Variaatiolaskelma

Variaatiolaskenta on analyysin haara , joka tutkii funktionaalisten funktioiden variaatioita . Tyypillisin tehtävä on löytää funktio , jolla annettu funktio saavuttaa ääriarvon .

Variaatiolaskennan menetelmiä käytetään laajasti matematiikan eri alueilla . Esimerkiksi differentiaaligeometriassa niitä käytetään geodeettisten viivojen ja minimaalisten pintojen etsimiseen . Fysiikassa variaatiomenetelmä on yksi tehokkaimmista työkaluista liikeyhtälöiden saamiseksi (katso esimerkiksi , pienimmän toiminnan periaate ), sekä diskreeteille että hajautetuille järjestelmille, mukaan lukien fyysiset kentät. Variaatiolaskelman menetelmät ovat sovellettavissa myös statiikassa (ks . Variaatioperiaatteet ).

Termit ja määritelmät

Tärkeimmät variaatiolaskelman käsitteet ovat seuraavat:

muunnelma (ensimmäinen muunnelma),
variaatioderivaata (ensimmäinen variaatioderivaata),
ensimmäisen variaation ja ensimmäisen variaatioderivaatan lisäksi huomioidaan myös toisen ja korkeamman asteen variaatiot ja variaatioderivaatat.

Analyysin funktion variaatio, joka on nimellisesti sama, ei liity mitenkään variaatiolaskelmaan .

Termiä variaatio ( variaatio ) - käytetään variaatiolaskelmassa merkitsemään muunnelman tai muunnelman derivaatan löytämistä (tämä on analogi terminille differentiaatio äärettömän ulottuvuuden argumentille, joka on laskennan kohteena. muunnelmat). Myös usein lyhyyden vuoksi (etenkin sovelluksissa) termiä variaatio käytetään kuvaamaan variaatiotehtävän ratkaisua, joka pelkistetään variaatioderivaatan löytämiseen ja sen rinnastamiseen nollaan.

Variaatioongelma tarkoittaa pääsääntöisesti sellaisen funktion löytämistä (variaatiolaskelman puitteissa funktiolle yhtälö), joka täyttää jonkin tietyn funktion stationaarisuusehdon , eli funktion, jonka (äärettömän pienet) häiriöt tekevät eivät aiheuta muutosta toiminnallisessa, ainakaan ensimmäisessä pienuusjärjestyksessä. Variaatioongelma on myös läheisesti liittyvä ongelma sellaisen funktion (funktion yhtälön) löytämisessä, jolla tietty funktio saavuttaa paikallisen ääripään (monin suhteen tämä ongelma on pelkistetty ensimmäiseen, joskus lähes kokonaan). Yleensä tällaisella termien käytöllä tarkoitetaan, että ongelma ratkaistaan variaatiolaskennan menetelmillä.

Tyypillisiä esimerkkejä variaatioongelmista ovat geometrian ja mekaniikan isoperimetriset ongelmat ; fysiikassa ongelma löytää kenttäyhtälöt tietyn tyyppisestä toiminnasta tälle kentälle.

Historia

Jo muinaisina aikoina ilmestyi ensimmäiset isoperimetristen ongelmien luokkaan liittyvät variaatioongelmat - esimerkiksi Didon ongelma . Muinaiset kreikkalaiset matemaatikot tiesivät jo [1] :

Kaikista kuvioista, joilla on tietty kehä , ympyrän pinta-ala on suurin.
Kaikista monikulmioista , joilla on tietty määrä sivuja ja tietty kehä, säännöllisen monikulmion pinta-ala on suurin .
Kaikista tietyn pinta - alaisista kappaleista pallolla on suurin tilavuus . Arkhimedes ja Zenodor ratkaisivat samanlaisen pallomaisten segmenttien ongelman 2. vuosisadalla eKr. e. kirjoitti kirjan "Isoperimetrisistä hahmoista" (sitä on säilynyt muiden kirjoittajien teoksissa laajat lainaukset).

Ensimmäisen variaatioperiaatteen muotoili heijastuneiden valonsäteiden liikeradat Aleksandrian Heron teoksessaan "Katoptrik" (1. vuosisadalla jKr.) [2] .

Keskiaikaisessa Euroopassa isoperimetrisiä ongelmia käsittelivät I. Sacrobosco (XIII vuosisata) ja T. Bradwardin (XIV vuosisata). Analyysin kehittämisen jälkeen ilmaantui uudentyyppisiä variaatioongelmia, pääasiassa mekaanisia. Newton teoksessa " Mathematical Principles of Natural Philosophy " (1687) ratkaisee ongelman: löytää pyörimiskappaleen muoto, joka tarjoaa vähiten vastuksen liikkuessaan kaasussa tai nesteessä (tietyillä mitoilla). Tärkeä historiallinen ongelma, joka antoi sysäyksen variaatiolaskennan modernin version kehittämiselle, oli brachistochrone (1696). Sen nopea ratkaisu useiden matemaatikoiden toimesta osoitti uusien menetelmien valtavat mahdollisuudet. Muiden tehtävien joukossa on syytä huomioida ajojohdon muodon (eli raskaan homogeenisen langan tasapainon muodon, 1690) määrittäminen. Yleisiä menetelmiä variaatioongelmien ratkaisemiseksi ei vielä tänä aikana ollut olemassa, jokainen ongelma ratkaistiin nokkelan (eikä aina virheettömän) geometrisen päättelyn avulla.

Pierre Fermat muotoili geometrisen optiikan perusperiaatteen, jonka mukaan valo epähomogeenisessa väliaineessa valitsee polun, joka vie vähiten aikaa. Vuonna 1746 Maupertuis yleisti tämän säännön ottamalla käyttöön tieteessä ensimmäisen vähiten toimien periaatteen .

Ratkaisevan panoksen variaatiolaskelman kehittämiseen tekivät Leonhard Euler ja Joseph Lagrange . Euler omistaa ensimmäisen systemaattisen esityksen variaatiolaskusta ja itse termistä (1766). Lagrange sai itsenäisesti (vuodesta 1755) monia perustavanlaatuisia tuloksia ja otti käyttöön variaation käsitteen .

Tässä vaiheessa johdettiin Euler-Lagrange-yhtälöt . Ne ovat välttämätön edellytys ääripäälle, josta on tullut variaatiomenetelmien analyyttinen perusta. Pian kuitenkin kävi selväksi, että näiden yhtälöiden ratkaisut eivät kaikissa tapauksissa anna todellista ääripäätä, ja ongelmana oli löytää riittävät ehdot ääripään takaamiseksi. Ensimmäisen perusteellisen tutkimuksen (toisesta muunnelmasta) suoritti Legendre , mutta Lagrange havaitsi työssään virheen. Legendren tuloksia jalosti ja täydensi Jacobi (1837), sitten hänen oppilaansa Hesse (1857) ja myöhemmin Weierstrass . Nyt näitä riittäviä ehtoja kutsutaan Jacobin yhtälöiksi [3] .

Epävirallinen keskustelu

Variaatiolaskelman sisältö on differentiaalin käsitteen yleistys ja äärellisulotteisen vektoriargumentin funktion derivaatta funktion tapaukseen - funktion, jonka määritelmäalue on tietty joukko tai funktioitavaruus. , ja arvot ovat reaali- tai kompleksilukujen joukossa.

Kaikkialla alla tässä osiossa oletetaan, että funktioilla ja funktionaalisilla on tarvittava sileys, eli kysymystä tiettyjen johdannaisten olemassaolosta ei käsitellä erikseen, varsinkin kun monissa erityisongelmissa tällä kysymyksellä ei ole käytännön merkitystä (tarvittava sileys). on varmasti siellä).

Funktionaali yhdistää jokaisen tietyn funktion sen määritelmäalueelta tiettyyn numeroon. $\Phi[f]$ $f$

Funktionaalin differentiaalista ja suuntaderivaattasta on helppo kirjoittaa analogeja.

