)X(t^{\prime })\rangle$ .

Vastaavasti voimme laskea korrelaatiofunktion prosesseille, jotka tapahtuvat avaruuden eri pisteissä eri aikoina:

$C(t,\mathbf {r} ,t^{\prime },\mathbf {r} ^{\prime })=\langle X(t,\mathbf {r} )Y(t^{\ alkuluku },\mathbf {r} ^{\prime })\rangle$ .

Korrelaatiofunktioita käytetään laajalti tilastollisessa fysiikassa ja muissa tieteenaloissa, jotka tutkivat satunnaisia (stokastisia) prosesseja .

Korrelaatiofunktio tilastollisessa fysiikassa

Tilastollisessa fysiikassa korrelaatiofunktio kuvaa kuinka mikroskooppiset muuttujat (kuten atomien nopeudet ) liittyvät toisiinsa avaruuden eri pisteissä eri aikoina. Yleisin määritelmä on seuraava:

$G\left(\mathbf {r} ,\mathbf {R} ,t,\tau \right)=\left\langle f_{1}\left(\mathbf {R} ,t\right)f_{ 2}\left(\mathbf {R} +\mathbf {r} ,t+\tau \right)\right\rangle$

missä ovat funktiot, joiden korrelaatioita haluamme tutkia, kulmasulut tarkoittavat tilastollisen kokonaisuuden (esimerkiksi kanonisen ) keskiarvon laskemista. $f_{1},f_{2}$

Samanaikaiset korrelaatiofunktiot

Jos olemme kiinnostuneita siitä , muuttuvatko mikroskooppiset muuttujat korreloivasti samaan aikaan eri pisteissä avaruudessa , voimme tarkastella funktioita samaan aikaan, niin niiden korrelaatiofunktio kirjoitetaan seuraavasti: $f_{1},f_{2}$

$G\left(\mathbf {r} ,\mathbf {R} ,t\right)=\left\langle f_{1}\left(\mathbf {R} ,t\right)f_{2}\ vasen(\mathbf {R} +\mathbf {r} ,t\oikea)\oikea\kulma$

tällaista korrelaatiofunktiota kutsutaan samanaikaiseksi .

Vastaavasti voidaan ottaa käyttöön samanaikainen korrelaatiofunktio tapaukselle, jossa ei ole kahta funktiota, vaan s palaa: $f_{1},f_{2}$

$G^{\left(s\right)}\left(\mathbf {r} _{1},\dots ,\mathbf {r} _{n}\right)=\left\langle f_{1 }\left(\mathbf {r} _{1},t\right)\dots f_{s}\left(\mathbf {r} _{n},t\right)\right\rangle$

Spatiaaliset korrelaatiofunktiot

Joskus on otettava huomioon mikroskooppisten muuttujien ajallinen kehitys. Tätä varten käytetään spatiaalista korrelaatiofunktiota :

$G\left(\mathbf {R} ,t,\tau \right)=\left\langle f_{1}\left(\mathbf {R} ,t\right)f_{2}\left(\ mathbf {R} ,t+\tau \right)\right\rangle$

Samalla on tärkeää ymmärtää, että huolimatta siitä, että tasapainossa jotkin makroskooppiset muuttujat eivät ole riippuvaisia ajasta, mikroskooppiset muuttujat (kuten esimerkiksi hiukkasen nopeusvektori ) voivat riippua ajasta, ja siksi tällaiset korrelaatiofunktiot, jotka ovat olennaisesti makroskooppisia suureita, voivat myös riippua ajasta.

Esimerkkejä

Yksi esimerkki korrelaatiofunktioista on säteittäinen jakaumafunktio .

Magnetismi

Toinen klassinen esimerkki korrelaatiofunktioista on spinien järjestelmä , jossa se kuvaa niiden skalaarituloa yhdistelmän keskiarvoina :

$G\left(\mathbf {r} ,\mathbf {R} \right)=\left\langle S\left(\mathbf {R} \right)S\left(\mathbf {R} +\mathbf {r} \right)\right\rangle -\left\langle S\left(\mathbf {R} \right)\right\rangle \left\langle S\left(\mathbf {R} +\mathbf {r} \oikea)\oikea\kulma$ missä S on partikkelin spin , suluissa tarkoitetaan ensemble- keskiarvoistamista .