Muunnelma

Differentiaalin analogi (ensimmäinen differentiaali) on variaatiolaskelman vaihtelu ( ensimmäinen muunnelma ):

\delta\Phi=\Phi[f+\delta f]-\Phi[f]

(kuten differentiaalin tapauksessa tarkoitamme tämän inkrementin lineaarista osaa, ja perinteisellä tavalla se valitaan infinitesimaaliksi, ja eroa laskettaessa äärettömän pienet korkeammat kertaluvut hylätään). Samanaikaisesti - differentiaalin tai itsenäisen muuttujan pienen lisäyksen roolia - kutsutaan variaatioksi . $\delta f$ $\delta f$ $f$

Kuten näette, itse puolestaan on toiminnallinen, koska yleisesti ottaen se on erilainen eri (myös eri ) . $\delta\Phi$ $f$ $\delta f$

Siten funktionaaleihin sovellettuina tämä on suora analogi äärellisulotteisen (mukaan lukien yksiulotteisen) argumentin funktion differentiaalille:

dy=y(x+dx)-y(x)

- ymmärretään samalla tavalla funktion lisäyksen lineaarisena osana argumentin äärettömän pienellä lisäyksellä (tai lineaarisella termillä pisteen lähellä olevien potenssien laajennuksessa ). $y$ $x$ $y$ $dx$ $x$

Esimerkkejä

Funktionaalista todellista funktiota todellista argumenttia - kaikille ja on totta . $\Phi[f]=\cos(f(1))$ $f$ $\delta f$ $\delta\Phi=-\sin(f(1))$
Funktionaalista todellista funktiota todellista argumenttia - kaikille ja on totta . $\Phi[f]=\cos(f(1))+\sin(f(6))$ $f$ $\delta f$ $\delta\Phi=-\sin(f(1))+\cos(f(6))$
Funktionaalista todellista funktiota todellista argumenttia - kaikille ja on totta . $\Phi[f]=\int\limits_1^2 f(x)\,dx$ $f$ $\delta f$ $\delta\Phi=\int\limits_1^2(f(x)+\delta f(x))\,dx-\int\limits_1^2 f(x)\,dx=\int\limits_1^2\delta f(x)\,dx$

Suuntajohdannainen

( Gateaux derivaatta ) Funktionaalin derivaatta suunnan pisteessä on tietysti $\Phi$ $f$ $g$

\frac{d\Phi[f+\alpha g]}{d\alpha}\bigg|_{\alpha=0}.

Periaatteessa tämä riittää jo ratkaisemaan tyypillisen variaatioongelman - "stationaaristen pisteiden" etsimisen, eli sellaiset funktiot , joiden ensimmäinen variaatio tai suuntaderivaata katoaa mille tahansa infinitesimaalille tai mille tahansa äärelliselle . Juuri nämä "pisteet" funktioiden avaruudessa - eli juuri sellaiset funktiot - ovat ehdokkaita ääriarvoiksi (tarkistus, ovatko ne todella ääriarvoja, eli saavutetaanko niillä paikallinen ääriarvo, on tehtävä erikseen, koska äärellisulotteisen argumentin funktioiden tapauksessa; On mielenkiintoista, että monissa fysiikan ongelmissa on tärkeämpää löytää ei ääriarvoja, vaan täsmälleen paikallaan olevia pisteitä). Joissakin lähteissä on terminologia, jossa kaikkia funktionaalin stationäärisiä pisteitä kutsutaan ääripääksi, ja sitten selvitetään äärimmäisen tyyppi. Kiinteäpisteiden analyysi perustuu toisen derivaatan etumerkin tutkimukseen suunnan suhteen. $f$ $\delta f$ $g$

Esimerkkejä (Tässä ei esitetä erityistä suuntaderivaattamerkintää.)

Funktionaalisen johdannainen pisteessä pitkin suuntaa on . $\Phi[f]=f(0)$ $f=\cos$ $g=\cos$ $\frac{d(\cos(0)+\alpha\cos(0))}{d\alpha}=1$
Funktionaalisen johdannainen pisteessä pitkin suuntaa on . $\Phi[f]=f(0)$ $f=\cos$ $g=\sin$ $\frac{d(\cos(0)+\alpha\sin(0))}{d\alpha}=0$
Funktionaalisen johdannainen pisteessä pitkin suuntaa on . $\Phi[f]=\int\limits_0^{2\pi}\cos(x)f(x)\,dx$ $f=\cos$ $g=\cos$ $\frac{d}{d\alpha}\left((1+\alpha)\int\limits_0^{2\pi}\cos^2x\,dx)\right)=\pi$
Funktionaalisen johdannainen pisteessä pitkin suuntaa on . $\Phi[f]=\int\limits_0^{2\pi}\cos(x)f(x)\,dx$ $f=\cos$ $g=\sin$ $\frac{d}{d\alpha}\left(\alpha\int\limits_0^{2\pi}\sin x\cos x\,dx\right)=\frac{d0}{d\alpha}=0$

Variaatioderivaata

Integraalifunktionaaleille , jotka ovat erittäin tärkeä tapaus matematiikassa ja sovelluksissa, voidaan ottaa käyttöön differentiaalin analogin ja suunnan derivaatan lisäksi myös Fréchet-derivaata - äärellisulotteisen gradientin analogi , jota kutsutaan variaatioderivaattaksi . .

Eli täysin analogisesti äärellisulotteisen tapauksen kanssa, kun

dy={\big (}{\vec {\nabla }}y,\;d{\vec {x}}{\big )}=\left({\frac {dy}{d{\vec {x}}}},\;d{\vec {x}}\right)=\sum _{i}\partial _{i}y\,dx_{i}

missä on funktion gradientin (tai Fréchet-johdannaisen) nimitys ja skalaaritulo; on osittaisen derivaatan operaattori suhteessa th-koordinaattiin, summa on kokonaisdifferentiaali . $\vec\nabla y$ $y$ $(\;,\;)$ $\osittainen_i$ $i$

Toiminnallisille, joita meillä on

\delta\Phi=\left(\frac{\delta\Phi}{\delta f},\;\delta f\right)=\int\frac{\delta\Phi}{\delta f}(x)\ delta f(x)\,dx

missä on variaatioderivaatta , ja äärellisulotteisen kaavan summaus korvataan luonnollisesti integraatiolla. $\frac{\delta\Phi}{\delta f}$ $\Phi$

Niin,

\frac{\delta\Phi}{\delta f}

on variaatioderivaatan standardimerkintä . Tämä on myös tietty funktio sekä ja (yleisesti ottaen tämä on yleistetty funktio , mutta tämä varaus ei kuulu harkinnan piiriin, koska oletetaan, että kaikki funktiot ja funktionaaliset ovat mielivaltaisen sileitä eikä niillä ole singulaarisuutta).

x

f

Toisin sanoen, jos on mahdollista esittää muunnelma

\delta\Phi=\Phi[f+\delta f]-\Phi[f]

kuten

\delta\Phi=\int A(x)\delta f(x)\,dx

, missä on jokin toiminto ,

A

x

eli variaatioderivaata by ("by " tarkoittaa tässä sitä, että muut argumentit tai parametrit eivät muutu; puheen kierto "by " voidaan jättää pois siinä tapauksessa, että on tarkasti määritetty, mikä funktion funktio katsotaan , mikä Käytäntö ei välttämättä käy selväksi sen kaavasta, joka voi sisältää muita parametreja ja toimintoja - katso myös alla). Tuo on $A$ $\Phi$ $f$ $f$ $f$ $\Phi$

\frac{\delta\Phi}{\delta f} = A.

Esimerkkejä (Ja tässä integraalien ero pienenee yhdeksi integraaliksi.)

Toiminnallisille, joita meillä on $\Phi[f]=\int\limits_1^2 f(x)\,dx$

\delta\Phi=\delta\int\limits_1^2 f(x)\,dx=\int\limits_1^2 \left(f(x)+\delta f(x)\right)\,dx-\int \limits_1^2 f(x)\,dx=\int\limits_1^2 \delta f(x)\,dx \Rightarrow \frac{\delta\Phi}{\delta f}=1.

Funktionaaliselle variaatioderivaata lasketaan seuraavasti: $\Phi[f]=\int\limits_1^2 K(x)f(x)\,dx$

\delta\Phi=\delta\int\limits_1^2 K(x)f(x)\,dx=\int\limits_1^2 \delta(K(x)f(x))\,dx=\int\ rajat_1^2 K(x)\delta f(x)\,dx\Rightarrow\frac{\delta\Phi}{\delta f}=K(x).

Toimivuuden vuoksi $\Phi[f]=\int\limits_1^2 L(f(x))\,dx$

\delta\Phi=\delta\int\limits_1^2 L(f(x))\,dx=\int\limits_1^2 \delta L(f(x))\,dx=\int\limits_1^2\ frac{\partial L}{\partial f}\delta f(x)\,dx\Rightarrow\frac{\delta\Phi}{\delta f}=\frac{\partial L}{\partial f}.

Jos ilmaisemme funktion äärettömän pienen eron sen derivaatan ja argumentin eron perusteella , saamme:

\delta L(f)

\delta f

\delta L=\frac{\partial L}{\partial f}\delta f.

On helppo nähdä, että tämä määritelmä voidaan yleistää mihin tahansa integraalin ulottuvuuteen. -ulotteisessa tapauksessa yksiulotteisen tapauksen suoraan yleistävä kaava on tosi: $n$

\delta\Phi=\int\limits_\Omega\left(\frac{\delta\Phi}{\delta f}\right)\delta f(x)\,d^nx.

Variaatioderivaatan käsite voidaan myös helposti yleistää useiden argumenttien funktionaaleihin [4] :

\delta\Phi[f,\;g,\;\ldots]=\int\limits_\Omega\left(\frac{\delta\Phi}{\delta f}\delta f(x)+\frac{\ delta\Phi}{\delta g}\delta g(x)+\ldots\right)\,d\Omega.

Esimerkkejä (Tässä integraalien ero pienennetään yhdeksi integraaliksi.)

Funktionaaliselle variaatioderivaatan moniulotteinen tapaus lasketaan seuraavasti: $\Phi[f]=\int\limits_1^2\int\limits_3^4 L(f(x,\;y))\,dx\,dy$

\delta\Phi=\delta\int\limits_1^2\int\limits_3^4 L(f(x,\;y))\,dx\,dy=\int\limits_1^2\int\limits_3^4\ delta L(f(x,\;y))\,dx\,dy=\int\limits_1^2\int\limits_3^4\frac{\partial L}{\partial f}\delta f(x,\ ;y)\,dx\,dy\Rightarrow\frac{\delta\Phi}{\delta f}=\frac{\partial L}{\partial f}.

Toiminnallisille, joita meillä on $\Phi[f,\;g]=\int\limits_1^2 L(f(x),\;g(x))dx$

\delta\Phi=\delta\int\limits_1^2 L(f(x),\;g(x))\,dx=\int\limits_1^2\delta L(f(x),\;g( x))\,dx=\int\limits_1^2\left(\frac{\partial L}{\partial f}\delta f(x)+\frac{\partial L}{\partial g}\delta g (x)\right)\,dx\Rightarrow\frac{\delta\Phi}{\delta f}=\frac{\partial L}{\partial f},\;\frac{\delta\Phi }{\ delta g}=\frac{\partial L}{\partial g}.

Ilmaisemalla usean argumentin funktion äärettömän pienen eron kokonaisdifferentiaalina , saamme:

\delta L=\frac{\partial L}{\partial f}\delta f+\frac{\partial L}{\partial g}\delta g.

Toisen ja korkeamman asteen variaatiot ja variaatioderivaatat

Kuten edellä on kuvattu ensimmäisen kertaluvun kohdalla, voidaan ottaa käyttöön funktionaalin toisen muunnelman ja toisen variaatioderivaatan käsite sekä -: s variaatio ja -: s variaatioderivaata : $n$ $n$

\delta^2\Phi,\;\frac{\delta^2\Phi[f]}{\delta f^2},\;\delta^n\Phi,\;\frac{\delta^n\Phi [f]}{\delta f^n}.

Useasta funktiosta riippuvaisille funktionaaleille voidaan ottaa käyttöön myös eri luokkaa olevien sekavariaatioderivaatojen käsite, esimerkiksi:

\frac{\delta^3\Phi[f,\;g]}{\delta f^2\delta g}.

Tässä emme käsittele tätä yksityiskohtaisesti, kaikki tehdään täysin samalla tavalla kuin vastaavien differentiaalien ja derivaattojen käyttöönotto äärellisulotteisen argumentin funktiolle.

Funktionaalinen lähellä tiettyä pistettä funktioiden avaruudessa laajenee Taylor-sarjaksi , jos tietysti on olemassa kaikkien kertalukujen variaatioderivaatat. Kuten äärellisulotteisissa tapauksissa, tämän sarjan äärellisen määrän termien summa antaa funktionaalin arvon tietyllä tarkkuudella (vastaavaa pienuusluokkaa) vain sen argumentin pienille poikkeamille (äärettömän pienille). Lisäksi, kuten äärellisulotteisen argumentin funktioiden tapauksessa, Taylor-sarja (kaikkien termien summa) ei välttämättä konvergoi siihen laajennetun funktion kanssa nollasta poikkeavilla äärellisillä siirtymillä, vaikka tällaiset tapaukset ovat melko harvinaisia sovellukset.

Variaatiolaskelman soveltaminen

Vaikka ongelmat, joihin vaihtelulaskentaa voidaan soveltaa, ovat huomattavasti laajempia, sovelluksissa ne rajoittuvat pääasiassa kahteen pääongelmaan:

löytää pisteitä funktioiden avaruudesta, joille funktionaali määritellään - paikallaan pysyvän funktion pisteet , stationaariset funktiot, suorat, liikeradat, pinnat jne., eli etsimään tietylle ne , joille mille tahansa (äärettömän pienelle) , tai , muuten, missä $\Phi[f]$ $f$ $\delta\Phi=0$ $\delta f$ $\frac{\delta\Phi}{\delta f}=0$
funktionaalisen paikallisen ääripään löytäminen, eli ensinnäkin niiden määrittäminen , jotka saavat paikallisesti ääriarvot - ääriarvojen löytäminen ( joskus myös ääripään merkin määrittäminen). $f$ $\Phi[f]$

Ilmeisesti molemmat ongelmat liittyvät läheisesti toisiinsa, ja toisen ratkaisu pelkistyy (funktionaalisen sujuvuuden myötä) ensimmäisen ratkaisemiseen ja sitten sen tarkistamiseen, onko paikallinen ääripiste todella saavutettu (mikä tehdään itsenäisesti manuaalisesti tai järjestelmällisemmin , tutkimalla toisen ja, jos ne kaikki ovat samanmerkkisiä ja ainakin yksi niistä on nolla, variaatioderivaatat, niin korkeampi kertaluku). Kuvatussa prosessissa määritetään myös ääripään tyyppi. Usein (esimerkiksi kun kiinteän funktion funktio on ainutlaatuinen ja kaikilla funktion muutoksilla minkä tahansa suuren häiriön kohdalla on sama merkki), ratkaisu kysymykseen, onko tämä ääriarvo ja minkä tyyppinen se on, on ilmeinen etukäteen.

Tässä tapauksessa ongelma (1) ei useinkaan ole vähempää tai jopa tärkeämpi kuin ongelma (2), vaikka paikallaan olevan pisteen luokitus on määrittelemätön (eli se voi osoittautua minimi-, maksimi- tai satulapiste, sekä heikko ääripää, piste, jonka lähellä funktio on täsmälleen vakio tai eroaa vakiosta korkeammassa järjestyksessä kuin sekunti). Esimerkiksi mekaniikassa (ja yleensä fysiikassa) stationaarisen potentiaalienergian käyrä tai pinta tarkoittaa tasapainoa, ja kysymys siitä, onko se äärimmäinen, liittyy vain kysymykseen tämän tasapainon stabiilisuudesta (joka ei ole läheskään aina tärkeä). Kiinteän liikkeen liikeradat vastaavat mahdollista liikettä riippumatta siitä, onko toiminta sellaisella liikeradalla minimaalinen, maksimaalinen vai satula. Sama voidaan sanoa geometrisesta optiikasta, jossa mikä tahansa stationaarisen ajan viiva (ei vain minimiaika, kuten Fermatin pienimmän ajan periaatteen yksinkertaisessa muotoilussa ) vastaa valonsäteen mahdollista liikettä epähomogeenisessa optisessa väliaineessa. On järjestelmiä, joissa ei ole lainkaan ääriarvoja, mutta paikallaan olevia pisteitä on.

Ehdollisten ääripisteiden ja ehdollisten stationääripisteiden löytämismenetelmät (katso alla) tekevät variaatiolaskelmasta vieläkin tehokkaamman työkalun molempien ongelmien ratkaisemiseen.