Myös paramagneettisessa vaiheessa spinit korreloivat, sillä jos niiden välinen etäisyys on pieni, niin spinien välillä tapahtuu vuorovaikutusta, mikä johtaa siihen, että spinit korreloivat, mutta lämpöliike estää niiden jatkojärjestämisen . Siksi käy ilmi, että spinien väliset korrelaatiot pienenevät eksponentiaalisesti niiden välisen etäisyyden kasvaessa:

$G\left(\mathbf {r} \right)\approx {\frac {1}{\mathbf {r} ^{2-d+\eta ))}\exp \left({\frac {-\ mathbf {r} }{\xi }}\right))$

missä on spinien välinen etäisyys, d on mitta , on ns. kriittinen indeksi . Kun lämpötila laskee, lämpöliike heikkenee ja korrelaatiosäde pyrkii äärettömään: $\mathbf {r}$ $\eta$ $\xi$

$\xi \sim \left|T-T_{c}\right|^{-\nu }$

missä on toinen kriittinen indeksi , on Curien lämpötila . $\nu$ $T_{c}$

Tämän kaavan seurauksena tällaisissa järjestelmissä tapahtuu toisen asteen vaihemuutos .

Korrelaatiotiheysfunktio s:n suuruisten hiukkasten lukumäärästä

Erityisesti esimerkkinä voidaan tarkastella s :n suuruisten hiukkasten lukumäärän tiheyden korrelaatiofunktiota - tämä on muodon funktio

$G^{\left(s\right)}\left(\mathbf {r} _{1},\dots ,\mathbf {r} _{s}\right)=\left\langle {\hat {n}}\left(\mathbf {r} _{1}\right)\dots {\hat {n}}\left(\mathbf {r} _{s}\right)\right\rangle$

missä arvo

${\hat {n}}\left(\mathbf {r} \right)=\sum \limits _{i=1}^{N}\delta (\mathbf {r} -\mathbf {r} _{i})$

kutsutaan hiukkasten lukumäärän mikroskooppiseksi tiheydeksi siinä mielessä, että integroimalla se tietyn tilavuuden V yli , voimme löytää siinä olevien hiukkasten lukumäärän:

$\int _{V}{\hat {n}}\left(\mathbf {r} \right)\mathrm {d} \mathbf {r} =N_{V}$

Tapauksessa s = 2 hiukkasten lukumäärän tiheyden korrelaatiofunktiota kutsutaan parifunktioksi.

Hiukkasten tiheyden yhdistetty korrelaatiofunktio

Esitetään myös partikkelien lukumäärän tiheyden yhdistetyn korrelaatiofunktion käsite : tämä on sellainen korrelaatiofunktio, joka pyrkii arvoon 0, jos hiukkaset jaetaan kahteen ryhmään ja sitten näitä ryhmiä erottava etäisyys pyrkii äärettömään. Termi "yhdistetty" tarkoittaa, että tällaisen korrelaatiofunktion kaaviollinen laajennus sisältää vain yhdistettyjä kaavioita. $\left(\mathbf {r} _{i_{1}}\dots \mathbf {r} _{i_{l}}\oikea)$ $\left(\mathbf {r} _{j_{1}}\dots \mathbf {r} _{j_{m}}\right),\ l+m=s$

On olemassa ns. korrelaatioiden heikkenemisen periaate : klassisen järjestelmän monihiukkasjakaumafunktiot hajoavat useiden hiukkasten jakaumafunktioiden tuotteiksi, joissa on pienempi määrä argumentteja, ja vastaavien argumenttien erot kasvavat äärettömästi [ 1] , josta siitä seuraa erityisesti:

$G^{\left(2\right)}\left(\mathbf {r} _{1},\mathbf {r} _{2}\right)=G^{\left(2\right) }\left(\mathbf {r} _{1}\right)G^{\left(2\right)}\left(\mathbf {r} _{1}\right)$

Siksi voimme kirjoittaa seuraavan lausekkeen hiukkasten lukumäärän tiheyden kahdella hiukkasella yhdistetylle korrelaatiofunktiolle:

$G_{coh}^{\left(2\right)}\left(\mathbf {r} _{1},\mathbf {r} _{2}\right)=G^{\left(2 \right)}\left(\mathbf {r} _{1},\mathbf {r} _{2}\oikea)-G^{\left(1\right)}\left(\mathbf {r} _ {1}\oikea)G^{\vasen(1\oikea)}\vasen(\mathbf {r} _{2}\oikea)$

Hiukkasten lukumäärän korkeamman kertaluvun tiheyden yhdistetyt korrelaatiofunktiot esitetään samalla tavalla:

$G^{\left(3\right)}\left(\mathbf {r} _{1},\mathbf {r} _{2},\mathbf {r} _{3}\right)= G_{coh}^{\left(3\right)}\left(\mathbf {r} _{1},\mathbf {r} _{2},\mathbf {r} _{3}\right)+ G^{\left(1\right)}\left(\mathbf {r} _{1}\right)G^{\left(1\right)}\left(\mathbf {r} _{2}\ oikea)G^{\left(1\right)}\left(\mathbf {r} _{3}\right)+G_{coh}^{\left(2\right)}\left(\mathbf {r } _{1},\mathbf {r} _{2}\oikea)G^{\vasen(1\oikea)}\vasen(\mathbf {r} _{3}\oikea)+G_{coh}^ {\left(2\right)}\left(\mathbf {r} _{1},\mathbf {r} _{3}\right)G^{\left(1\right)}\left(\mathbf {r} _{2}\oikea)+G_{coh}^{\left(2\right)}\left(\mathbf {r} _{2},\mathbf {r} _{3}\oikea) G^{\left(1\right)}\left(\mathbf {r} _{1}\right)$

Luodaan toiminnallisia

Hiukkasten lukumäärän tiheyden korrelaatiofunktioille voidaan muodostaa generoiva funktio :

$G\left(a\right)=\left\langle e^{\int a\left(\mathbf {r} \right){\hat {n))\left(\mathbf {r} \right )\mathrm {d} \mathbf {r} }\right\rangle$

Sitten tiheyskorrelaatiofunktio otetaan käyttöön generoivan funktion variaatioderivaattana :

$G^{\left(s\right)}\left(\mathbf {r_{1)) ,\dots ,\mathbf {r} _{s}\right)=\left.{\frac {\ delta ^{s}G\left(a\right)}{\delta a\left(\mathbf {r} _{1}\right)\dots \delta a\left(\mathbf {r_{s)) \ oikea)}}\right|_{a=0}$

Samalla tavalla voidaan ottaa käyttöön yhdistetty korrelaatiofunktio:

$G_{coh}^{\left(s\right)}\left(\mathbf {r} _{1},\dots ,\mathbf {r} _{s}\right)=\left.{101} \frac {\delta ^{s}W\left(a\right)}{\delta a\left(\mathbf {r} _{1}\right)\dots \delta a\left(\mathbf {r} _{s}\right)}}\right|_{a=0}$

missä

$W\left(a\right)=\ln \left(G\left(a\right)\right)$

Fyysinen merkitys

Korrelaatiofunktio on järjestelmän järjestyksen mitta. Se osoittaa, kuinka mikroskooppiset muuttujat korreloivat eri ajankohtina eri pisteissä keskimäärin.

Hiukkasten lukumäärän tiheyden korrelaatiofunktion fysikaalinen merkitys on, että se näyttää s hiukkasten suhteellisen järjestelyn todennäköisyystiheyden . Korrelaatioiden esiintyminen johtuu hiukkasten välisestä vuorovaikutuksesta, jonka vuoksi syntyy lyhyen kantaman järjestystä .

On tärkeää huomata, että seuraava suhde pätee:

$G_{coh}^{\left(2\right)}\left(\mathbf {r} _{1},\mathbf {r} _{2}\right)=\left\langle \delta { \hat {n}}\left(\mathbf {r} _{1}\right)\delta {\hat {n}}\left(\mathbf {r} _{2}\right)\right\rangle$

missä on tiheyden vaihtelu . Siten hiukkasten lukumäärätiheyden yhdistetty korrelaatiofunktio kuvaa hiukkasten suhteellisen sijainnin todennäköisyystiheyden vaihteluita. $\delta {\hat {n}}\left(\mathbf {r} \right)={\hattu {n}}\left(\mathbf {r} \right)-\left\langle {\hat {n}}\left(\mathbf {r} \right)\right\rangle$

Lisäksi korrelaatiofunktioiden avulla voidaan löytää yleisimmässä muodossa muitakin vaihteluja, kuten hiukkasten lukumäärän ja lämpötilan vaihteluita.

Korrelaatiofunktio kvanttikenttäteoriassa

Kvanttikenttäteoriassa n -pisteen korrelaatiofunktion määritelmä esitellään n kronologisesti järjestetyn kentän tulon kautta : ${\displaystyle C_{n}(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n}):=\left\langle T\phi (x_{1})\phi (x_{2})\ ldots \phi (x_{n})\right\rangle ={\frac {\int {\mathcal {D))\phi \;Te^{-S[\phi ]}\phi (x_{1})\ ldots \phi (x_{n})}{\int {\mathcal {D}}\phi \;Te^{-S[\phi ]))))$

missä — kronologinen järjestysoperaattori , — toiminta . $T$ $S$

Korrelaatiofunktiota kutsutaan usein myös yksinkertaisesti korrelaattoriksi .