Variaatiotekniikka

Tärkein ja tavallinen tekniikka integraalifunktion variaatioderivaatan löytämiseksi , jonka integrandi ei sisällä vain funktion arvoa pisteessä , vaan myös sen derivaattojen arvot, eli ei vain , vaan myös , ja niin edelleen (periaatteessa minkä tahansa kertaluokan derivaatat voidaan sisällyttää, vaikka käytännön ongelmissa toista korkeammat järjestykset ovat paljon harvinaisempia, ja useimmiten johdannaisten järjestys ei ole korkeampi kuin ensimmäinen; jonkin luokan derivaatat sisällytetään käytännöllisesti katsoen mielenkiintoisia funktionaalisia lähes aina: esimerkiksi sellainen funktionaali kuin käyrän pituus sisältää ensimmäisen kertaluvun derivaattoja ja taivutetun elastisen tangon potentiaalienergia ovat vähintään toisen kertaluvun derivaattoja) on integrointi osittain. Se, seuraamalla melko läpinäkyvää ja ilmeistä funktion vaihtelun ilmaisun tallentamista suoraan yllä olevassa artikkelissa kuvatun reseptin mukaisesti, mahdollistaa tavoitteen saavuttamisen: variaatioderivaatan löytäminen. $\Phi[f]$ $f$ $x$ $f(x)$ $df/dx$ $d^2f/dx^2$

Funktionaalisen muunnelman lauseke kirjoitetaan melko suoraan ja yksinkertaisesti. Mutta tässä tapauksessa syntyy yksi tyypillinen epämukavuus [5] , joka koostuu siitä, että tässä tapauksessa integraalin alla olevassa lausekkeessa ei esiinny ainoastaan termejä c vaan myös c . Tämän haitan eliminoi osien integrointi . $\delta\Phi[f]$ $\delta f$ $\delta(df/dx)$

Tarkastellaan tätä ensin yksinkertaisella erityisellä esimerkillä ja sitten yleisellä esimerkillä.

Esimerkki: Vaaditaan funktionaalin variaatioderivaatta

\Phi[f]=\int\limits_1^2\left((f'(x))^2+(f(x))^3\oikea)\,dx,

jossa alkuluku tarkoittaa johdannaista suhteessa , ja löytää , jonka arvo on äärimmäinen. $x$ $f(x)$ $\Phi$

Se on helppo kirjoittaa ulos

\delta\Phi=\delta\int\limits_1^2\left((f'(x))^2+(f(x))^3\right)\,dx=\int\limits_1^2\left( \delta\left((f'(x))^2\oikea)+\delta\left((f(x))^3\oikea)\oikea)\,dx=

=\int\limits_1^2\left(2f'(x)\delta(f'(x))+3(f(x))^2\delta f(x)\oikea)\,dx.

On selvää, että operaatio, jossa johdannainen otetaan suhteessa kohtaan, voidaan vapaasti vaihtaa operaatioon . Sitten $x$ $\delta$

\delta\Phi=\int\limits_1^2\left(2f'(x)(\delta f(x))'+3(f(x))^2\delta f(x)\oikea)\,dx .

Nyt, jotta emme seisoisi derivaatan merkin alla, mikä estää meitä ottamasta pois suluista molemmista termeistä (suluissa jäljellä oleva on variaatioderivaata), meidän on käytettävä osien integrointia ensimmäisessä termissä: $\delta f(x)$ $\delta f(x)$

\delta\Phi=\int\limits_1^2 2f'(x)(\delta f(x))'\,dx+\int\limits_1^2 3(f(x))^2\delta f(x)\ ,dx=

=2f'(x)\delta f(x){\bigg |}_{1}^{2}-\int \limits _{1}^{2}(2f'(x))'\delta f( x)\,dx+\int \limits _{1}^{2}3(f(x))^{2}\delta f(x)\,dx.

Nyt voit jälleen kääntää integraalien summan yhdeksi ja ottaa sen pois suluista : $\delta f$

\delta\Phi=2f'(x)\delta f(x)\bigg|_1^2-\int\limits_1^2(2f'(x))'\delta f(x)\,dx+\int\limits_1 ^2 3(f(x))^2\delta f(x)\,dx=

=2f'(x)\delta f(x)\bigg|_1^2+\int\limits_1^2\left(-(2f'(x))'\delta f(x)+3(f(x) )^2\delta f(x)\oikea)\,dx=

=2f'(x)\delta f(x)\bigg|_1^2+\int\limits_1^2\left(-(2f'(x))'+3(f(x))^2\oikea) \delta f(x)\,dx,

rajatermi jätetään yksinään. $2f'(x)\delta f(x)\bigg|_1^2=2f'(2)\delta f(2)-2f'(1)\delta f(1)$

Rajatermi voidaan rinnastaa nollaan [6] , mikä ratkaisee ongelman variaatioderivaatan löytämisessä (itsekin määritelmän mukaan se on integraalin alla suurissa suluissa, vain rajatermi häiritsee määritelmää). Selitys sille, että rajatermi on yhtä kuin nolla, ei ole liian tiukka (katso huomautus [6] ), mutta rajoitamme siihen keskittyäksemme pääasiaan.

Aluksi kiinnitämme rajapisteisiin, sitten rajatermi katoaa, koska sen on hävitettävä tällaisessa kiinnityksessä kohdassa ja . Monissa ongelmissa tällainen rajaehtojen kiinnittäminen tapahtuu aluksi. Kun etsitään ääripäätä ja variaatioderivaasta funktioluokasta, jolla on tällaisia reunaehtoja, rajatermi voidaan yksinkertaisesti hylätä. Mutta jos rajaehtoja ei aseta ongelma itse, ne voidaan asettaa keinotekoisesti, ongelma ratkaistaan kiinteille ehdoille, ja sitten eri reunaehtojen ratkaisujoukosta voidaan valita optimaalinen (tämä on yleensä ei vaikea). Lyhyesti sanottuna ongelman ratkaisu rajatermin nollauksella sisältää muun muassa alkuperäisen ongelman ratkaisun, tarvitsee vain kaventaa jo löydettyjen ratkaisujen luokkaa, muuttuu ja valita niistä paras. (Katso alta selkeämpi ja yleisempi lähestymistapa.) $f$ $\delta f$ $x=1$ $x=2$ $f(1)$ $f(2)$

Tässä variaatioderivaatalla tarkoitetaan siis kiinteäpäisten funktioiden luokan variaatioderivaantaa, joka (ekstremaalia etsittäessä ja vastaavissa ongelmissa) nollan ollessa yhtä suuri, määrää funktion käyttäytymisen segmentin sisällä. . Tässä mielessä esimerkissämme meillä on: $[1;\;2]$

\frac{\delta\Phi}{\delta f}=(-2f'(x))'+3(f(x))^2,

ja äärimmäisyyden välttämätön ehto on sen yhtäläisyys nollaan, eli meillä on yhtälö : $f$

-2f''(x)+3(f(x))^2=0.\

Tämän differentiaaliyhtälön ratkaisu antaa eksplisiittisen muodon , mutta ongelma ratkaisujen löytämisestä differentiaaliyhtälöön on jo muunnelmien laskennan ulkopuolella. Jälkimmäisen tehtävä rajoittuu sellaisen yhtälön ja mahdollisesti lisäehtojen saamiseen, jotka rajoittavat hyväksyttävien ratkaisujen luokkaa. $f(x)$

Esimerkki yleisemmässä merkinnässä: Vaaditaan funktionaalin variaatioderivaatta (edellinen esimerkki on tämän erikoistapaus ja voi toimia havainnollistavana sitä):

\Phi[f]=\int\limits_a^b L \left(f(x), f'(x), f''(x), ...)\right)\,dx,

missä alkuluku tarkoittaa derivaatta suhteessa , kaksinkertainen alkuluku tarkoittaa toista derivaatta suhteessa , ja silti voi olla korkeamman asteen derivaattoja, jotka on merkitty pisteillä ja find , joiden arvo on äärimmäinen. Tässä L ymmärretään useiden argumenttien funktiona (yleensä hyvin määriteltynä ja kullekin tietylle tehtävälle spesifinen, kuten yllä olevassa esimerkissä, mutta kirjoitettu tässä abstraktisti yleisyyden vuoksi). Funktion f derivaattojen arvot jokaisessa integrointialueen pisteessä (jota tässä merkitään segmentiksi, mutta voi olla myös koko reaaliakseli) korvataan argumenteina L: ssä , minkä jälkeen suoritetaan integrointi x :n yli . $x$ $x$ $f(x)$ $\Phi$

Se on helppo kirjoittaa ulos

\delta\Phi=\delta\int\limits_a^b L \left(f(x), f'(x), f''(x), ...)\right)\,dx

= \int\limits_a^b\left( \frac{\partial L}{\partial f}\delta f(x) + \frac{\partial L}{\partial f'}\delta f'(x) + \frac{\partial L}{\partial f''}\delta f''(x) + ... \right)\,dx,

missä osittaiset derivaatat jne. ovat yksinkertaisesti funktion L osittaisia derivaattoja sen vastaavien argumenttien suhteen, eli tässä merkinnässä ymmärretään yksinkertaisesti vastaavat parametrit (tarkoituksena on löytää äärettömän pieni ero $\frac{\partial L}{\partial f}, \frac{\partial L}{\partial f'}, \frac{\partial L}{\partial f''}$ $F F F''$

L \left(f(x) + \delta f(x), (f(x) + \delta f(x))', (f(x) + \delta f(x))'', ... \oikea)

L \vasen(f(x), f'(x), f''(x), ...\oikea)

On selvää, että operaatio, jossa johdannainen otetaan suhteessa kohtaan, voidaan vapaasti vaihtaa operaation kanssa , kuten yllä olevassa esimerkissä on tarkasteltu yksityiskohtaisesti. Siksi täällä emme yksinkertaisesti laita sulkuja, jotka osoittavat näiden toimintojen järjestyksen lausekkeisiin jne. $x$ $\delta$ $\delta f'(x), \delta f''(x)$

Nyt, jotta ei seiso derivaatan merkin alla, mikä vaikeuttaa hakasulkujen poistamista kaikista integrandin termeistä (jäävät suluissa - ja tulee variaatioderivaata), se on välttämätöntä (edustaen integraalin summa integraalien summana) toiseen termiin soveltaa integrointia osilla, kolmanteen - käyttää integrointia osilla kaksi kertaa, muihin, jotka sisältävät korkeampia derivaattoja (jotka on merkitty tässä ellipsillä), käytä integrointia osilla kolme tai useammin, kunnes kaikki vedot häviävät jne.: $\delta f(x)$ $\delta f(x)$ $\delta f'''(x)$

\int\limits_a^b\left( \frac{\partial L}{\partial f}\delta f(x) + \frac{\partial L}{\partial f'}\delta f'(x) + \ frac{\partial L}{\partial f''}\delta f''(x) + ... \right)\,dx = \int\limits_a^b \frac{\partial L}{\partial f} \delta f(x)\,dx + \int\limits_a^b \frac{\partial L}{\partial f'}\delta f'(x)\,dx + \int\limits_a^b \frac{\ osittainen L}{\osittais f''}\delta f''(x)\,dx + ...\, =

= \int\limits_a^b \frac{\partial L}{\partial f}\delta f(x)\,dx + \frac{\partial L}{\partial f'} \delta f(x) \bigg |_a^b - \int\limits_a^b \bigg(\frac{\partial L}{\partial f'}\bigg)' \delta f(x)\,dx + \frac{\partial L}{\ osittainen f''} \delta f'(x) \bigg|_a^b - \bigg(\frac{\partial L}{\partial f''}\bigg)' \delta f(x) \bigg|_a ^b + \int\limits_a^b \bigg(\frac{\partial L}{\partial f''}\bigg)''\delta f(x)\,dx + ...

Nyt voit jälleen kääntää integraalien summan yhdeksi ja ottaa sen pois suluista : $\delta f$

\delta \Phi = \frac{\partial L}{\partial f'} \delta f(x) \bigg|_a^b + \frac{\partial L}{\partial f''} \delta f'( x) \bigg|_a^b - \bigg(\frac{\partial L}{\partial f''}\bigg)' \delta f(x) \bigg|_a^b + ... + \int\ limits_a^b \bigg( \frac{\partial L}{\partial f} - \bigg(\frac{\partial L}{\partial f'}\bigg)' + \bigg(\frac{\partial L} {\osittainen f''}\bigg)'' + ... \bigg) \delta f(x)\,dx

jättäen rajatermin rauhaan. Rajatermi voidaan asettaa nollaan, kuten on kuvattu ja selitetty yllä olevassa erityisessä esimerkissä, ja myös - tarkemmin - alla olevissa erillisissä kappaleissa, jotka on omistettu erikseen rajaosaan liittyville asioille.

\frac{\delta\Phi}{\delta f}=\frac{\partial L}{\partial f} - \bigg(\frac{\partial L}{\partial f'}\bigg)' + \bigg (\frac{\partial L}{\partial f''}\bigg)'' + ... ,

ja äärimmäisyyden välttämätön ehto on sen yhtäläisyys nollaan, eli meillä on yhtälö : $f$

\frac{\partial L}{\partial f} - \bigg(\frac{\partial L}{\partial f'}\bigg)' + \bigg(\frac{\partial L}{\partial f'' }\bigg)'' + ... =0.\

(Korvaamalla tässä funktion L tietyn muodon , saamme tämän merkinnän sijasta erityisen yhtälön, esimerkiksi korvaamalla funktion tähän yhtälön yleiseen muotoon edellä käsitellyn esimerkin mukaisesti, eli saamme myös tätä esimerkkiä vastaavan yhtälön erityinen muoto, koska tässä ja toisen ja ylemmän (merkitty ellipsillä) kertaluvun derivaatat - yksinkertaisesti eivät - ne ovat kaikki yhtä suuria kuin nolla). $L(f,f') = f^3 + f'^2,\$ ${\frac {\partial L}{\partial f))=3f^{2},{\frac {\partial L}{\partial f'))=2f',$

Tällaisen differentiaaliyhtälön ratkaisu, kuten jo edellä mainittiin, antaa periaatteessa eksplisiittisen muodon , joka kuitenkin jää variaatiolaskelman ulkopuolelle, joka rajoittuu differentiaaliyhtälön ja mahdollisesti rajoittavien lisäehtojen saamiseen. toteutettavissa olevien ratkaisujen luokka (rajatermin analyysin yhteydessä) . $f(x)$

Yleisten funktioiden käyttäminen

Tässä osiossa tarkastellaan sellaista erityistä, mutta käytännössä tärkeää tapausta yleisten funktioiden käyttämisestä variaatioongelmien ratkaisemisessa, kuten Dirac-delta-funktion käyttäminen .

-funktion käyttö (älä sekoita sen nimitystä variaatiosymboliin!) sekä yleistettyjen funktioiden käyttö yleensä mahdollistaa merkittävästi laajentaa funktionaalisten funktioiden luokkaa, joka voidaan kirjoittaa integraalifunktioiden muodossa, ja joihin voidaan siksi soveltaa (yllä kuvattuja) perusmuutosmenetelmiä. ). Samalla tähän muotoon kirjoitetut funktionaaliset funktiot sisältävät käytännössä tärkeitä funktioita kuten rajafunktioita , mikä helpottaa huomattavasti niiden kanssa työskentelyä ja tekee siitä systemaattista. $\delta$ $\delta(x)$

Tämän osion ymmärtämisen helpottamiseksi korostamme delta-funktiota lihavoituna: - erottaaksemme sen variaatiosymbolista. $\boldsymbol\delta$

Tarkastellaanpa yksinkertaista esimerkkiä. Olkoon tarpeen löytää funktio , joka minimoi funktionaalin , ja lisäksi, että sille asetetaan ehdot . $f(x)$ $W[f]=\frac{1}{2}\int\limits_0^1(f'(x))^2\,dx$ $f(0)=10,\;f(1)=20$

Tämän ongelman ratkaisemisen helpottamiseksi on hyödyllistä kirjoittaa asetetut ehdot muotoon (tässä tapauksessa ne ovat funktionaalisia). Ei rajoitu tähän, käyttämällä delta-funktion pääominaisuutta, voimme kirjoittaa myös kiinteässä muodossa: $\Gamma_0[f]=10,\;\Gamma_1[f]=20$ $\Gamma_0[f]=f(0),\;\Gamma_1[f]=f(1)$ $\Gamma_0$ $\Gamma_1$

\Gamma_0[f]=\int\limits_{-\infty}^{+\infty}\boldsymbol\delta(x-0)f(x)\,dx,

\Gamma_1[f]=\int\limits_{-\infty}^{+\infty}\boldsymbol\delta(x-1)f(x)\,dx.