Korrelaatiofunktio korkean energian fysiikassa

Korkean energian fysiikassa korrelaatiofunktio mittaa joidenkin havaittavien suureiden välistä korrelaatiota . Hadronin ja hadronin törmäyksiä (esim. protoni -protoni tai ydin-ydin ) tutkittaessa erilaisten havaittavien suureiden, esimerkiksi törmäyksen seurauksena syntyneiden poikittaismomenttien tai toissijaisten hiukkasten monikertojen välisten korrelaatioiden analyysi on laajasti käytetty.

Tällaisia prosesseja tutkittaessa on tapana käyttää muuttujia, kuten nopeus tai pseudonopeus . Yleensä nopeusavaruudessa tarkastellaan kahta intervallia (kutsutaan ikkunoihin ), jotka sijaitsevat kiihdytinssä törmäyspisteen törmäyspisteen vastakkaisilla puolilla , joten tässä tapauksessa ilmaantuvat korrelaatiot havaittujen suureiden välillä, jotka ovat nopeutta (tai pseudo -nopeutta ) kutsutaan usein "eteenpäin-taakse-korrelaatioiksi".

Tarkastellaan tarkkuuden vuoksi ns. "multiplicity-multiplicity -korrelaatioita", joissa monikertaisuus on funktio, joka määrittää hiukkasten lukumäärän, joiden nopeus kuuluu johonkin tiettyyn väliin. Tässä tapauksessa korrelaatiofunktio otetaan käyttöön yhden (yleensä oikean) nopeusvälin keskikertoimen riippuvuutena toisen intervallin moninkertaisuudesta. Lineaarisen korrelaatiofunktion tapauksessa meillä on sille seuraava lauseke:

${\displaystyle {\langle n_{f}\rangle }_{\langle n_{b}\rangle }=a+b\cdot n_{b))$

Tämä oletus on täysin yhdenmukainen eri hiukkaskiihdyttimillä saatujen kokeellisten tietojen kanssa , mukaan lukien SPS ja Fermilab . Yllä olevasta kaavasta b:n arvoa kutsutaan pitkän kantaman korrelaatiokertoimeksi. Yllä olevan kaavan seurauksena korrelaatiokertoimelle voidaan saada seuraava kaava:

$b={\frac {\left\langle n_{b}n_{f}\right\rangle -\left\langle n_{f}\right\rangle \left\langle n_{b}\right\rangle }{D_{n_{f}}}}}$

Näin löydetty korrelaatiokerroin mahdollistaa hadronin törmäyksissä tapahtuvien ilmiöiden fysiikan tutkimisen . Erityisesti korrelaatiokertoimen ero nollasta voi tarkoittaa, että tutkitut suureet (tässä tapauksessa kertoimet etu- ja takaikkunoissa) ovat jotenkin yhteydessä toisiinsa, mutta tuloksena olevilla riippuvuuksilla ei välttämättä ole kausaalisia suhteita .

Korrelaatiofunktioiden ja sen ominaisuuksien estimointi

Korrelaatiofunktioiden laskemiseen tarvittavien ACS:n syöttötoimintojen arviointi suoritetaan kokeellisesti tarkkailemalla niiden toteutumista pitkään T ja laskemalla seuraavan kaavan mukaan: $r_{x}(\tau )=1/T\int \limits _{0}^{T}x(t)x(t+\tau )dt$

Kirjallisuus

Hill. T. Statistical mechanics, M., 1960
Cooney F.M. Tilastollinen fysiikka ja termodynamiikka, M.: Nauka, 1981
Bogolyubov N. N., Shirkov D. V., Quantum fields, 2. painos, M., 1993
A. A. Abrikosov, L. P. Gorkov, I. E. Dzjalosinski. Kvanttikenttäteorian menetelmät tilastollisessa fysiikassa., M., Fizmatgiz, 1962
Fyysinen tietosanakirja (toim. Prokhorov)
Akhiezer A. I., Peletminsky S. V., Methods of Statistical Physics, M: Nauka, 1977

Katso myös

Korrelaatio

Autokorrelaatiotoiminto

kovarianssi

tilastollinen fysiikka

Termodynamiikka

kvanttikenttäteoria

Suuri hadronin törmäyskone

Muistiinpanot

↑ Akhiezer A. I., Peletminsky S. V., Methods of Statistical physics, M: Nauka, 1977 - s. 111