Nyt on mahdollista (laajentamalla integrointialuetta määritelmässä , ainakin äärettömän pienellä arvolla, välin yli ) funktionaalisten funktioiden vapaasti lisääminen ja vähentäminen [7] , mikä mahdollistaa alkuperäisen ongelman ratkaisun pelkistämisen muodollisesti. funktionaalin ehdollisen ääripään ongelmaan (katso alla ), joka pelkistyy uuden funktionaalin ääripään löytämiseen vakiotekijöillä , jonka erityisarvot tulee valita minimin löytämisongelman ratkaisemisen jälkeen. ratkaisemalla vastaavat algebralliset yhtälöt. Siten rajaehdot täyttyvät. Ja mikä tärkeintä, toiminnallisella on tässä tapauksessa täysin läpinäkyvä kiinteä muoto, joka on kätevä muunneltavaksi. $W$ $[0;1]$ $W,\;\Gamma_0,\;\Gamma_1$ $V=W-\lambda_0\Gamma_0-\lambda_1\Gamma_1$ $\lambda_0,\;\lambda_1$ $V$ $V$

Samanlainen tekniikka on kätevä, kun halutulle funktiolle ei aseteta reunaehtoja, vaan ehtoja tietyn yhtälön täyttymiselle kussakin pisteessä . $x$

Ehdolliset ääripäät

Lyhyyden vuoksi puhumme tässä osiossa ehdollisista ääripäistä, mutta kaikki täällä kirjoitettu pätee yhtä lailla kiinteiden pisteiden löytämiseen yleisesti.

Ehdollinen ääripää ei ole funktion (funktionaalisen) koko määritelmäalueen ääripää, vaan sen tietyssä osajoukossa, joka erottuu erityisellä ehdolla (tai ehdoilla). Yleensä puhumme määrittelyalueen alemman ulottuvuuden osajoukon allokoinnista tällä ehdolla, jolla on äärellisulotteisille alueille tietty visuaalinen merkitys, mutta äärettömän ulottuvuuden alueille (jotka yleensä ovat funktionaalisten määrittelyalueet), asetettuja ehtoja on tarkasteltava vain abstraktisti (mikä ei teoriassa häiritse olemaan hyödyllisessä analogiassa äärellisulotteisen tapauksen kanssa).

Olkoon tarpeen löytää funktionaalin ääripää jossain määrätyssä ehdossa. $\Phi[f]$

Huomautuksia ja esimerkkejä

Kuten tavallista, triviaali tapaus, jossa asetettu ehto pelkistetään jonkin eksplisiittiseksi ilmaukseksi jollakin tavalla (esimerkiksi jos tiedetään, että ), ei ole mitään järkeä harkita sitä erityisesti, koska tämä johtaa yksinkertaisesti uudelleenkirjoittamiseen. funktionaalista uudessa muodossa (tai jopa funktionaalin pelkistämiseksi äärellisen määrän muuttujia funktioksi). $f=\mathrm{const}\cdot\sin(x)+\mathrm{const}'\cdot\cos(x)$

Harkitseminen ansaitsee tapauksen, kun se asetetaan nollan (yleisessä tapauksessa vakion) kanssa joidenkin muiden funktionaalisten (yksi tai useampi) funktiona, tai yhtälön määrääminen halutulle funktiolle, joka sen on täytettävä.

Tyypillinen tapaus ensimmäisestä ongelmasta yhdellä määrätyllä ehdolla on isoperimetrinen ongelma (esimerkiksi Didon ongelma ). Esimerkki toisen tyyppisestä ehdosta voi olla jatkuvuusyhtälön noudattamisvaatimuksen asettaminen joissakin fyysisissä ongelmissa (stationaarisille ongelmille - sen kiinteä versio ). $\mathrm{div}\vec v=0$

Ehdollisen ääripääongelman päätyypit, joita on järkevää tarkastella, ovat seuraavat:

On tarpeen löytää funktionaalin ääriarvo sillä ehdolla, että toinen funktionaali on yhtä suuri kuin nolla ; (se, että oikea puoli on nolla, ei riko yleisyyttä). $U[f]\$ $V[f]=0\$
On tarpeen löytää funktionaalin ääripää ehdon alla . $U[f]\$ $V_1[f]=0,\;V_2[f]=0,\;\ldots,\;V_N[f]=0$
On tarpeen löytää funktionaalin ääriarvo yhtälön täyttymisehdon alla , jossa on jokin funktio ja/tai johdannaiset funktiosta , merkitty viivoilla. $U[f]\$ $f\$ $v(f,\;f',\;f'',\;\ldots,\;f^{(n)})=0$ $v\$ $f\$ $f\$

(Kolmannen ehdon tyyppiä ei ole kirjoitettu tässä yleisimmässä muodossa, mutta tämä riittää tarkoitukseemme.)

Kahteen ensimmäiseen tapaukseen sovelletaan lähes suoraan (nyt omaksutulla tarkkuudella ei ole mitään järkeä vetää rajaa äärellisulotteisen argumentin funktioiden tapauksen ja funktionaalisten funktioiden välille) soveltamme Lagrangen määräämättömien kertoimien menetelmää. . Nimittäin ehdollisen ääripään löytämiseksi sopivien ehtojen alaisuudessa on ratkaistava funktionaalin variaatioongelma ensimmäisessä ja toisessa tapauksessa ja sitten valittava (ratkaisemalla yhtälö ensimmäisessä tapauksessa ja N yhtälöä osittaisilla derivaatoilla jokaiselle niistä toisessa) ne , jotka toteuttavat minimin löydetyssä funktioperheessä f , jolle nämä ovat parametreja. Toisin sanoen variaatiolaskelman kannalta keskeinen asia on löytää ja nollata vaihtelu (tai variaatioderivaata) jollekin uudelle funktiolle näissä kahdessa tapauksessa: $U[f]\$ $\hat U[f] = U[f] - \lambda V[f]$ $\hat U[f] = U[f] - \lambda_1 V_1[f] - \lambda_2 V_2[f] - \pisteet - \lambda_N V_N[f]$ $d \hat U/ d \lambda = 0$ $\lambda _{i}$ $\lambda$ $\lambda$ $\hattu U[f]$

$\delta \hat U = \delta (U - \lambda V) = 0,$
$\delta \hat U = \delta (U - \lambda_1 V_1- \lambda_2 V_2 - \pisteet - \lambda_N V_N) = \delta (U - \summa_i\lambda_i V_i) = 0,$

Kolmas tapaus otetaan tässä huomioon integraalifunktiolle . Sitten ehdollisen ääripään löytäminen pelkistyy ensin funktionaalisuuden vaihtelemiseen $U[f] = \int\limits_\Omega \dots d\Omega$

\hat U[f] = U[f] - \int\limits_\Omega \lambda(x) v(f,\;f',\;f'',\;\ldots,\;f^{(n) )})d\Omega

\int\limits_\Omega \bigg( \dots - \lambda(x) v(f,\;f',\;f'',\;\ldots,\;f^{(n)}) \bigg) d\Omega

jossa on integrointialueeseen kuuluva muuttuja (yksiulotteinen tai n - ulotteinen), ja se on jokin epämääräinen funktio x , joka tulee yhtälöön, joka saadaan laskettuaan variaatioderivaata ja täsmentämällä se nollaan. $x$ $\Omega$ $\lambda(x)$

Perusteena tällaiselle ratkaisulle tapaukselle 3 voi olla kunkin pisteen esittäminen yhtäläisyyden täyttymisestä funktionaalin nollaksi Dirac - deltafunktiolla . Edelleen tässä tarkasteltavalla epävirallisella tasolla voidaan pitää ilmeisenä, että ongelmasta on tullut samanlainen kuin vaihtoehto 2, ja kaiken yhteenvedon jälkeen sen ratkaisu pienenee yllä kuvattuun. $x_{0}$ $\Omega$ $v(f(x_0), f'(x_0), \dots, f^{(n)}(x_0)) = 0$ $x_{0}$ $V_{x_0} = \int\limits_\Omega \delta(x-x_0) \lambda(x_0) v(f,\;f',\;f'',\;\ldots,\;f^{(n) )})d\Omega$ $x_{0}$

Siten kolmannen tyypin ehdollisen ääripään löytämisen variaatiolaskennan kannalta keskeinen kohta on pelkistetty

\delta \hat U = \delta \int\limits_\Omega \bigg( \dots - \lambda(x) v(f,\;f',\;f'',\;\ldots,\;f^{ (n)})\bigg)d\Omega = 0.

Moniulotteisen x :n derivaatoilla voidaan tarkoittaa esimerkiksi eri luokkaa olevia osittaisderivaataita , myös sekalaisia.

Euler-Lagrange-yhtälö

Yksi tärkeimmistä klassisista variaatiolaskennan tuloksista, joilla on suuri käytännön merkitys, ovat Euler-Lagrange-yhtälöt - differentiaaliyhtälöt, jotka on täytettävä funktiolla, joka on paikallaan melko yleiselle luokkansa ja erittäin tärkeälle muodolle. integraalifunktion (ja siten funktion, jolla tällainen funktionaali saavuttaa paikallisen ääripään, on myös täytettävä nämä yhtälöt).

Riittävän standardi Euler-Lagrange-yhtälöiden saamiseksi on tavanomainen tapa löytää variaatioderivaata ja kohdistaa se nollaan tai menetelmä kirjoittaa sen kanssa käytännössä yhtäpitävä variaatio käyttämällä standardimerkintää, kuten edellä on kuvattu.

Tässä esimerkkityyppien laajentamiseksi on annettu Euler-Lagrange-yhtälöiden johtaminen funktionaalin suuntaderivaatalla.

Johtaminen käyttämällä suuntaderivaata. Yksityinen esimerkki

Reaalimuuttujan tai äärellisulotteisen vektoriargumentin sileille funktioille tietyn funktion maksimi ja minimi voidaan löytää etsimällä pisteet, joissa derivaatta katoaa (ainakin tämä on välttämätön ääripääehto). Vastaavasti variaatiolaskelman sileiden tehtävien ratkaisu voidaan saada ratkaisemalla vastaava Euler-Lagrange-yhtälö.

Tämän prosessin havainnollistamiseksi tarkastelkaamme ensin erityistä ongelmaa löytää lyhin käyrä tasossa, joka yhdistää kaksi pistettä ja . Käyrän pituus on annettu $(x_1,\;y_1)$ $(x_2,\;y_2)$

A[f]=\int\limits_{x_1}^{x_2}\sqrt{1+[f'(x)]^2}\,dx,

missä

f'(x)=\frac{df}{dx},

ja missä ja . Funktiolla on oltava vähintään yksi derivaatta. Jos on paikallinen minimi ja on sopiva funktio, joka katoaa rajapisteissä ja jolla on ainakin ensimmäinen derivaatta, niin saamme $y=f(x)$ $f(x_1)=y_1$ $f(x_2)=y_2$ $f$ $f_0$ $f_1$ $x_1$ $x_{2}$

A[f_0]\leqslant A[f_0+\varepsilon f_1]

mille tahansa lähellä nollaa olevalle. Siksi derivaatan suhteessa (vastaa nollasta poikkeavaa tekijää, ensimmäistä muunnelmaa , lasketaan suuntaderivaattalla) täytyy hävitä missä tahansa funktiossa . Tällä tavalla, $\varepsilon$ $A[f_0+\varepsilon f_1]$ $\varepsilon$ $A$ $\varepsilon=0$ $f_1$

\int\limits_{x_1}^{x_2}\frac{f_0'(x)f_1'(x)}{\sqrt{1+[f_0'(x)]^2}}\,dx=0

mille tahansa toiminnolle . Jos oletetaan, että sillä on toinen jatkuva derivaatta, voimme käyttää osien integrointikaavaa : $f_1$ $f_0$

\int\limits_a^bu(x)v'(x)\,dx=u(x)v(x)\bigg|_a^b-\int\limits_a^b u'(x)v(x)\, dx.

Vaihtamisen jälkeen

u(x)=\frac{f_0'(x)}{\sqrt{1+[f_0'(x)]^2)),\quad v'(x)=f_1'(x),

se käy ilmi

u(x)v(x)\bigg|_{x_1}^{x_2}-\int\limits_{x_1}^{x_2} f_1(x)\frac{d}{dx}\left[\frac{f_0 '(x)}{\sqrt{1+[f_0'(x)]^2}}\oikea]\,dx=0,

mutta ensimmäinen termi katoaa, koska se valittiin katoamaan klo ja . Näin ollen $v(x)=f_1(x)$ $x_{1}$ $x_{2}$

\int\limits_{x_1}^{x_2} f_1(x)\frac{d}{dx}\left[\frac{f_0'(x)}{\sqrt{1+[f_0'(x)]^2 }}\right]\,dx=0

mille tahansa kahdesti differentioituvalle funktiolle , joka häviää intervallin lopussa. Tämä on variaatiolaskelman päälemman erikoistapaus: $f_1$

I=\int\limits_{x_1}^{x_2} f_1(x)H(x)\,dx=0

mille tahansa differentioituvalle funktiolle , joka katoaa intervallin lopussa. Koska integrointivälissä on mielivaltainen funktio, voimme päätellä, että . Sitten, $f_1(x)$ $f_1(x)$ $H(x) = 0$

\frac{d}{dx}\left[\frac{f_0'(x)}{\sqrt{1+[f_0'(x)]^2}}\right]=0.

Tästä yhtälöstä seuraa, että

\frac{d^2f_0}{dx^2}=0.

Siten ongelmamme ääripää on suorien viivojen segmentit.

On helppo havaita, että tämä menetelmä on käytännössä sama kuin tavallinen (tavallinen merkintätapa), jos se korvataan . $\varepsilon f_1$ $\delta f\$

Johtaminen käyttämällä suuntaderivaata. Yleisempi tapaus

Samanlaiset laskelmat voidaan suorittaa yleisessä tapauksessa [8] , kun

A[f]=\int\limits_{x_1}^{x_2} L(x,\;f,\;f')\,dx

ja sillä on oltava kaksi jatkuvaa derivaatta. Toistamalla päättelyä löydämme äärimmäisen , hyväksymme , etsimme derivaatan suhteessa kohtaan ja korvaamme sitten : $f$ $f_0$ $f=f_0+\varepsilon f_1$ $\varepsilon$ $\varepsilon=0$

\left.{\frac {dA}{d\varepsilon }}\right|_{{\varepsilon =0}}=\int \limits _{{x_{1}}}^{{x_{2}}} \left.{\frac {dL}{d\varepsilon }}\right|_({\varepsilon =0}}\,dx=

=\int\limits_{x_1}^{x_2}\left(\frac{\partial L}{\partial f}f_1+\frac{\partial L}{\partial f'}f'_1\right)\,dx =\int\limits_{x_1}^{x_2}\left(\frac{\partial L}{\partial f}f_1-f_1\frac{d}{dx}\frac{\partial L}{\partial f' }\right)\,dx+\left.\frac{\partial L}{\partial f'}f_1\right|_{x_1}^{x_2}=

=\int\limits_{x_1}^{x_2}f_1\left(\frac{\partial L}{\partial f}-\frac{d}{dx}\frac{\partial L}{\partial f'} \oikea)\,dx=0.

Lopuksi, variaatiolaskelman päälemman perusteella voimme päätellä, että funktion on täytettävä Euler-Lagrange-yhtälö $L$

-\frac{d}{dx}\frac{\partial L}{\partial f'}+\frac{\partial L}{\partial f}=0.

Yleisessä tapauksessa tämä yhtälö on toisen asteen tavallinen differentiaaliyhtälö , jonka ratkaisemalla voidaan löytää äärimmäinen . $f$

Euler-Lagrange-yhtälö on välttämätön , mutta ei riittävä ehto ääripään olemassaololle. Lisäehdot laaditaan erikseen.

Katso myös

Muistiinpanot

↑ Rybnikov, 1949 , s. 356-378.
↑ Rybnikov, 1949 , s. 377-378.
↑ Toimivuuden toinen muunnelma. Riittävä kunto toiminnallisuuden minimiin. . Haettu 25. helmikuuta 2011. Arkistoitu alkuperäisestä 4. huhtikuuta 2010. (määrätön)
↑ Muodollisesti on mahdollista pelkistää useiden argumenttien funktionaali käyttämällä funktiota, jolla on joukko arvoja -ulotteisessa avaruudessa: , funktionaaliseksi tästä yhdestä uudesta funktiosta riippuen , mutta puhtaasti teknisesti sitä on usein kätevämpi käyttää alkuperäinen versio ilman muutoksia, koska tietyillä laskelmilla kaikki menee lopulliseen komponenttikohtaiseen laskelmaan, kun kaikki ovat reaaliarvoisia (äärimmäisessä tapauksessa kompleksiarvoisia) funktioita. $\Phi_n[f_1,\;f_2,\;\ldots,\;f_n]$ $n$ $f(x):=(f_1(x),\;f_2(x),\;\ldots,\;f_n(x))$ $\Phi_1[f]$ $f_1(x),\;f_2(x),\;\ldots,\;f_n(x)$
↑ Haitta tässä on ensinnäkin se, että derivaatat vaikeuttavat kaiken poistamista suluista, mikä johtaa muotoon , mikä tarkoittaa muunnelman derivaatan löytämistä (joka on kaikki, mikä on suluissa ja on merkitty ellipsillä). Mutta vaikka funktionaali olisi sellainen, että derivaatta saadaan helposti pois suluista, eli variaatio voidaan esittää muodossa , niin differentiaatio on silti poistettava. Tämä on välttämätöntä, koska se perustuu siihen, että määritelmän (ja merkityksen) mukaan vain variaatioderivaatalla tulisi olla integraalin alla ja että se ei enää ole "mikään" funktio . Muussa tapauksessa ääripäätä etsittäessä voi olla huomioimaton suunta, jota pitkin . Se, mikä ei ole enää funktiota, on helppo nähdä rajaehtoja asetettaessa. Kuten artikkelissa kuvataan, tämä vaikeus on helppo ratkaista. $\delta f$ $\delta\Phi$ $\int(\ldots)\delta f(x)\,dx$ $\int(\ldots)\delta\frac{df(x)}{dx}\,dx$ $\delta f$ $\delta f$ $df/dx$ $x$ $\delta \Phi \neq 0$ $df/dx$
↑ 1 2 Delta -funktiolla saat heti tarkemman tuloksen, kun otetaan huomioon rajatermi, mutta tässä esityksen yksinkertaistamiseksi pärjäämme tällä lähestymistavalla.
↑ Tietysti funktionaalisten yhteen- ja vähennystoiminto on periaatteessa määritelty niiden merkintämuodosta riippumatta, mutta saman muodon käyttäminen vähentää sen täysin automaattiseksi, läpinäkyväksi ja teknisesti käteväksi, koska kaikki on nyt yksinkertaisesti integraalien lisäämistä. samalla alueella, mikä tarkoittaa - integrandien lisäämistä.
↑ Tapaus, jossa Lagrange-funktiolla on vain yksi funktio ja yksi sen ensimmäisistä derivaatoista argumentteina (tämä tapaus on käytännössä tärkein), analysoidaan tässä eksplisiittisesti ja integrointi suoritetaan yhden reaalimuuttujan yli. Lause ja todistus yleistyvät kuitenkin melko helposti ja suoraan mihin tahansa äärelliseen määrään argumentteja, mihin tahansa äärelliseen järjestykseen derivaatoissa ja formulaatioon, joka integroidaan äärellisulotteisen alueen yli. $L$ $f$

Kirjallisuus

Alekseev V. M., Tikhomirov V. M., Fomin S. V. Optimaalinen ohjaus. - M.: Nauka, 1979
Afanasiev VN, Kolmanovsky VB, Nosov VR Ohjausjärjestelmien suunnittelun matemaattinen teoria. - M . : Korkeakoulu , 2003. - 614 s. — ISBN 5-06-004162-X .
Dubrovin B. A., Novikov S. P. , Fomenko A. T. Moderni geometria: menetelmät ja sovellukset. - M.: Nauka, 1979
Seifert G., Trellfall V. Variaatioiden laskelma yleisesti, 2. painos, - M .: RHD, 2000
Krasnov M. L., Makarenko G. I., Kiselev A. I. Variaatioiden, ongelmien ja harjoitusten laskenta. - M.: Nauka, 1973
Petrov Yu. P. Variaatiolaskennan ja optimaalisten prosessien teorian historiasta // Historiallinen ja matemaattinen tutkimus . - M . : Nauka , 1990. - Nro 32/33 . - S. 53-73 .
Rybnikov K. A. Variaatiolaskelman kehityksen ensimmäiset vaiheet // Historiallinen ja matemaattinen tutkimus . - M. - L .: GITTL, 1949. - Nro 2 . - S. 355-498 .
Feynman R., Layton R., Sands M. Feynman Fysiikan luentoja. Osa 6: Elektrodynamiikka. Käännös englannista (3. osa). — Pääkirjoitus URSS. - ISBN 5-354-00704-6 . — Luku 19: Vähiten toimien periaate. (Hyvin yksinkertainen, epävirallinen ja visuaalinen johdatus variaatiotekniikkaan käyttäen esimerkkinä vähiten toimien periaatetta; suositellaan vanhemmille ja ehkä nuoremmille opiskelijoille).
Nikolai Filonov. Variaatiolaskenta . Lectorium (15.02.18). (määrätön)
Fomenko AT Variaatiomenetelmät topologiassa. - M.: Nauka, 1982
Elsgolin LE -differentiaaliyhtälöt ja variaatiolaskenta. - M.: Nauka, 1969.
Polak L.S. Mekaniikan variaatioperiaatteet. - M .: Fizmatlit , 1959-932 s.

Sanakirjat ja tietosanakirjat	Suuri katalaani Hienoa norjalaista Iso venäläinen Brockhaus ja Efron maailman ympäri Pieni Brockhaus ja Efron Britannica (verkossa) Universalis
Bibliografisissa luetteloissa	J9U : 987007293785905171 LCCN : sh85018809 NDL : 00563089 NKC : ph126994

Matematiikan alat

Portaali "Tiede"

Matematiikan perusteet joukko teoria matemaattinen logiikka logiikan algebra

Lukuteoria ( aritmetiikka )

Algebra
Algebra	Yhtälön ratkaisu
Lineaarialgebra	Vektorilaskenta matriiseja Tensorilaskenta Multilineaarinen algebra
Yleisalgebra	Kommutatiivinen algebra Edustusteoria Differentiaalialgebra Homologinen algebra Yleisalgebra Luokkateoria

Analyysi
Klassinen analyysi	Differentiaalilaskenta Integraalilaskenta
Funktion teoria	Harmoninen analyysi Quaternion Analysis Monimutkainen analyysi mittateoria Reaalimuuttujan funktioiden teoria toiminnallinen analyysi Variaatiolaskelma
Differentiaali- ja integraaliyhtälöt	Dynaamiset järjestelmät ja ergodinen teoria Differentiaaliyhtälöt tavallinen osittaisissa johdannaisissa Integraaliyhtälöt
Vektorianalyysi Globaali analyysi Katastrofi teoria Mukautettu analyysi Sujuva äärettömän pieni analyysi

Geometria ja topologia
Geometria	Algebrallinen geometria Analyyttinen geometria Euklidinen geometria Ei-euklidinen geometria Planimetria Stereometria
Topologia	Yleinen topologia Algebrallinen topologia Differentiaaligeometria ja topologia

Diskreetti matematiikka
Kombinatoriikka graafiteoria

Sovellettu matematiikka
Matemaattinen fysiikka Matemaattinen kemia matemaattinen biologia Matemaattiset tilastot Matemaattinen mallinnus Algoritmien teoria Numeeriset menetelmät matemaattinen taloustiede talousmatematiikka Todennäköisyysteoria Toimintatutkimus Peliteoria

Portaali "Matematiikka"
Luokka "Matematiikka"

Differentiaalilaskenta

Main

yksityiset näkymät

Differentiaalioperaattorit
( eri koordinaateissa )

Ensimmäinen tilaus	Nabla operaattori Kaltevuus Eroaminen Roottori Helmholtzian
toinen tilaus	Elliptinen operaattori Laplacen operaattori Laplace-vektorioperaattori D'Alembert-operaattori Laplace-Beltrami operaattori
korkeammat tilaukset	Hypoelliptinen operaattori

liittyvät aiheet